《高中数学》必会基础题型6《立体几何》.doc
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《数学》必会基础题型——《立体几何》
【知识点1】平行的判定与证明
1.线线平行的证明：
【线线平行的定义：
在同一平面内没有公共点】
方法①文字：
若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行。
符号：
若，则。
方法②文字：
若一条直线与一个平面平行，则与过这条直线的平面与已知平面的交线平行。
符号：
若，则。
方法③文字：
若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。
符号：
若，则。
方法④文字：
若两个平行平面同第三个平面相交，则两条交线平行。
符号：
若，则。
2.线面平行的证明：
【线面平行的定义：
线面没有公共点】
方法①文字：
若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面。
符号：
若，则。
方法②文字：
若两个面平行，则一个面内的直线平行于另一个平面。
符号：
若，则。
3.面面平行的证明：
【面面平行的定义：
面面没有公共点】
方法①文字：
若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号：
若，则。
方法②文字：
若一条直线同时垂直两个平面，则这两个平面平行。
符号：
若，则。
【知识点2】垂直的判定与证明
1.线线垂直的证明：
【线线垂直的定义：
两直线所成的角为】
方法①定义法：
相交的两直线的夹角等于。
【常用中位线转化到三角形中】
方法②文字：
若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直这个面内的任意一条直线。
符号：
若，则。
2.线面垂直的证明：
【线面垂直的定义：
直线与平面内的任意一条直线都垂直】
方法①文字：
若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。
符号：
若，则。
方法②文字：
若两条平行直线中的一条垂直一个平面，则另一条也垂直这个平面。
符号：
若，则。
方法③文字：
若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
符号：
若，则。
3.面面垂直的证明：
【面面垂直的定义：
面面所成的角的平面角为】
方法①定义法：
做出二面角的平面角，求证这个平面角为直角。
方法②文字：
经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直。
符号：
若，则。
【知识点3】体积与面积
1.球：
体积：
；表面积：
。
2.柱体（圆柱、棱柱）：
（注意：
侧面积与表面积不同）
体积：
（是柱体的底面积、是柱体的高）；
侧面积：
（是柱体的底面半径、是柱体的高）。
3.椎体（圆锥、棱锥）：
体积：
（是锥体的底面积、是锥体的高）；
侧面积：
（是锥体的底面半径、是锥体的母线）。
4.长方体：
（是从同一个顶点出发的三条棱的长）
体积：
表面积：
体对角线：
（注意：
体对角线与面对角线不同）
5.球的组合体：
①外接球：
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长。
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长。
②内切球：
正方体的内切球的直径是正方体的棱长。
长方体不一定有内切球。
③棱切球：
正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长。
【知识点4】三视图、直观图、投影
A
B
A1
B1
C
C1
正视图
侧视图
府视图
两种题型：
①由实物画出三视图，②由三视图还原出实物。
例1：
如右图为一个几何体的三视图，已知府视图为正三角形，，，则该几何体的表面积为（）
A.6+B.24+C.24+2D.32
例2：
右图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成。
【典型习题】
1.一个几何体的正视图和俯视图是矩形，侧视图是三角形，则这个几何体是 。
2.下列命题正确的是（）
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的平行投影可能平行
D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段的中点
3.对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）
A.2倍B.倍C.倍D.倍
2
2
侧（左）视图
2
2
2
正（主）视图
4.（2009山东理）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）
俯视图
A.B.
C.D.
5.（2009海南文理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积为（）
A.48+12B.48+24
C.36+12D.36+24
6.（2009浙江卷理）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是。
【综合练习】
1.已知直线与平面不平行，则下列结论成立的是（）
A.内所有的直线都与异面B.内不存在与平行的直线
C.内所有的直线都与相交D.直线与平面有公共点
2.下列四个命题：
①过三点确定一个平面，②矩形是平面图形，
③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域。
其中错误命题的序号是。
3.已知两个平面垂直，在下列命题中错误的命题是。
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面。
4.在下列命题中，错误的命题有。
①若直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；
②若直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；
③若异面直线不垂直，则过的任何平面都与不垂直；
④若直线和共面，直线和共面，则和共面。
5.正方体中，与面的对角线异面的棱有条。
6.棱长都是1的三棱锥的表面积为。
7.一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是。
8.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是。
9.已知某长方体共顶点的三个面的面积分别是，则该长方体的对角线长是______；
若长方体共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为______。
_
12
cm
_
4
cm
10．如右上图的正方体，分别为正方体的两个侧面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是____________。
11．如右图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗?
请说明理由。
12.如右图，正三棱柱，点在棱上，若，求证：
直线平面。
A
B
C
M
N
A1
B1
C1
13.如右图，一个三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱，，有一虫子从沿三个侧面爬到，求虫子爬行的最短距离。
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