高考数学一轮复习知识点与练习空间几何体Word下载.docx

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体积

柱体（棱柱和圆柱）

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体（棱锥和圆锥）

S表面积＝S侧＋S底

V＝

Sh

台体（棱台和圆台）

S表面积＝S侧＋S上＋S下

（S上＋S下＋

）h

球

S＝4πR2

πR3

4.常用结论

（1）与体积有关的几个结论

①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

（2）几个与球有关的切、接常用结论

a．正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝

a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝

a.

b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝

.

c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

（3）斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．（　　）

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．（　　）

（3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°

，则在直观图中，∠A＝45°

.（　　）

（4）圆柱的侧面展开图是矩形．（　　）

（5）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．（　　）

（6）菱形的直观图仍是菱形．（　　）

1．（教材改编）下列说法正确的是________．

①相等的角在直观图中仍然相等；

②相等的线段在直观图中仍然相等；

③正方形的直观图是正方形；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

2．（教材改编）已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____cm.

3．（2014·

陕西改编）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．

4．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为________．

5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是__________．

题型一　空间几何体的结构特征

例1　

（1）给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是________．

（2）下列结论：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；

⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．

其中正确结论的序号是________．

（3）设有以下四个命题：

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；

③直四棱柱是直平行六面体；

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．

其中真命题的序号是________．

思维升华　

（1）解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；

（2）解决本类题目的技巧：

三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

　给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是________．

题型二　空间几何体的直观图

例2　已知△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积．

引申探究

1．若本例改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？

2.本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°

，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原图形的面积为________．

思维升华　用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出．

如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形是________．

①正方形；

②矩形；

③菱形；

④一般的平行四边形．

题型三　求空间几何体的表面积

例3　

（1）（2014·

山东）一个六棱锥的体积为2

，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．

（2）如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°

角，求此斜三棱柱的表面积．

思维升华　

（1）解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；

（2）在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

　一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是

cm.

（1）求三棱台的斜高；

（2）求三棱台的侧面积和表面积．

题型四　求空间几何体的体积

例4　（2015·

山东改编）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．

思维升华　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

　（2014·

课标全国Ⅱ改编）正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为

，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为________．

题型五　与球有关的切、接问题

例5　已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．

1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？

3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3

的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？

思维升华　空间几何体与球接、切问题的求解方法

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________．

15．巧用补形法解决立体几何问题

典例　如图：

△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________．

温馨提醒　

（1）补形法的应用思路：

“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．

（2）补形法的应用条件：

当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．

[方法与技巧]

求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法

（1）转化与化归思想：

计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．

（2）求体积的两种方法：

①割补法：

求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：

等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值．

[失误与防范]

求空间几何体的表面积应注意的问题

（1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．

（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．

A组　专项基础训练

（时间：

45分钟）

1．给出下列命题：

①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________．

3．用平面α截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面α的距离为4，则此球的表面积为________．

4．（2015·

课标全国Ⅰ改编）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：

“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：

积及为米几何？

”其意思为：

“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？

”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛．

5.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________．

6．（2015·

江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．

7．（2015·

课标全国Ⅱ改编）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°

，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．

8．（2015·

盐城一模）一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．

9．（教材改编）已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．

10.如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．

B组　专项能力提升

30分钟）

11．已知某圆锥体的底面半径r＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为

π的扇形，则该圆锥体的表面积是________．

12．三棱锥P—ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D—ABE的体积为V1，P—ABC的体积为V2，则

＝________.

13．已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30°

，上底面半径是下底面半径的

，则这个圆台的侧面积是________cm2.

14．（2015·

课标全国Ⅰ）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

（1）证明：

平面AEC⊥平面BED；

（2）若∠ABC＝120°

，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为

，求该三棱锥的侧面积．

15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°

，∠ABC＝30°

，BC＝

，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．