人教版初三数学下册专题复习阴影部分的面积计算.docx
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人教版初三数学下册专题复习阴影部分的面积计算
《阴影面积的计算专题复习》
课题
阴影面积的计算专题复习
课型
复习
教学目标
知识技能
1、进一步掌握常见图形的面积公式
2、加深对计算复杂面积的转化方法的理解
数学思考
通过观察、分析、交流等数学活动进一步发展学生运用知识解决问题的能力．
解决问题
经历探索、解决问题的过程，体会把不规则图形转化为规则图形的思想方法．
情感态度
培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验数学思想方法对解题的指导意义．
教学重点
割补、旋转、平移、等积、和差法求阴影部分的面积
教学难点
等积变换法
课前准备（教具、活动准备等）
多媒体课件
教学过程
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：
结合练习初步回顾求阴影面积的相关知识
活动二：
通过例题强化知识发展能力
典例精析
加减法
例1.如图1是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。
法
例2.如图2，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。
在黑板上出示例题后，先让学生自己解答，若学生没有思路，再进行分析．
法
法
例4.如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。
法
例5.如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
（加减法）
例1.如图1是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。
法
例2.如图2，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。
教师在投影上出示第一组习题，请同学们独立完成下面的练习：
夯实基础
1．如图，和都与轴和轴相切，圆心和圆心都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于．
答案：
π
2．已知：
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为___________
答案：
3．如图，点A、B、C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）
A．B．C．D．
答案：
B
4．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD//BC，AC平分，，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为_____cm2
答案：
5．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为，△ABP的面积为y，如果y关于的函数图象如图2所示，则图1中△ABP的面积是（）
A．10B．16
C.20D．36
答案：
A
学生解答完成后，教师引导学生逐题分析、总结方法：
如1中旋转变换，化零为整；2中用勾股定理将△AHC、△BFC的面积之和转化为△ABE的面积；3中的三个三角形全等，只需求一个三角形的面积；4中弓形的面积转化为扇形面积减三角形的面积；五中从函数图象读取长方形的长和宽．
本组习题主要是复习圆、三角形、四边形、扇形等常见几何图形的面积公式．
阴影部分面积的求解常需将不规则的图形转化为规则图形再求解，这个过程，可以用到割法，即将一个图形分割成多个规则的图形再求和；或用补法，即将不规则图形补为一个规则的图形．另外等积变换也是转化面积的常用方法，如轴对称变换、平移变换、旋转变换以及三角形的同（等）底等（同）高三角形的三角形面积相等等．对于多个部分的面积求和常转化为一个整体求解．
第1题运用旋转变换将阴影转化为一个圆，体现了等积变换及整体思想的运用．
第2题将两个小三角形面积之和通过勾股定理转化为大三角形的面积，体现了转化思想在求阴影面积中的应用．
第3题三个三角形的面积均相等，从而只需求一个三角形的面积即可，体现化整为零的思想．第4题复习了弓形面积的求法，是常见的阴影面积问题，第5题是图象信息题，需从图象中读取相关信息，再求阴影面积．
纵观这5题，复习了基础知识、基本方法，还体现了数学思想的运用，使这一堂专题课在一开始就体现了夯实基础的设计意图．
活动二：
通过例题强化知识发展能力
本活动以三个例题的学习展开：
例1、在△ABD中，C是BD上一点，若E、F分别是AC、BD的中点，若△ABC的面积为14，求△DEF的面积．
在黑板上出示例题后，先让学生自己解答，若学生没有思路，再进行分析．本题尤其要重视中位线性质的运用．先用同底等高将△DEF的面积转化△AEF的面积，再利用EF∥BC得△AEF∽△ABC,再由EF=BC，结合相似三角形面积之比等于相似比的平方，从而求出△DEF为3.5．
师生共同小结本题中关于面积的两个结论：
即同底等高的两个三角形面积相等；相似三角形面积之比等于相似比的平方．
让学生知道以上两个结论在解题均常用到．
例2、将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8cm,将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2）,两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1，）.
本题学生读题后，先让学生进行分析，实质就是求AC边上的高，由旋转可得到∠DAC=60°，结合∠BCA=45°，化斜为直需作高，从而利用方程思想求出AC边上的高．
引导学生小结：
作高是面积问题最常见的辅助线．
例3、如图，半圆O的直径AB=20．将半圆O绕着点B顺时针旋转54°得到半圆，弧交AB于点P．
（1）求AP的长．
（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）．【参考数据：
sin54°0.81，cos54°0.59，tan54°1.38，．】
本题是综合题，师引导学生分析，得出利用三角函数求BP及三角形的高，然后再求弓形面积．最后用投影显示详细的解题过程，并小结本题的解题方法．以下为详细解答．
（1）连结．
∵为直径，
∴∠．
在Rt△中，，，
∴．
∴AP．（3分）
（2）作⊥PB于点E，连结．
在Rt△中，，，
∴．
∴，∴．
∴
．
解题后小结时，让学生理解割补法是求阴影面积的重要方法，需努力掌握．
例1用到了同底等高的两个三角形面积相等的重要结论，还用到了相似三角形面积比等于相似比的平方的结论，这两个结论在求三角形面积经常用到，本题还用到了整体思想．
例2需先求出三角形的高，由于三角形是锐角三角形，求解时作高是常见思路．本题用方程思想来求三角形的高，这在计算题中是很常见的，属常用方法，是必须使学生理解和掌握的方法．
弓形面积的计算需结合圆中的扇形和三角形的面积公式来求解，是中考中的常见考点，也是学习难点．
例3将旋转与求阴影面积、三角函数综合在一起，问题的难度增加，需从旋转中求相关角，再用三角函数的知识去圆中的弦长和三角形的高，再次强化弓形面积的求法．
活动三：
拓展提升
综合应用
教师在投影上呈现一组巩固提高题，让学生先做
1．如图7，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是.
答案：
2π
2．如图，已知是梯形的中位线，的面积为，则梯形的面积为______cm2．
答案：
16
3．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y＝、y＝所截．当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为平方单位．
答案：
6
4．已知,A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是多少？
（用含π的代数式表示）
答案（13π-26）
5．如图，
（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图
（2）所示，ABCD是正方形，⊙O是该正方形的内切圆，E为切点，以B为圆心，分别以BA、BE为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图
（1）中的圆与扇环的面积比为．
答案：
4：
9
学生练习后，小组合作交流，请学生总结思想方法，最后由老师进行针对性的点评．
本组题是前面所学内容的直接巩固，在此基础上，对基本方法、基本思想再次进行强化，如1中的轴对称变换、整体思想；2中的整体思想；3中的平移变换；4中的割补法；5中巧设参数的思想等，既对前面所学内容进行巩固，又对学生的能力发展提出了更高的要求．
通过反馈练习实现了知识向能力的转化，让学生主动用所学知识和方法寻求解决问题的策略，使学生在此过程中，知识进一步巩固，能力进一步提高，信心进一步增强．
活动四：
小结反思
理论升华
以师生共同小结的方式进行：
（1）本节课，我们复习了阴影面积的相关知识，从中你在知识上有哪些收获？
（2）本节课在解决问题的过程中，你学会了哪些数学方法？
（3）从本课中你用到哪些数学思想？
这些思想对你今后的解题，有怎样的帮助？
通过小结使学生对阴影面积计算的公式等知识、解题的方法、运用到数学思想进行一个梳理，使同学们在知识上更为系统，理论上得到升华，用利于学生的公式记忆、方法应用和能力的发展．
附板书设计：
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