不等式常见考试题型总结0.docx

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不等式常见考试题型总结0

不等式常见考试题型总结

【对勾函数】，由得顶点的横坐标为。

由得顶点的横坐标为。

由得顶点的横坐标为。

例1.求的值域。

变式1.求的值域。

变式2.求的值域。

例2.求的值域。

变式1.求的值域。

变式2.求的值域。

例3.求的值域。

变式1.求的值域。

变式2.求的值域。

基本不等式例题例1.已知,且，求的最小值及相应的值.例2.的最小值为________。

例3．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）例4．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．例5.若，则的最小值是（）例6．下列各函数中，最小值为2的是（）AB.C.D.例7

（1）已知，求函数的最大值.

（2）求函数的最小值求的最大值.练习.设，则的最大值为例8.已知,，且.求的最大值及相应的的值例9若x，y是正数，则的最小值是练习：

已知实数x，y满足x+y－1=0，则x2+y2的最小值例10.若实数a、b满足a+b=2，是3a+3b的最小值是基本不等式证明例已知a，b为正数，求证：

≥．例实际应用：

某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为xy（单位：

m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8，问xy分别为多少时用料最省？

基本不等式应用一．基本不等式1.

（1）若，则

（2）若，则（当且仅当时取“=”）2.

（1）若，则

（2）若，则（当且仅当时取“=”）（3）若，则（当且仅当时取“=”）3.若，则（当且仅当时取“=”）;若，则（当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）3.若，则（当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=“）4.若，则（当且仅当时取“=”）注：

（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：

求最值例1：

求下列函数的值域

（1）y＝3x2＋

（2）y＝x＋解：

（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域为[，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：

技巧一：

凑项例1：

已知，求函数的最大值。

解：

因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

评注：

本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：

凑系数例1.当时，求的最大值。

解析：

由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。

评注：

本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：

设，求函数的最大值。

解：

∵∴∴当且仅当即时等号成立。

技巧三：

分离例3.求的值域。

解析一：

本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

技巧四：

换元解析二：

本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：

分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为，g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

技巧五：

注意：

在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。

例：

求函数的值域。

解：

令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.

（1）

（2）（3）2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是.分析：

“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：

都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．变式：

若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：

整体代换：

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

。

2：

已知，且，求的最小值。

错解：

，且，故。

错因：

解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：

，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。

变式：

（1）若且，求的最小值

（2）已知且，求的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.分析：

因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。

同时还应化简中y2前面的系数为，x＝x＝x·下面将x，分别看成两个因式：

x·≤＝＝即x＝·x≤技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.分析：

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：

a＝，ab＝·b＝由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8∴ab≤18∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：

由已知得：

30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2∴30－ab≥2令u＝则u2＋2u－30≤0，－5≤u≤3∴≤3，ab≤18，∴y≥点评：

①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.变式：

1.已知a>0，b>0，ab－（a＋b）＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.解法一：

若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单＋≤＝＝2解法二：

条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋（）2·（）2＝10＋（3x＋2y）＝来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。

单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查：

①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．2、命题趋势及典型例题解释

（1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来．例1：

设命题甲：

x和y满足，命题乙：

x和y满足，那么甲是乙的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件［思路］根据同向不等式的可加性，从乙甲和甲乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。

［破解］易知即乙甲；但当时，显然满足不满足故甲乙不成立。

从而甲是乙的必要但不充分条件。

故选B［收获］本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。

做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。

例2：

已知.设函数在R上单调递减.不等式的解集为R.如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.［思路］此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.［破解］:

函数在R上单调递减，不等式的解集为R函数在R上恒大于1，∵∴函数在R上的最小值为，∴不等式的解集为R，即，若正确，且不正确，则；若正确，且不正确，则；所以的取值范围为.［收获］“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.

（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论．例3：

解关于的不等式。

分析本例涉及了两个讨论点：

二次项系数和判别式的符号．解

（1）当时：

若，则，不等式解集为；若，则，解集为.

（2）当时：

不等式为，解集为．（3）当时：

若，则，解集为.若，不等式为，解集为且.若，则，解集为．点拨由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：

第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分．例4：

若不等式|－4|+|3－|0时，先求不等式|－4|+|3－|1②当31③当≤3时，原不等式化为4－+3－1综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当01时，|－4|+|3－||－4|+|3－|≥|－4+3－|=1∴当>1时，|－4|+|3－|［收获］1）一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。

2）有解；解集为空集；这两者互补。

恒成立。

有解；解集为空集；这两者互补。

恒成立。

有解；解集为空集；这两者互补。

恒成立。

有解；解集为空集；这两者互补。

恒成立。

（3）证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度．例5：

若二次函数的图象经过原点，且，，求的范围．［思路］要求的取值范围，只需找到含的不等式（组）．由于是二次函数，所以应先将的表达形式写出来．即可求得的表达式，然后依题设条件列出含有的不等式（组），即可求解．［破解］因为的图象经过原点，所以可设．于是解法一（利用基本不等式的性质）不等式组

（1）变形得其中等号分别在与时成立，且与也满足

（1）所以的取值范围是．解法二（数形结合）建立直角坐标系，作出不等式组

（1）所表示的区域，如图中的阴影部分．因为，所以表示斜率为2的直线系．如图6，当直线过点，时，分别取得的最小值6，最大值10．即的取值范围是：

．解法三（利用方程的思想）因为所以又，而，，①所以．②①+②得即。

［收获］1）在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：

将不等式组

（1）变形得，而，所以2）