直线的一般式方程附答案Word文档格式.docx
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+4y+7=0+3y+7=0
+3y-42=0+4y-42=0
(2)直线
x-5y+9=0在x轴上的截距等于( )
B.-5D.-3
答案
(1)B
(2)D
解析
(1)将一般式化为斜截式,斜率为-
的有:
B、C两项.
又y=-
x+14过点(0,14)即直线过第一象限,
所以只有B项正确.
(2)令y=0则x=-3
跟踪训练1 一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线方程.
解 设所求直线方程为
+
=1,
∵点A(-2,2)在直线上,∴-
=1.①
又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1,
∴
|a|·
|b|=1.②
由①②可得
或
解得
第二个方程组无解.
故所求直线方程为
=1或
即x+2y-2=0或2x+y+2=0.
题型二 直线方程的应用
例2 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
解 方法一 l的方程可化为y=-
x+3,
∴l的斜率为-
(1)∵l′与l平行,∴l′的斜率为-
又∵l′过点(-1,3),
由点斜式知方程为y-3=-
(x+1),
即3x+4y-9=0.
(2)∵l′与l垂直,∴l′的斜率为
,又l′过点(-1,3),
由点斜式可得方程为y-3=
即4x-3y+13=0.
方法二
(1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.
∴所求直线的方程为3x+4y-9=0.
(2)由l′与l垂直,可设l′的方程为4x-3y+n=0.
将(-1,3)代入上式得n=13.
∴所求直线的方程为4x-3y+13=0.
跟踪训练2 a为何值时,直线(a-1)x-2y+4=0与x-ay-1=0.
(1)平行;
(2)垂直.
解 当a=0或1时,两直线既不平行,也不垂直;
当a≠0且a≠1时,直线(a-1)x-2y+4=0的斜率为k1=
,b1=2;
直线x-ay-1=0的斜率为k2=
,b2=-
(1)当两直线平行时,由k1=k2,b1≠b2,
得
=
,a≠-
,
解得a=-1或a=2.
所以当a=-1或2时,两直线平行.
(2)当两直线垂直时,由k1·
k2=-1,
即
·
=-1,解得a=
所以当a=
时,两直线垂直.
题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围
例3
(1)若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足______.
(2)当实数m为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1.
①倾斜角为45°
②在x轴上的截距为1.
(1)答案 m≠-3
解析 若方程不能表示直线,则m2+5m+6=0且m2+3m=0.
解方程组
得m=-3,
所以m≠-3时,方程表示一条直线.
(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°
所以此直线的斜率是1,
所以-
所以
所以m=-1.
②因为已知直线在x轴上的截距为1,
令y=0得x=
所以m=-
或m=2.
跟踪训练3 已知直线l:
5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:
不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
(1)证明 直线方程变形为y-
=a
它表示经过点A
,斜率为a的直线.
∵点A
在第一象限,
∴直线l必过第一象限.
(2)解 如图所示,直线OA的斜率k=
=3.
∵直线不过第二象限,
∴直线的斜率a≥3.
∴a的取值范围为[3,+∞).
一般式求斜率考虑不全致误
例4 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-(2m-6)=0,若此直线的斜率为1,试确定实数m的值.
分析 由直线方程的一般式,可转化为斜截式,利用斜率为1,建立方程求解,但要注意分母不为0.
解 由题意,得
由①,得m=-1或m=
当m=-1时,②式不成立,不符合题意,故应舍去;
当m=
时,②式成立,符合题意.
故m=
1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A、B应满足的条件为( )
≠0≠0·
B≠0+B2≠0
2.已知ab<
0,bc<
0,则直线ax+by=c通过( )
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
-2y-1=0-2y+1=0
+y-2=0+2y-1=0
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m等于( )
A.-1D.-
5.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a=________.
一、选择题
1.直线x+y-3=0的倾斜角的大小是( )
°
°
D.-1
2.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为45°
,则m的值为( )
A.-2C.-3
3.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则( )
=0,B>
0>
0,B>
0,C=0
<
0,C=0>
4.直线ax+3my+2a=0(m≠0)过点(1,-1),则直线的斜率k等于( )
A.-3D.-
5.直线y=mx-3m+2(m∈R)必过定点( )
A.(3,2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(3,-2)
6.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值范围是( )
≠±
1≠1,a≠2
≠-1≠±
1,a≠2
7.直线l1:
ax-y+b=0,l2:
bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )
二、填空题
8.已知直线l1:
ax+3y-1=0与直线l2:
2x+(a-1)y+1=0垂直,则实数a=_______.
9.若直线mx+3y-5=0经过连接点A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则m=______.
10.直线l:
ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°
,则a的取值范围是______________.
11.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为________________.
三、解答题
12.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
13.
(1)已知直线l1:
2x+(m+1)y+4=0与直线l2:
mx+3y-2=0平行,求m的值.
(2)当a为何值时,直线l1:
(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:
(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直
当堂检测答案
1.答案 D
解析 方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A、B不能同时为0,即A2+B2≠0.
2.答案 C
解析 由ax+by=c,得y=-
x+
∵ab<
0,∴直线的斜率k=-
>
0,
直线在y轴上的截距
0.
由此可知直线通过第一、三、四象限.
3.答案 A
解析 由题意,得所求直线斜率为
,且过点(1,0).故所求直线方程为y=
(x-1),即x-2y-1=0.
4.答案 B
解析 由两直线垂直,得
×
=-1,解得m=1.
5.答案 -3或1
解析 两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,所以
≠
,解得a=-3或a=1.
课时精练答案
1.答案 B
解析 直线x+y-3=0,即y=-x+3,它的斜率等于-1,故它的倾斜角为135°
,故选B.
2.答案 D
解析 由已知得m2-4≠0,且
解得:
m=3.
3.答案 D
解析 通过直线的斜率和截距进行判断.
4.答案 D
解析 由点(1,-1)在直线上可得a-3m+2a=0(m≠0),解得m=a,故直线方程为ax+3ay+2a=0(a≠0),即x+3y+2=0,其斜率k=-
5.答案 A
解析 由y=mx-3m+2,得y-2=m(x-3).所以直线必过点(3,2).
6.答案 A
解析 因为直线x+ay=3恒过点(3,0),所以此直线只需不和x+y=0,x-y=0两直线平行就能构成三角形.所以a≠±
1.
7.答案 C
解析 将l1与l2的方程化为斜截式得:
y=ax+b,y=bx+a,
根据斜率和截距的符号可得选C.
8.答案
解析 由两直线垂直的条件,得2a+3(a-1)=0,解得a=
9.答案 2
解析 线段AB的中点为(1,1),则m+3-5=0,即m=2.
10.答案 (-∞,-
)∪(0,+∞)
解析 当a=-1时,直线l的倾斜角为90°
,符合要求;
当a≠-1时,直线l的斜率为-
只要-
1或者-
0即可,
解得-1<
a<
-
或者a<
-1或者a>
综上可知,实数a的取值范围是
(-∞,-
)∪(0,+∞).
11.答案 2x+3y+4=0
解析 由条件知
易知两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)都在直线2x+3y+4=0上,即2x+3y+4=0为所求.
12.解
(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距都为0,当然相等,所以a=2,方程即为3x+y=0.
当a≠2时,截距存在且均不为0,
=a-2,即a+1=1.
所以a=0,方程即为x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
所以a≤-1.
综上,a的取值范围是a≤-1.
13.解 方法一
(1)由l1:
2x+(m+1)y+4=0,
l2:
mx+3y-2=0知:
①当m=0时,显然l1与l2不平行.
②当m≠0时,l1∥l2,需
解得m=2或m=-3,∴m的值为2或-3.
(2)由题意知,直线l1⊥l2.
①若1-a=0,即a=1时,直线l1:
3x-1=0与直线l2:
5y+2=0显然垂直.
②若2a+3=0,即a=-
时,直线l1:
x+5y-2=0与直线l2:
5x-4=0不垂直.
③若1-a≠0,且2a+3≠0,则直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,k1=-
,k2=-
当l1⊥l2时,k1·
即(-
)·
(-
)=-1,
∴a=-1.
综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
方法二
(1)令2×
3=m(m+1),
解得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:
x-y+2=0,l2:
3x-3y+2=0,
显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
同理当m=2时,l1:
2x+3y+4=0,l2:
2x+3y-2=0,
∴m的值为2或-3.
(2)由题意知直线l1⊥l2,
∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
解得a=±
1,
将a=±
1代入方程,均满足题意.
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.