6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在，使得，对任何x和y，成立。
求：
（1）f（0）；
（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：
由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：
（1）令y＝0代入，则，∴
。
若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，则，又由
（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
7.是否存在函数f（x），使下列三个条件：
①f（x）＞0，x∈N；②；③f
（2）＝4。
同时成立？
若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
分析：
由题设可猜想存在，又由f
（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：
（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。
（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。
综上所述，x为一切自然数时。
8.设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：
（1）f
（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
分析：
由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f
（1）＝0，f（9）＝2。
解：
（1）∵，∴f
（1）＝0。
（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故
，解之得：
8＜x≤9。
9.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。
如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
分析:
由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：
设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
10.己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：
（1）f（x）的奇偶性如何？
说明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？
说明理由。
分析:
由题设知f（x）是y=-cotx的抽象函数，从而由y=-cotx及题设条件猜想：
f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。
解：
（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有
，∴在定义域中。
∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。
设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。
f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。
综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
11.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。
分析：
由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：
（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，又，故。
12.设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：
在R上为增函数。
证明：
在中取，得
若，令，则，与矛盾
所以，即有
当时，；当时，
而
所以
又当时，
所以对任意，恒有
设，则
所以
所以在R上为增函数。
13.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。
解：
取得：
，所以
又取得：
，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
14.定义在R上的函数f（x）满足：
对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0判断f（x）的单调性；
解：
在中，令，得，因为，所以。
在中，令因为当时，
所以当时而所以
又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。
设，则
所以所以在R上为减函数。
15.设函数f（x）对任意实数x,y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）,若x>0时f（x）<0,且f
（1）=-2,求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值.
解析:
由单调性的定义步骤设x10,∴f（x2-x1）<0）
所以f（x）是R上的减函数,故f（x）在[-3,3]上的最大值为f（3）=f
（1）+f
（2）=3f
（1）=-6,最小值为f（-3）,
令x=y=0,得f（0）=0,令y=-x,得f（-x）+f（x）=f（0）=0,即f（x）为奇函数.∴f（-3）=-f（3）=6.
16.设f（x）定义于实数集上，当x>0时，f（x）>1,且对于任意实数x、y，有f（x+y）=f（x）f（y），求证：
f（x）在R上为增函数。
证明：
设R上x11，
f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）,（注意此处不能直接得大于f（x1），因为f（x1）的正负还没确定）。
取x=y=0得f（0）=0或f（0）=1;若f（0）=0,令x>0,y=0，则f（x）=0与x>0时，f（x）>1矛盾，所以f（0）=1，x>0时，f（x）>1>0,x<0时，-x>0，f（-x）>1,∴由，故f（x）>0，从而f（x2）>f（x1）.即f（x）在R上是增函数。
17.已知偶函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，
（1）f（x）在（0,+∞）上是增函数；
（2）解不等式
解：
（1）设，则
∵，∴，∴，即，∴
∴在上是增函数
（2），∴，∵是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴0≠，解得：
18.已知函数f（x）的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f（m+n）=f（m）+f（n）－1,且f（－）=0,当x>－时，f（x）>0.求证：
f（x）是单调递增函数；
证明：
设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f（x2－x1－）>0,
∵f（x2）－f（x1）=f［（x2－x1）+x1］－f（x1）=f（x2－x1）+f（x1）－1－f（x1）=f（x2－x1）－1=f（x2－x1）+f（－）－1=f［（x2－x1）－］>0,∴f（x）是单调递增函数.
19.定义在R+上的函数f（x）满足:
①对任意实数m,f（xm）=mf（x）;②f
（2）=1.
（1）求证:
f（xy）=f（x）+f（y）对任意正数x,y都成立;
（2）证明f（x）是R+上的单调增函数;
（3）若f（x）+f（x-3）≤2,求x的取值范围.
解:
（1）令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f（xy）=f（2m+n）=（m+n）f
（2）=m+n.
又f（x）+f（y）=f（2m）+f（2n）=mf
（2）+nf
（2）=m+n,所以f（xy）=f（x）+f（y）
故f（x1）（3）由f（x）+f（x-3）≤2及f（x）的性质,得f[x（x-3）]≤2f
（2）=f
（2），解得320.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。
解：
取得：
，所以
又取得：
，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
21.已知函数f（x）的定义域关于原点对称且满足，
（2）存在正常数a，使f（a）=1.求证：
f（x）是奇函数。
证明：
设t=x-y,则，所以f（x）为奇函数。
22.定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k·3）+f（3-9-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
（1）证明：
f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R）----①令y=-x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0），令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，∴f（x
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