matlab域上的运算Word格式.docx
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令g(x)为一个GF(p)上次数为n的不可约多项式,集合
GF(pn)=GF(p)[x]/?
g(x)?
={a0+a1x+a2x2+?
+an?
1xn?
1?
|?
ai∈GF(p),0≤i≤n?
1}
在GF(pn)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模g(x)加法和模g(x)乘法,即任意的a(x),b(x)∈GF(pn),
a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x),?
a(x)⊙b(x)=(a(x)?
b(x))modg(x)
GF(pn),⊕,⊙>
为一个有pn个元素,特征为p的有限域,其中零元素为GF(p)中的0,单位元为GF(p)中的1.
令a(x)为GF(pn)中的一个非零元素.由于gcd(a(x),g(x))=1,因此,存在GF(p)上的多项式b(x),c(x),使得a(x)b(x)+g(x)c(x)=1.由此得到a(x)的逆元为a?
1(x)=b(x)modg(x).
域GF(pn)称为GF(p)的(n次)扩域(extensionfield),而GF(p)称为GF(pn)的子域(subfield).
例注:
给定GF(p)上的多项式a(x)和g(x),例2中的等式a(x)b(x)+g(x)c(x)=1可以通过扩展的欧几里得除法得到,从而求得GF(pn)中任意非零元素的逆元.
设GF(q)是一个含有q个元素的有限域.对任意正整数n,GF(q)上的n次不可约多项式一定存在.更进一步,GF(q)上首项系数为1的n次不可约多项式的个数为
Nq(n)=1n∑d|nμ(nd)qd=1n∑d|nμ(d)qn/d
其中μ为Moebius函数,定义为
μ(m)=?
?
1(?
1)k0如果m=1如果m=p1p2?
pk,其中p1,p2,…,pk为互不相同的素数其它
有限域的性质
令GF(q)是一个含有q个元素的有限域,F?
q=GF(q)?
{0}为有限域GF(q)中所有非零元素构成的集合.则在乘法之下F?
q是一个有限循环群.循环群F?
q的一个生成元称为有限域GF(q)的一个本原元.
若α∈GF(q)为一个本原元,则
GF(q)={0,1,α,α2,…,αq?
2}
并且αq?
1=1,即αq=α.
定义:
设GF(q)是一个含有q个元素的有限域,GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域(p不一定为素数),α∈GF(q).则GF(p)上以α为根,首项系数为1,并且次数最低的多项式称为α在GF(p)上的极小多项式(minimalpolynomialofαoverGF(p)).
特别地,若α∈GF(q)为GF(q)的一个本原元,则α在GF(p)上的极小多项式称为GF(p)上的一个本原多项式(primitivepolynomialforGF(q)overGF(p)).
定义注1:
对任意的α∈GF(q),α在GF(p)上的极小多项式存在并且唯一,并且α在GF(p)上的极小多项式为GF(p)上的一个不可约多项式.
定义注2:
设α∈GF(q),则α和αp在GF(p)上具有相同的极小多项式.更进一步,集合
B(α)={α,αp,αp2,αp3,…,αpi,…}
中的元素具有相同的极小多项式.设q=pn,则αpn=α.因此,集合B(α)中互不相同的元素的个数(记为r)不超过n.可以证明,α为GF(q)的一个本原元当且仅当r=n.
定理:
设GF(q)是一个含有q个元素的有限域,GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域.设α∈GF(q),r为满足αpr=α的最小正整数.则α在GF(p)上的极小多项式g(x)是一个r次不可约多项式,并且
B(α)={α,αp,αp2,…,αpr?
中的元素为g(x)在GF(q)上的所有不同的根,即
g(x)=(x?
α)(x?
αp)(x?
αp2)?
(x?
αpr?
1).
r的计算方法如下:
设α在F?
q中的阶为k.集合
Z?
k={m?
0≤m≤k?
1,gcd(m,k)=1}
在模k乘法运算下是一个含有φ(k)个元素的有限群(其中φ为欧拉(Euler)函数).则r等于pmodk在Z?
k中的阶.
推论:
设GF(q)是一个含有q个元素的有限域,GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域.设|GF(q)|=pn,即q=pn.设α∈GF(q)为GF(q)的一个本原元,则α在GF(p)上的极小多项式g(x)的次数为n,并且
αpn?
更进一步,α,αp,αp2,…,αpn?
1均为GF(q)的本原元.
设GF(p)是一个含有p个元素的有限域,n是任意一个正整数,则GF(p)上的n次本原多项式一定存在.更进一步,GF(p)上的首项系数为1的n次本原多项式的个数为φ(pn?
1)n,其中φ为欧拉函数.
例3考虑二元域GF
(2)上的不可约多项式p(α)=α3+α+1,构造有限域
GF(23)=GF
(2)[α]/?
p(α)?
={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.
容易验证,α,α2,α3,α4,α5,α6都是GF(23)的本原元.GF
(2)上的首项系数为1的3次本原多项式有两个,分别为
(i)α,α2,α4在GF
(2)上的极小多项式
g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α4)=x3+x+1
(ii)α3,α5,α6在GF
(2)上的极小多项式
g(x)=x3+x2+1
有限域GF(p)上的本原多项式一定是GF(p)上的不可约多项式;
但是,GF(p)上的不可约多项式不一定是GF(p)上的本原多项式.
设GF(q)是一个含有q个元素的有限域,GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域,g(x)是GF(p)上的一个不可约多项式.则g(x)为GF(p)上的本原多项式当且仅当g(x)在GF(q)上的根都是GF(q)的本原元.
下面例子说明不可约多项式不一定是本原多项式.
例4考虑二元域GF
(2)上的不可约多项式p(x)=x4+x3+x2+x+1,构造有限域
GF(24)=GF
(2)[x]/?
p(x)?
={a+bx+cx2+dx3?
a,b,c,d∈GF
(2)}.
显然,x∈GF(24).由于x5=1,即x的阶为5,因此,x不是GF(24)的本原元.于是,p(x)不是GF
(2)上的本原多项式.另外,可以验证x+1是GF(24)的本原元.
2Matlab中的有限域计算函数
Matlab中自带的有限域的计算是在GF(2m)上进行的,即在二元域GF
(2)的扩域中进行计算,其中1≤m≤16.
由“有限域的构造”的“例2”可知,我们只需先找到一个GF
(2)上的m次不可约多项式g(x),得到集合GF
(2)[x]/?
,然后定义其上的加法和乘法分别为模g(x)加法和模g(x)乘法,即得到有限域GF(2m).
然而,这样得到的有限域GF(2m)中,元素x未必是本原元,这将给后面的(乘法)运算带来很多麻烦.因此,在不可约多项式g(x)的挑选上,我们最好选择一个本原多项式.这其实就是Matlab中的做法.
Matlab中GF(2m)的元素:
在Matlab中GF(2m):
=GF
(2)[D]/?
p(D)?
,其中p(D)为一个GF
(2)上的m次本原多项式.
GF(2m)={am?
1Dm?
1+am?
2Dm?
2+?
+a1D+a0,?
ai∈GF
(2),0≤i≤m?
因此,每个GF(2m)中的元素本质上是一个次数小于m的多项式,每个元素和多项式之间有“1-1”对应关系.例如,取m=3和本原多项式p(D)=D3+D+1,则我们得到有限域GF(23),其中的元素和多项式之间的对应关系如下:
GF(23)
GF
(2)[D]/?
二进制
000
1
001
2
D
010
3
D+1
011
4
D2
100
5
D2+1
101
6
D2+D
110
7
D2+D+1
111
GF
(2)上的多项式由系数组成的二进制所对应的(十进制)数字来表示.例如,多项式p(D)=D3+D+1的系数组成的二进制为1011,因此,多项式p(D)表示为数字11.
定义有限域数组
在Matlab中,函数gf用来定义一个有限域数组,函数申明如下:
X_GF=GF(X,M,PRIM_POLY)
函数创建有限域GF(2M)上的一个数组,使用的GF
(2)上的M次本原多项式为PRIM_POLY;
M是一个1至16之间的整数;
数组X中的元素为0至2M?
1之间的数.
例如,生成有限域GF(23)中的所有元素,并令本原多项式为p(D)=D3+D2+1.
>
GF8=gf(0:
7,3,13)
GF8=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D^2+1(13decimal)
Arrayelements=
01234567
如果不指定本原多项式,则Matlab将使用默认本原多项式.例如
gf(0:
7,3)
ans=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D+1(11decimal)
在这里例子中,Matlab使用了3次本原多项式D3+D+1.
如果不指定次数M和本原多项式PRIM_POLY,则生成二元域GF
(2)中的元素.
1)
ans=GF
(2)array.
01
生成的有限域中的数组可以参与运算(+、、.、.^、\等).注意:
参与运算的操作数必须来自同一个有限域,用于生成有限域的本原多项式也必须相同!
一个典型的例子是计算有限域的乘法表如下:
GF8=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D+1(11decimal)
GF8'
*GF8
00000000
02463175
03657412
04376251
05142736
06715324
07521643
Warning:
Lookuptablesnotdefinedforthisorder2^3and
primitivepolynomial13.Arithmeticstillworks
correctlybutmultiplication,exponentiation,and
inversionofelementsisfasterwithlookuptables.
Usegftabletocreateandsavethelookuptables.
Inat35
Inat20
ans=GF(2^3)array.Primitivepolynomial=D^3+D^2+1(13decimal)
02465713
03651274
04517326
05723641
06172435
07346152
在这里我们用两个不同的本原多项式构造有限域GF(23),得到两张不同的乘法表.
注1:
当我们计算GF
(2)[D]/?
D3+D2+1?
的乘法表时,Matlab给产生一个警告“Warning:
Lookuptablesnotdefinedforthisorder2^3andprimitivepolynomial13.”从警告中我们可以看出,Matlab中有限域的乘法是通过查表来完成的,这样可以显着地提高计算的速度.我们可以通过命令gftable来创建并保存查找表格.
注2:
用本原多项式D3+D+1和D3+D2+1生成两个不同的元素个数为8的有限域,然而这两个有限域是同构的.一般地,我们有如下有限域同构定理:
任意两个元素个数相同的有限域一定同构.
与本原元多项式相关的函数
primpoly
函数primpoly用于计算GF
(2)上的本原多项式,函数申明如下:
PR=PRIMPOLY(M,OPT,'
nodisplay'
)
其中M为本原多项式的次数,其取值为2至16之间的整数;
选项OPT的定义如下:
OPT='
min'
给出一个权值最小的本原多项式
max'
给出一个权值最大的本原多项式
all'
给出所有的本原多项式
OPT=L给出所有权值为L的本原多项式
字符串‘nodisplay’用于关闭默认的本原多项式显示方式.
例如,输出GF
(2)上所有次数为3的本原多项式.
primpoly(3,'
Primitivepolynomial(s)=
D^3+D^1+1
D^3+D^2+1
ans=
11
13
'
isprimitive
函数isprimitive用来检查GF
(2)上的多项式是否为本原多项式,函数申明如下:
CK=ISPRIMITIVE(A)
其中A为一个表示多项式的数字,并且表示的多项式的次数不能超过16.如果A为本原多项式,则返回1;
否则返回0.
例如,检查多项式D3+D2+1和D3+D2+D+1是否为本原多项式如下:
isprimitive(13)
1
isprimitive(15)
0