三角恒等变换(附答案).doc
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教学设计方案
XueDaPPTSLearningCenter
姓名
学生姓名
填写时间
学科
数学
年级
高三
教材版本
人教版
阶段
第（9）周观察期：
□维护期：
□
课题名称
三角恒等变换
课时计划
第（）课时
共（）课时
上课时间
教学目标
大纲教学目标
1、巩固两角和、差的正弦、余弦和正切及二倍角公式
2、推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.
3、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式
个性化教学目标
学生知识点综合能力的训练
教学重点
1、两角和差的正弦、余弦及正切及二倍角公式的灵活应用
2、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式
教学
难点
1、两角和差的正弦、余弦及正切及二倍角公式的灵活应用
2、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式
教学过程
第一部分：
知识点分析
一、回顾公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin（α±β）＝sin__αcos__β±cos__αsin__β．
cos（α∓β）＝cos__αcos__β±sin__αsin__β．
tan（α±β）＝．
2．二倍角的公式
sin2α＝2sin__αcos__α．
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
tan2α＝．
3．有关公式的逆用、变形等
（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tan__αtan__β）．
（2）cos2α＝，sin2α＝．
（3）1＋sin2α＝（sinα＋cosα）2，
1－sin2α＝（sinα－cosα）2，
sinα±cosα＝sin.
4．归一公式
函数f（α）＝asinα＋bcosα（a，b为常数），可以化为f（α）＝sin（α＋φ）或f（α）＝·cos（α－φ）.
二、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
1．“五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
（1）定点：
如下表所示.
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
（2）作图：
在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin（ωx＋φ）在一个周期内的图象．
（3）扩展：
将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin（ωx＋φ）在R上的图象．
2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的两种途径
3．函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义
当函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0），x∈[0，＋∞）表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
第二部分：
考点分析
高频考点一归一公式应用
例1：
（1）； ⑵；
⑶； ⑷．
【变式练习1】
（1）。
①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值
（2）已知函数（其中），求：
①函数的最小正周期;
②函数的单调区间;
③函数图象的对称轴和对称中心．
（3）设函数f（x）＝（sinωx＋cosωx）2＋2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为.
①求ω的值；
②若函数y＝g（x）的图像是由y＝f（x）的图像向右平移个单位长度得到的，求y＝g（x）的单调增区间．
[解析]
（1）f（x）＝（sinωx＋cosωx）2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx
＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin（2ωx＋）＋2，依题意得＝，故ω的值为.
（2）依题意得g（x）＝sin＋2＝sin＋2，
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋ （k∈Z），解得kπ＋≤x≤kπ＋ （k∈Z），
故y＝g（x）的单调增区间为 （k∈Z）．
高频考点二三角函数式的化简与给角求值
【例2】
（1）=_____________________
（2）若，则等于（）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知，，求值
（4）已知α∈（0，π），化简：
＝________．
（5）[2sin50°＋sin10°（1＋tan10°）]·＝______．
【答案】 （4）cosα （4）
【解析】
（1）原式＝
＝＝.
因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝cosα.
（2）原式＝·
sin80°＝（2sin50°＋2sin10°·）·
cos10°＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos（60°－10°）]
＝2sin（50°＋10°）＝2×＝.
【点拨】
（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
（2）对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形（比如：
正负项相消、分子分母相约等）的方式来求值．
【变式练习2】
（1）4cos50°－tan40°＝（ ）
A.B.C.D．2－1
（2）化简：
sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝________．
【答案】
（1）C
（2）
【解析】
（1）原式＝4sin40°－
＝＝＝
＝＝＝，故选C.
（2）法一 （从“角”入手，复角化单角）
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（2cos2α－1）（2cos2β－1）
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1）
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式＝sin2αsin2β＋（1－sin2α）cos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－sin2α（cos2β－sin2β）－cos2αcos2β
＝cos2β－cos2β（sin2α＋cos2α）＝－cos2β＝.
法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式＝·＋·－cos2α·cos2β
＝（1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β）＋（1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β）－cos2α·cos2β
＝＋＝.
法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式＝（sinαsinβ－cosαcosβ）2＋2sinαsinβ·cosαcosβ－cos2αcos2β
＝cos2（α＋β）＋sin2α·sin2β－cos2α·cos2β
＝cos2（α＋β）－cos（2α＋2β）
＝cos2（α＋β）－[2cos2（α＋β）－1]＝.
高频考点三三角函数的给值求值、给值求角
【例3】
（1）已知，是第三象限角，求的值.
（2）已知sin（30°＋α）＝，60°<α<150°，求cosα的值．
（3）已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求
cos（α＋β）的值；
（4）已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tanβ＝－，求2α－β的值．
【答案】
（2）（3）－；（4）－.
【解析】
（2）方法二：
把30°＋α看作整体，可求cos（30°＋α）的值．∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.
∵sin（30°＋α）＝，∴cos（30°＋α）＝－.
∴sin（30°＋α）＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，①
cos（30°＋α）＝cos30°·cosα－sin30°·sinα＝cosα－sinα＝－.②
由①②，得cosα＝.
（3）∵0<β<<α<π，∴<α－<π，－<－β<，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos（α＋β）＝2cos2－1＝2×－1＝－.
（4）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]＝
＝＝>0，又α∈（0，π）．
∴0<α<，又∵tan2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan（2α－β）＝＝＝1.
∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
【点拨】
（1）解题中注意变角，如本题中＝－；
（2）通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
【变式练习3】已知cosα＝，cos（α－β）＝，且0<β<α<，
（1）求tan2α的值；
（2）求β.
【答案】
（1）－；
（2）
【解析】
（1）∵cosα＝，0<α<，
∴sinα＝，∴tanα＝4，
∴tan2α＝＝＝－.
（2）∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴sin（α－β）＝，
∴cosβ＝cos[α－（α－β）]
＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）
＝×＋×＝.
∴β＝.
高频考点四三角变换的简单应用
【例4】已知函数f（x）＝Asin，x∈R，且f＝.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）－f（－θ）＝，θ∈，求f.
【答案】
（1）A＝3.
（2）.
【解析】
（1）由f＝，得Asin＝Asin＝
A＝，所以A＝3.
（2）由f（θ）－f（－θ）＝3sin－3sin＝
3
＝6sinθcos＝3sinθ＝，
∴sinθ＝.
∵θ∈，∴cosθ＝，
∴f＝3sin
＝3sin＝3cosθ＝.
【点拨】 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．
【变式练习4】已知函数f（x）＝sin.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．
【答案】
（1），k∈Z.
（2）－或－.
【解析】
（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为
，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f（x）的单调递增区间为
，k∈Z.
（2）由已知，有sin＝cos（cos2α－sin2α），
所以sinαcos＋cosαsin
＝（cos2α－sin2α），
即sinα＋cosα＝（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．
当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，
知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时cosα－sinα＝－.
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