九年级上册第一章学案Word下载.docx
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A、各有一个角是550的两个等腰三角形；
B、两个等边三角形；
C、腰长相等的两个等腰直角三角形；
D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.
2、如图，已知：
∥
，AB=CD，若要使
△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件
中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）
A、∠A=∠B;
B、BF=CE;
C、AE∥DF;
D、AE=DF.
3、如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为。
4、
（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为。
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为。
5、如图，在△ABC中，AB=AC,且BD=BC=AD，则∠A的
度数为。
6、如图，已知D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE。
求证:
BD=CE。
四、课下训练：
P5习题1、2
中考真题：
在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，
试猜想EF与AD之间有什么关系?
并证明你的猜想。
1.1你能证明它们吗
（2）
1、能够证明等腰三角形的判定定理，并会运用其定理进行证明。
2、结合实例体会反证法的含义。
3、经历“探索、发现、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。
1、等腰三角形的性质：
2、等腰三角形的一个内角为700，则顶角为。
3、等腰三角形的一个外角为1000，则其顶角为。
1、等腰三角形的两底的角平分线相等吗？
并证明你的结论。
已知：
得出结论：
。
问题：
等腰三角形两条腰上的中线相等吗？
高呢？
请仿照上述证明方法进行验证。
2、等腰三角形的判定定理：
定理：
；
简称：
在△ABC中，若∠B=∠C，则=；
3、反证法：
如图，在△ABC中，∠B≠∠C，试说明AC≠AB。
先假设，
由可得，与发生矛盾，因此假设不成立，
所以。
归纳反证法的步骤：
⑵；
⑶。
1、已知：
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，
则图中等腰直角三角形共有（）
（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个
2、已知：
如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,
D、E是BC上两点，且AD=BD，AE=CE，猜想△ADE
是三角形。
3、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，
若AB=12，AC=18，MN∥BC，则△AMN
的周长为（）
（A）30（B）36（C）39（D）42
4、在△ABC中，AB=AC,∠A=360，BE、CF是三角形的平分线且
交于点O，则图中共有个等腰三角形。
P9：
1、2、3、4
拓展训练：
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
1.1你能证明它们吗（3）
1、掌握“等边三角形判定”及“含30°
角的直角三角形的性质”的推论，会用上述结论进行相关的计算和证明。
2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展。
1、已知△ABC中，AB=AC=5cm，增加一个条件：
，使它变为等边三角形。
2、利用刻度尺测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，你发现了什么？
1、有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？
请说明理由。
有一个角是的三角形是等边三角形。
三、合作交流；
做一做：
用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？
能拼出一个等边三角形吗？
说说你的理由。
根据操作，思考：
在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？
利用所给出的图形试着进行证明。
在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的。
五、例题解析：
等腰三角形的底角为15°
，腰长为2a，求腰上的高。
六、当堂训练：
1、判断：
（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半。
（）
（2）有一个角是600的三角形是等边三角形。
2、证明：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
课下训练：
1、等腰三角形的底角等于15°
，腰长为20，则这个三角形腰上的高是。
2、如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∠A=30°
CD⊥AB,BD=1,则AB=。
3、在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°
D是BC的中点，DE⊥AC，则AE:
EC=。
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A=.
5、在Rt△ABC中，∠C=30°
AD⊥BC，请写出BD与BC的关系：
如图，△ABC中，BC⊥AC,DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长。
1.2直角三角形
（1）
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
一、前置准备
1、写出三组勾股数：
2、勾股定理的内容是：
它的条件是：
_________________；
结论是：
________________。
将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：
阅读课本，了解上述命题的证明方法。
如果三角形两边的__________等于，那么这个三角形是直角三角形。
三、合作交流：
1、观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
然后观察下列每组命题，是否也在类似关系？
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
（3）三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
像上述每组命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的。
2、阅读课本P18“想一想”，回答下列问题：
①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？
请举例说明。
②什么是互逆定理？
③是否任何定理都有逆定理？
请举例说明。
④说说学过哪些互逆定理？
四、当堂训练：
⑴每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。
（）
⑵命题正确时其逆命题也正确。
（）
⑶直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。
（）
2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）
①8、15、17②4、5、6、③7.5、4、8.5④24、25、7⑤5、8、10
A：
①②④B：
②④⑤C：
①③⑤D：
①③④
1、以下命题的逆命题属于假命题的是（）
两角相等的三角形是等腰三角形。
B：
全等三角形的对应角相等。
C：
两直线平行，内错角相等。
D：
直角三角形两锐角互余。
2、命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是：
__________________________________________________________
3、若一个直角两直角边之比为3：
4，斜边长20cm，则两直角边为（）
4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。
5、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
五边形是多边形。
（）（）
B两直线平行，同位角相等。
如果两个角是对顶角，那么它们相等。
D：
如果AB=0，那么A=0，B=0。
6、公园中景点A、B间相距50m，景点A、C间相距40m，景点B、C间相距30m，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？
为什么？
7、台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8M处，已知旗杆原长16M，则旗杆在距底部几米处断裂。
1.2直角三角形
（2）
1、了解直角三角形全等的判定定理（HL），发展演绎推理能力；
2、采用动手动脑相结合的方式，进一步学习严密科学的证明方法；
3、通过推理、论证的训练，养成严谨的科学态度，不懈的探究精神和良好的说理方法。
1、勾股定理:
逆定理：
2、命题“对顶角相等”的逆命题是，是命题。
“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是。
1、直角三角形全等的证明方法：
如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，BC=EF。
Rt△ABC≌Rt△DEF。
和对应相等的两个直角三角形全等。
这个定理也可以简单地用“斜边、直角边”或“H、L”来表示。
2、用三角尺作已知角的平分线：
如图，∠AOB，用三角尺作出角平分线OP，并证明。
已知
：
如图∠ACB=∠BDA=90°
，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？
把它们分别写出来。
1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）
两条直角边对应相等的两个直角三角形。
B：
两个锐角对应相等的两个直角三角形。
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。
有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
1、下列说法正确的有（）
（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。
（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等。
（4）有两条边相等的两个直角三角形全等。
（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2个B：
3个C：
4个D：
5个
2、下列说法中错误的是（）
A:
直角三角形中，任意直角边上的中线小于斜边。
B:
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半。
C:
直角三角形中每条直角边都小于斜边。
D:
等腰直角三角形一边长为1，则它的周长为1+
。
3、四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD的面积________。
如图，铁路上A、B两点，（视为直线上两点）相距25km。
C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多远的地方？
1.3线段的垂直平分线
（1）
1、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。
3、能够用尺规作已知线段的垂直平分线。
叫做这条线段的垂直平分线，也叫做中垂线。
1、定理：
线段垂直平分线上的点到的距离相等。
如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。
PA=PB。
2、逆定理：
写出上述命题的逆命题：
，是命题。
如图，AB=AC。
点A在BC的垂直平分线上。
在这条线段的垂直平分线上。
3、作图：
用尺规作线段的垂直平分线。
线段AB。
求做：
线段AB的垂直平分线。
线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。
如图，∠BAC=1200，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADC=。
3、△ABC中，∠A=500，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC的度数。
4、如图，△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B∠BAE，∠C∠GAF，若∠BAC=1260，则∠EAG=。
5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是。
1、以线段AB为底边的所有等腰三角形的顶点在上。
2、如图，在△ABC中，AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC=。
3、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，作图表示码头应建造在什么位置。
4、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到该厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E。
（1）∠EAD=∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC=∠B。
1.3线段的垂直平分线
（2）
1、能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理。
2、能够用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底边及底边上的高作等腰三角形。
1、等腰三角形的顶点一定在上。
2、在△ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是。
3、在△ABC中，AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC=.
4、已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线。
AB
5、如图，分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，请分别作出每个三角形三边的垂直平分线，并观察，你能得到什么结论？
结论：
①每个三角形三边的垂直平分线都，这一点；
②锐角三角形时，交点在，直角三角形时，交点在，钝角三角形时，交点在。
三角形三条边的垂直平分线。
阅读课本，了解定理的证明过程。
2、作图：
已知底边和底边上的高，求作等腰三角形。
如图，线段a、h。
求作：
△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。
1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）
A、三角形三条角平分线的交点；
B、三角形三条垂直平分线的交点；
C、三角形三条中线的交点；
D、三角形三条高的交点。
2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC
的形状为（）
A、锐角三角形；
B、直角三角形；
C、钝角三角形；
D、不能确定
3、等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是。
4、已知：
如图，线段a。
以a为底、以
a为高的等腰三角形。
并判断这个三角形是。
5、如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC,求证：
AO⊥BC。
P30习题1、2
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°
∠BAC=60°
DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，写出图中相等的线段。
1.4角平分线
（1）
1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；
2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；
3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。
角平分线的定义：
______________________________________
问题1：
还记得角平分线上的点有什么性质吗？
你是怎样得到的？
你能证明它吗？
定理归纳：
问题2：
你能写出这个定理的逆命题？
它是真命题吗？
如果是，你作证明它？
（做一做）用尺规怎样做已知角的平分线呢？
并对自己的做法加以证明。
四、归纳总结：
1、角平分线的性质及判定的内容是什么？
2、如何用尺规作已知角的平分线？
如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°
，
DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，
BE=CF
1、如图在△ABC中AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
则三个结论：
①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△QSP中（）
A全部正确B：
仅①和②正确
C：
仅①正确D：
仅①和③正确。
2、在△ABC中∠C=90°
，∠A的平分线交BC于D，BC=CM，BD：
DC：
=4：
3，则点D到AB的距离为___________。
3、在RT△ABC中，∠C=90°
，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_______________.
1、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）
PD=PEB：
OD=OEC：
∠DPO=∠EPOD：
PD=OD
2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）
△AEG≌△AFGB:
△AED≌△AFDC:
△DEG≌△DFGD:
△BDE≌△CDF
3、△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°
，∠OCB=30°
，则
∠OAC=_____________°
4、与相交的两直线距离相等的点在（）
一条直线上B：
一条射线上C：
两条互相垂直的直线上D：
以上都不对
5、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为____________。
6、在RT△ABC中，∠C=90°
，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________。
7、如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A、B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？
请试试。
如图，梯形ABCD，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，
（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；
（2）选择
（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由。
1.4角平分线
（2）
1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？
作用呢？
如图：
设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：
P点在∠BAC的平分线上
三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。
引申：
三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。
对应练习：
△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）
A、三条中线的交点；
B、三条高的交点；
C、三条角平分线的交点；
D、不能确定
例：
如图，△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
（1）
CD=4cm,求AC长
（2）求证：
AB=AC+CD
1、我的收获？
2、我不明白的问题？
五、当堂训练：
1、到一个角的两边距离相等的点在。
2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:
DC=4:
3,
则D到AB的距离为.
3、如图，Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC=cm。
4、如图，在△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则
∠BAO和∠CAO的大小关系为。
5、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积
是。
6、已知：
OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：
BE=BF。
P37习题1、2、3
直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
你如何发现的?
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