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可选参考书

[1]V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：

科学出版社，1985.

[2]蔡燧林,常微分方程,杭州：

浙江大学出版社,1988.

[3]丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：

高等教育出版社,2004.

[4]金福临、李训经,常微分方程,上海：

上海科学技术出版社,1979.

[5]林武忠、汪志鸣、张九超,常微分方程,北京：

科学出版社，2003.

[6]王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松,常微分方程（第二版）,北京：

高等教育出版社,1983.

[7]王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：

人民教育出版社,1963.

[8]叶彦谦,常微分方程讲义（第二版）,北京：

人民教育出版社,1982.

授课教师

张伟年

职称

教授

单位

授课时间

2005年9月—2006年1月

注：

表中（）选项请打“√”

【理科】

周次

第一周，第1次课

章节

名称

第一讲:

§

1.1常微分方程模型

授课

方式

理论课（√）；

实践课（　）；

实习（　）

教　学

时　数

2

教

学

目

的

及

要

求

1.了解常微分方程的一般形式

2.通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型

教　学　内　容　提　要

一、问题的提出

常微分方程的一般形式

1）函数方程（泛函方程）:

2）微分方程

A常微分方程

B偏微分方程

3）n阶常微分方程（n阶方程）

二、几个具体的例子

例1物体作水平运动

例2自由落体运动

例3弹簧振子的水平自由运动

例4天体运动中的二体问题

例5几何问题

三、本讲习题

重

点

与

难

重点：

了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。

作

业

、

选

题

习题1.1,1,2.

手

段

多媒体课件为主、黑板教学为辅

参

考

资

料

备

注

V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：

丁同仁、李承治,常微分方程教程（第二版）,北京：

王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：

第一周，第2次课

第二讲:

1.2微分方程求解思想

1.了解微分方程的精确解与近似解

2.微分方程的几何分析

3.给出微分方程形式的分类

一、计算与近似计算

1.微分方程的解

2.微分方程的通解与特解

3.初值问题（Cauchy问题）

4.近似解

二、几何分析

1.积分曲线

2.等倾线（isocline）

水平等倾线，竖直等倾线

例1

例2

三、微分方程形式

1.隐式微分方程

2.规范形式

一阶方程

3.一阶微分方程组

4.线性微分方程

一阶线性微分方程的规范形式

四、本讲习题

1了解微分方程的精确解与近似解

2掌握微分方程形式的分类

难点：

在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分析

作业：

习题1.21,2，5

（2）.

选作题：

求以初速度

在空气中铅直上抛的物体的运动方程,其中物体质量为

阻尼与速度的平方成正比,比例系数为

.又问物体达到最高点的时间是多少？

第二周，第1次课

第三讲:

1.3基本问题

1.含有n个参数的函数是一个n阶微分方程的通解。

2.一个n阶微分方程的通解包含n个任意常数。

一、主要结果

事实:

微分方程的通解含有任意参数

问题:

给一个含有任意参数的函数,是否能找到一个微分方程,使得这个函数正好是这个方程的解呢?

定理

二、证明思路

1.Jacobi行列式不为0

2.建立方程组

3.求解参数

补充:

隐函数定理，联系数学分析相关知识。

4.解与方程的对应

三、本讲习题

1了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；

2给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个函数？

习题1.31

（1）（3）.

平面上安放长度为

的细磁棒,如果撒上一些小铁钉,他们将按磁场的方向排列.可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷,磁量分别为+1和-1.试求出这个磁场满足的微分方程.进而,画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.

第二周，第2次课

第四讲:

2.1变量分离形式

1.什么是方程的隐式解

2.什么是变量分离形式的方程

3.分离变量法

4.常数变易法

5.可化为变量分离形式方程的求解

一、初等积分法

1初等积分法的定义

2微分方程的隐式解

二、变量分离方程

1变量分离形式方程

2方程通解的求法

3方程特解的求法

例1

例2

三、可化为变量分离方程的类型

1一阶线性微分方程

常数变易法与常数变易公式

例3

2Bernoulli方程

例4

3齐次方程

4线性分式形式的微分方程

例5

变量分离形式方程的求解

1Brnoulli方程的求解

2齐次方程的求解

3线性分式形式的微分方程的求解

习题2.11,2

（1）（3）（4）（9）（12）,3

（2）（8）（14）,4

（1）（6）,7

（1）（3）.

设

是方程

的两个互异解.求证对于该方程的任一解

下式

恒成立,其中

是某常数.

第三周，第1次课

第五讲:

2.2恰当方程形式

1.什么是恰当方程

2．如何判定微分方程是恰当的

3．如何寻求恰当方程的解

4．如何使方程变得恰当

5．寻求特殊的积分因子

一、恰当方程

1恰当方程（全微分方程）的形式与所满足的条件

2首次积分

提出两个问题

1）如何判断一个微分方程是否为恰当方程？

2）若方程是恰当的,如何寻求全微分的原函数?

二、恰当方程的判定定理

定理判定微分方程是恰当方程的充分必要条件

二、积分因子法

问题:

有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程.这时我们问:

是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢?

1积分因子

结论

如何来寻求这些积分因子?

2特殊情况下的积分因子

3其它情况

4进一步分析

例3

1恰当方程的判定

2寻求积分因子

寻求积分因子

习题2.21

（2）（3）（5）,4

（1）（3）（5）,5,8

选择题：

假设微分方程

有形如

的积分因子,试确定其中的常数

并求解该方程.

第三周，第2次课

第六讲:

2.3隐式方程

1．隐式方程

2．隐式方程的化简

一、隐式方程

1一阶隐式方程的形式

2求解思想

1）将

看成独立的变量

2）将代数方程

所定义的曲面参数化

3）通过变量替换的方法把方程

（1）化为导数已解出的显式方程

4）用上两节已给出的方法求解.

3具体求解方法

二、几类可解的特殊的隐式方程

1可以解出y的方程

2可以解出x的方程

3不显含y的隐式方程

4不显含x的隐式方程

三、其他情形

1隐式方程中可解出

，例2

2隐式方程轮不显含x,y，例3

隐式方程的求解

第四周，第1次课

第七讲:

2.4初等积分法的一些应用

1．方程的奇解与包络

2．利用初等积分法求解一些特殊的高阶微分方程

3．平面保守系统的轨道

4．Riccati方程的解

一、奇解

1曲线族的包络包络的性质

C-判别曲线例1

2方程的奇解

3方程的奇解判别

p-判别曲线例2

二、高阶微分方程

求解的基本思想:

1）不显含未知函数y的方程

2）不显含自变量x的方程

3）齐次方程

4）全微分方程

例3，例4

三、平面保守系统

1一个具体例子

相平面，轨道，相图

2更一般的情况

四、Riccati方程

1Riccati方程的求解

2一种特殊情况

3结果

五、本讲习题

重点；

1方程的奇解判别

2高阶微分方程求解的基本思想:

习题2.41

（2）（3）（4）,2

（1）

（2）,3

（1）（9）,6.

1）求解下列方程

2）试证若

的满足初始条件

的解,则

其中

在

上连续.

第五周，第2次课

第八讲:

3.1存在性与唯一性

1．深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义;

2．理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提;

3．掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.

解的存在性为方程的求解提供理论基础；

的存在唯一性是近似计算的前提。

二、存在唯一性定理

定理

三、矩阵函数的性质

四、定理的证明

证明共分五步完成

小结

五、本讲习题

线性系统解的存在唯一性定理

线性系统解的存在唯一性定理的证明

习题3.11,2,3.

连续,且

其中

非负.试用逐步逼近法证明：

第六周，第1次课

第九讲:

3.2齐次线性方程组的通解结构

1.掌握齐次线性微分方程组解的叠加原理;

2.理解向量函数线性相关和线性无关的概念;

3.掌握Wronski行列式;

4.掌握Liouville公式和Liouville定理.

一、线性相关与无关的定义

二、解的叠加原理

定理的证明思路

三、Wronski行列式

四、Liouville定理

1Liouville定理的证明

2基解矩阵与标准解矩阵的定义

3初值问题的解

说明:

对Liouville定理的一点解释

1齐次线性微分方程组解的叠加原理

2Liouville公式和Liouville定理.

Wronski行列式

习题3.23,4.

是

周期连续的,且

为基解矩阵,证明:

也是基解矩阵且存在可逆矩阵

使得

.

第六周，第2次课

第十讲:

3.3非齐次线性方程组的通解

1.深刻理解齐次与非齐次线性方程组解之间的关系;

2.掌握常数变易法;

3.理解并学会使用常数变易公式.

一、通解结构

二、通解定理

三、常数变易法

通解定理的证明

四、本讲习题

常数变易公式及其应用

常数变易法

习题3.31,3

是区间

上的

阶连续矩阵函数,

上的不恒为零的

维连续列向量.试证非齐次线性方程组

+

存在且至多存在n+1个线性无关的解。

第七周，第1次课

第十一讲:

3.4高阶线性方程

1.深刻理解高阶方程与一阶方程组解的区别和联系。

2.掌握利用Liouville公式降阶的方法。

一、高阶方程与一阶方程组

1n阶线性微分方程的一般形式

2齐次与非齐次的情况

二、Wronski行列式定义

三、Liouville定理

四、通解结构

五、例题

六、本讲习题

高阶线性方程的解

习题3.41,2,3,5

不用Liouville公式而直接用变量代换

来对方程

降阶并证明其通解表达式.

第七周，第2次课

第十二讲:

3.5复值解和级数解法

1.深刻理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系。

2.了解Cauchy定理。

3.掌握幂级数解法。

一、复值矩阵函数

复值矩阵函数的定义

复值矩阵函数的求导与积分

二、复值线性方程组

定理1，定理2

三、Cauchy定理

推论

四、幂级数解法

1理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系

2微分方程的幂级数解法

Cauchy定理的理解

习题3.51,3,4.

用幂级数法求方程

满足初值条件

的解.

第九周，第1次课

第十三讲:

4.1齐次问题

理论