四川大学常微分方程教案设计word文档良心出品Word文档下载推荐.docx

1、可选参考书1 V. I. Arnold （阿诺德）, 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：科学出版社，1985.2 蔡燧林, 常微分方程, 杭州：浙江大学出版社, 1988.3 丁同仁、李承治, 常微分方程教程（第二版）, 北京：高等教育出版社, 2004.4 金福临、李训经, 常微分方程, 上海：上海科学技术出版社, 1979.5 林武忠、汪志鸣、张九超, 常微分方程, 北京：科学出版社，2003.6 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松, 常微分方程（第二版）, 北京：高等教育出版社, 1983.7 王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：人民教育出版社, 1963.8 叶彦谦,

2、常微分方程讲义（第二版）, 北京：人民教育出版社, 1982.授课教师张伟年职 称教授单 位授课时间2005年9月2006年1月注：表中（ ）选项请打“”【理科】周 次第 一 周， 第 1 次课章 节名 称第一讲: 1.1 常微分方程模型授 课方 式理论课（）；实践课（）；实习（）教学时数2教学目的及要求1. 了解常微分方程的一般形式2. 通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型教学内容提要一、问题的提出常微分方程的一般形式1） 函数方程（泛函方程）:2） 微分方程A 常微分方程B 偏微分方程3） n 阶常微分方程（n阶方程）二、几个具体的例子例1 物体作水平运动例2 自由落体运动例3 弹簧振

3、子的水平自由运动例4 天体运动中的二体问题例5 几何问题三、本讲习题 重点与难重点：了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。作业、选题习题1.1, 1, 2.手段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料备注V. I. Arnold （阿诺德）, 常微分方程, 沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译, 北京：丁同仁、李承治, 常微分方程教程（第二版）, 北京：王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, 北京：第 一 周， 第 2 次课第二讲:1.2微分方程求解思想1. 了解微分方程的精确解与近似解2. 微分方程的几何分析3. 给出微分方程形式的分类一、 计算与近似计算1. 微分方程的解 2.

4、 微分方程的通解与特解 3. 初值问题（Cauchy问题） 4. 近似解 二、几何分析1. 积分曲线2. 等倾线（isocline） 水平等倾线，竖直等倾线例1例2三、微分方程形式1. 隐式微分方程2. 规范形式 一阶方程3. 一阶微分方程组4. 线性微分方程一阶线性微分方程的规范形式四、本讲习题 1 了解微分方程的精确解与近似解2 掌握微分方程形式的分类 难点：在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分析作业：习题1.2 1, 2，5（2）.选作题：求以初速度在空气中铅直上抛的物体的运动方程,其中物体质量为,阻尼与速度的平方成正比,比例系数为.又问物体达到最高点的时间是多少？第 二 周， 第

5、 1 次课第三讲:1.3基本问题1. 含有n个参数的函数是一个n阶微分方程的通解。2. 一个n阶微分方程的通解包含n个任意常数。一、主要结果事实: 微分方程的通解含有任意参数 问题: 给一个含有任意参数的函数,是否能找到一个微分方程,使得这个函数正好是这个方程的解呢? 定理二、证明思路 1.Jacobi行列式不为02.建立方程组 3.求解参数 补充:隐函数定理，联系数学分析相关知识。 4.解与方程的对应三、本讲习题1 了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；2 给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个函数？习题1.3 1（1）（3）.平面上安放长度为的细磁棒, 如果撒上

6、一些小铁钉, 他们将按磁场的方向排列. 可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷, 磁量分别为+1和-1. 试求出这个磁场满足的微分方程. 进而, 画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.第 二周， 第 2 次课第四讲:2.1 变量分离形式1. 什么是方程的隐式解2. 什么是变量分离形式的方程3. 分离变量法4. 常数变易法5. 可化为变量分离形式方程的求解一、初等积分法 1 初等积分法的定义 2 微分方程的隐式解 二、变量分离方程1 变量分离形式方程 2 方程通解的求法 3 方程特解的求法 例1 例 2三、可化为变量分离方程的类型1 一阶线性微分方程 常数变易法与常数变易公式 例3 2

7、Bernoulli方程 例43 齐次方程 4 线性分式形式的微分方程 例5变量分离形式方程的求解1 Brnoulli方程的求解2 齐次方程的求解 3 线性分式形式的微分方程的求解习题2.1 1, 2（1）（3）（4）（9）（12）, 3（2）（8）（14）, 4（1）（6）, 7（1）（3）.设,是方程的两个互异解.求证对于该方程的任一解,下式恒成立, 其中是某常数.第 三 周， 第 1 次课第五讲:2.2 恰当方程形式1. 什么是恰当方程2 如何判定微分方程是恰当的3 如何寻求恰当方程的解4 如何使方程变得恰当5 寻求特殊的积分因子一、恰当方程1 恰当方程（全微分方程） 的形式与所满足的条件

8、2 首次积分 提出两个问题 1） 如何判断一个微分方程是否为恰当方程？ 2） 若方程是恰当的,如何寻求全微分的原函数?二、恰当方程的判定定理定理 判定微分方程是恰当方程的充分必要条件二、 积分因子法问题:有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程. 这时我们问:是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢? 1 积分因子 结论 如何来寻求这些积分因子?2 特殊情况下的积分因子3 其它情况4 进一步分析例31 恰当方程的判定 2 寻求积分因子寻求积分因子习题2.2 1（2）（3）（5）, 4（1）（3）（5）, 5, 8选择题：假设微分方程有形如的积分因子, 试确定其中的常数, 并求解该方程.第

9、 三 周， 第 2 次课第六讲:2.3隐式方程1 隐式方程2 隐式方程的化简一、隐式方程1 一阶隐式方程的形式2 求解思想1） 将看成独立的变量2） 将代数方程所定义的曲面参数化3） 通过变量替换的方法把方程（1）化为导数已解出的显式方程4） 用上两节已给出的方法求解.3 具体求解方法二、几类可解的特殊的隐式方程1 可以解出y的方程2 可以解出x的方程3 不显含y的隐式方程 4 不显含x的隐式方程 三、其他情形1 隐式方程中可解出， 例22 隐式方程轮不显含x,y， 例3 隐式方程的求解第 四 周， 第 1 次课第七讲:2.4 初等积分法的一些应用1方程的奇解与包络2利用初等积分法求解一些特殊

10、的高阶微分方程3平面保守系统的轨道4Riccati方程的解一、奇解1 曲线族的包络 包络的性质 C-判别曲线 例12 方程的奇解3 方程的奇解判别 p -判别曲线 例2二、高阶微分方程求解的基本思想:1） 不显含未知函数y的方程2） 不显含自变量x的方程3） 齐次方程4） 全微分方程例3， 例4 三、平面保守系统1 一个具体例子 相平面，轨道，相图2 更一般的情况四、Riccati方程1 Riccati方程的求解2 一种特殊情况3 结果五、本讲习题 重点；1 方程的奇解判别2 高阶微分方程求解的基本思想:习题2.4 1（2）（3）（4）, 2（1）（2）, 3（1）（9）, 6.1） 求解下列

11、方程2） 试证若的满足初始条件的解,则,其中在上连续.第 五 周， 第 2次课第八讲:3.1 存在性与唯一性1深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义;2理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提;3掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.解的存在性为方程的求解提供理论基础；的存在唯一性是近似计算的前提。二、存在唯一性定理定理三、矩阵函数的性质四、定理的证明证明共分五步完成小结五、本讲习题线性系统解的存在唯一性定理线性系统解的存在唯一性定理的证明习题3.1 1, 2, 3.连续,且其中非负. 试用逐步逼近法证明：第 六 周， 第 1 次课第九讲:3.2 齐次线性方程组的通解结构1. 掌握齐次

12、线性微分方程组解的叠加原理;2. 理解向量函数线性相关和线性无关的概念;3. 掌握Wronski行列式;4. 掌握Liouville公式和Liouville定理. 一、 线性相关与无关的定义二、解的叠加原理定理的证明思路三、Wronski行列式四、Liouville定理1 Liouville定理的证明2 基解矩阵与标准解矩阵的定义3 初值问题的解 说明:对Liouville定理的一点解释1 齐次线性微分方程组解的叠加原理 2 Liouville公式和Liouville定理.Wronski行列式习题3.2 3, 4., 是周期连续的, 且为基解矩阵, 证明:也是基解矩阵且存在可逆矩阵, 使得.第

13、 六 周， 第 2 次课第十讲:3.3 非齐次线性方程组的通解1. 深刻理解齐次与非齐次线性方程组解之间的关系;2. 掌握常数变易法;3. 理解并学会使用常数变易公式.一、通解结构二、通解定理三、常数变易法通解定理的证明 四、本讲习题常数变易公式及其应用常数变易法习题3.3 1, 3是区间上的阶连续矩阵函数, 上的不恒为零的维连续列向量. 试证非齐次线性方程组+存在且至多存在n+1个线性无关的解。第 七 周， 第 1 次课第十一讲:3.4 高阶线性方程1. 深刻理解高阶方程与一阶方程组解的区别和联系。2. 掌握利用Liouville公式降阶的方法。一、高阶方程与一阶方程组1 n阶线性微分方程的

14、一般形式2 齐次与非齐次的情况二、Wronski行列式定义 三、Liouville定理四、通解结构五、例题六、本讲习题高阶线性方程的解习题3.4 1, 2, 3, 5不用 Liouville 公式而直接用变量代换来对方程降阶并证明其通解表达式. 第 七 周， 第 2 次课第十二讲:3.5 复值解和级数解法1. 深刻理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系。2. 了解Cauchy定理。3. 掌握幂级数解法。一、复值矩阵函数 复值矩阵函数的定义复值矩阵函数的求导与积分二、复值线性方程组定理1，定理2 三、Cauchy定理推论四、幂级数解法1 理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系2 微分方程的幂级数解法 Cauchy定理的理解习题3.5 1, 3, 4.用幂级数法求方程 满足初值条件的解.第 九 周， 第 1 次课第十三讲:4.1 齐次问题理论