轴扭转计算.docx

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轴扭转计算

第5章扭转

5.1扭转的概念及外力偶矩的计算

、扭转的概念

在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。

例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。

图5.1

图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。

图5.2

图示5.3，载重汽车的传动轴。

图5.3

图示5.4，挖掘机的传动轴。

图5.4

图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。

图5.5

分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。

变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用表示，如图5.6所示。

以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。

图5.6

本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。

、外力偶矩的计算

工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。

根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：

（5.1）

式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为；

N-----轴传递的功率，单位为；

n------轴的转速，单位为r/min。

图5.7

5.2圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图

扭矩

已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。

图为受扭圆轴，设外力偶矩为，求距A端为x的任意截面上的内力。

假设在截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件，得内力偶矩T和外力偶矩的关系

内力偶矩T称为扭矩。

扭矩的正负号规定为：

自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。

图5.8

图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。

扭矩的单位是或。

扭矩图

为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在轴上方，负值扭矩画在轴下方。

这种图形称为扭矩图。

例题5.1图示传动轴，转速，A轮为主动轮，输入功率，B、C、D为从动轮，输出功率分别为，，，试求各段扭矩。

解：

1、计算外力偶矩

2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为

（图c）

（图d）

（图e）

，为负值说明实际方向与假设的相反。

3、作扭矩图

例题5.1图

5.3等直圆轴扭转时横截面上的切应力

实心圆轴横截面上的应力

工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。

下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。

1、变形几何关系

取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度。

图5.9

根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。

⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；

⑵横截面上的半径仍保持为直线；

⑶各横截面的间距保持不变。

圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。

根据上述假设，从圆轴中取相距为的微段进行研究，如图5.10（a）所示。

图5.10

设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。

则由图可知变形后，纵向线段变为，和的夹角为（切应变），对应横截面的圆心角，在小变形的条件下可以建立如下关系。

为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为的微段，如图5.10（b）所示。

同理可得

（5.2）

上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离成正比关系。

2、物理关系

根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系

将（5–2）式代入上式，得

（5.3）

上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力与该点到圆心的距离成正比，其分布如图5.11所示，式中可利用静力方程确定。

图5.11

3、静力学关系

根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力和扭矩有如下静力学关系

将（5.3）式代入

式中，称截面的极惯性矩，代入上式，得

（5.4）

将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式

（5.5）

当时，表示圆截面边缘处的切应力最大

（5.6）

式中，称为抗扭截面系数。

它是与截面形状和尺寸有关的量。

极惯性矩和抗扭截面系数

极惯性矩和抗扭截面系数可按其定义通过积分求得。

下面介绍其计算方法。

对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为处取厚度为的环形面积作为微面积dA，于是，从而可得实心圆截面的极惯性矩为

抗扭截面系数为

如为图（b）空心圆轴，则有

式中为空心圆轴内外径之比。

空心圆轴截面的抗扭截面系数为

极惯性矩的量纲是长度的四次方，常用的单位为或。

抗扭截面系数的

量纲是长度的三次方，常用单位为或。

（a）（b）

图5.12

5.4等直圆轴扭转时的强度计算

圆轴扭转强度条件

工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力，即

对于等截面圆轴，表示为

上式称为圆轴扭转强度条件

试验表明，材料扭转许用切应力和许用拉应力有如下近似的关系。

塑性材料

脆性材料

例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径，壁厚，工作时的最大扭矩，若材料的许用切应力，试校核该轴的强度。

解：

1、计算抗扭截面系数

主传动轴的内外径之比

抗扭截面系数为

2、计算轴的最大切应力

3、强度校核

主传动轴安全

例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。

解：

1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为，即

2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即

讨论：

由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。

这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大或，从而提高了轴的强度。

然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。

5.5等直圆轴扭转时的变形及刚度条件

圆轴扭转时的变形

轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角表示，由（5.4）式，可求段的相对扭转角。

当扭矩为常数，且也为常量时，相距长度为l的两横截面相对扭转角为

（弧度）（5.7）

式中，称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。

相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。

若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：

在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率来度量，用表示，称为单位长度扭转角。

即：

（5.8）

圆轴扭转刚度条件

工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。

下式即为刚度条件

（5.9）

在工程中，的单位习惯用（度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得

对于等截面圆轴，即为

许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴，为~，对于精密机器的轴，常取在之间。

例题5.4图示轴的直径，切变模量，试计算该轴两端面之间的扭转角。

例题5.4图

解：

两端面之间扭转角为

1、作扭矩图（图b）

2、分段求扭转角

式中，

例题5.5主传动钢轴，传递功率，转速，传动轴的许用切应力，许用单位长度扭转角，切变模量，试计算传动轴所需的直径。

解：

1、计算轴的扭矩

2、根据强度条件求所需直径

3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径

故应按刚度条件确定传动轴直径，取。

本章小结

1、圆轴扭转横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。

最大剪应力发生在截面外周边各点处，其计算公式如下：

，

2、圆轴扭转的强度条件为：

利用它可以完成强度校核、确定截面尺寸和许可荷截等三类强度计算问题。

3、圆轴扭转变形的计算公式为：

圆轴扭转的刚度条件是：

思考题

5.1直径相同，材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大切应力和最大单位扭转角是否相同？

5.2横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？

习题

5.1试作下列各轴的扭矩图。

题5.1图

5.2图示传动轴，转速，A轮为主动轮，输入功率，B、C、D为从动轮，输出功率分别为，。

⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。

题5.2图题5.3图

5.3T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。

5.4图示圆截面空心轴，外径，内径，扭矩，试计算的A点处的扭转切应力以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。

题5.4图

5.5一直径为的圆截面轴，其转速为，设横截面上的最大切应力为，试求所传递的功率。

5.6将直径，长的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量，求此时钢丝内的最大切应力。

5.7某钢轴直径，扭矩，材料的许用切应力，单位长度许用扭转角，切变模量，试校核此轴的强度和刚度。

5.8阶梯形圆轴直径分别为d1=，d2=，轴上装有三个皮带轮，如图所示。

已知由轮3输入的功率为N3=3kW，轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力，，许用扭转角＝。

试校核轴的强度和刚度。

题5.8图

5.9一钢轴受扭矩，许用切应力，许用扭转角，切变模量，试选择轴的直径。

5.10桥式起重机题5.10图所示。

若传动轴传递的力偶矩，材料的许用切应力，，同时规定0.5°/m。

试设计轴的直径。

题5.10图

5.11某空心钢轴，内外径之比，转速，传递功率，已知许用切应力，许用扭转角，切变模量，试设计钢轴的内径和外径。

5.12某传动轴，横截面上的最大扭矩，许用切应力，试按下列两种方案确定截面直径：

⑴横截面为实心圆截面；⑵横截面为的空心圆截面。

5.13横截面面积相等的实心轴和空心轴，两轴材料相同，受同样的扭矩T作用，已知实心轴直径，空心轴内外径之比值。

试求二者最大切应力之比及单位长度扭转角之比。

5.14钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值）的横截面面积相等，钢轴许用应力，铝轴许用应力，若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？

5.15实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速，传递功率，材料的许用切应力，试选择实心轴直径和内外径比值的空心轴外径。

题5.15图

5.16已知传动轴的功率分别为，，，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。

题5.16图

5.17已知轴的许用切应力，切变模量，许用单位扭转角，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应