一元三次函数性质与图象探索.doc

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一元三次函数性质与图象探索

高中部宋润生

我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？

利用已学过的知识得出：

当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．

接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：

　　图1                            图2

利用已学知识归纳得出：

当时（如图1），在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时（图2），在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．

三次函数的图象有六类．如图：

图3　　                     　　图4

图5                                图6

图7                              图8

分析：

由图3函数有哪些特点呢？

归纳：

解析式是，整个定义域上函数单调递增，在图4中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值，函数必经过原点．单调性又与什么知识相关呢？

导数，现在求出函数的导数是，验证与0的关系，当时，即的图象在是单调递增；当时，即的图象在是单调递减相一致．当，根据图象知道，在处不是函数f（x）的极值点．所以的根是函数取得极值的必要不充分条件．现在思考并验证函数与函数图象有什么关系？

经过验证得出：

函数与相同，当时函数图象是图象向上平移|d|个单位；当时函数图象是图象向下平移|d|个单位；函数的导数都是．

在图5中解析式是，整个定义域上函数单调递增．在图6中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值．函数的导数，经过验证在图5中因为即，所以的图象在是单调递增；在图6中因为即，所以的图象在是单调递减；函数都不存在极大值或极小值．为什么在图5中a>0、,在图6中a<0、呢？

a>0、或a<0、是又有什么结果呢？

因为导数是二次函数，当a>0、或a<0、时判别式，导数函数不小于0，方程有一个根．当a>0、或a<0、时，方程有两个根．那么函数图象有什么特点呢？

猜想如果，那么有两根，函数f（x）应有增也有减，我们来验证一下图7、图8：

在图7中解析式是，在或上函数单调递增，在上函数单调递减；在处取得极大值，在处取得极小值；在图8中解析式是，在或上函数单调递减，在上函数单调递增；在处取得极小值，在处取得极大值，它们在上最大值和最小值．为什么呢？

函数的导数是，设的两根是并且令．经过验证在图7中，因为，当或时，所以的图象在或是单调递增；在上，所以的图象在是单调递减．在图8中，因为，当或时，所以的图象在或是单调递减；在上，所以的图象在是单调递增．

经过上述探索知道，函数在整个定义域上是单调递增（递减），左右都增中间递减，还是左右都减中间递增，是由a确定，b、c确定函数有没有极值、d确定函数与y轴的交点．并且函数单调递增（递减）有没有极值与的导函数的判别式相关，具体归纳如下性质：

设的导数是则，函数的判别式为：

由导数的图象可知：

时导数的图象　　　　　　　　　　　　时导数图象

图9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图10

函数f（x）图象　　　　　　　　　

图11　　　　　　　　　　　　　　　　图12

三次函数f（x）在R上是单调函数，（无极值）

　　时的两根为且导数图象

图13

函数f（x）图象　　　　　　　　　函数f（x）图象

图14　　　　　　　　　　　　　　　　　　图15

1、时在或单调递增；在单调递减（如图14）在处取得极大值，在处取得极小值．

2、时在或单调递减；在单调递增，（如图15）在处取得极小值，在处取得极大值．

注意：

三次函数f（x）有极值导函数的判别式>0

三次函数图象的对称性：

三次函数的图象是中心对称图形，其对称中心是（-b/3a，f（-b/3a））．（三次函数的图象经过平移后能得到奇函数图象，可以用待定系数法求得）

三次函数的图象的对称中心在其导函数的图象对称轴上．

若三次函数有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点．

根据以上性质可以灵活解决三次函数问题：

例1、设，讨论关于x的方程的相异实根的个数？

解：

分析：

要讨论方程根的个数，直接求解非常困难，根据题意，需把方程转化为函数问题，即方程变成，设，这转化为讨论函数与交点的个数．

函数的导数的两根为（如图16）

 函数的极大值是，函数的极小值是，

（1）当或时，函数与只有一个交点，即方程只有一个根．

（2）当或时，函数与只有两个交点，即方程只有两个根．

（3）当时，函数与有三个交点，方程有三个根．

图16

例2、已知函数是R上的奇函数，当时f（x）取得极值．

（1）求f（x）的单调区间和极大值；

（2）证明对任意，，不等式恒成立．

解：

（1）函数f（x）是奇函数，所以，函数f（x）的导数依题意得,,解得

所以导数，（如图17）

　　时，函数f（x）单调递增；

时，函数f（x）单调递减；所以．

（2）如图17对任意，，函数f（x）单调递减，所以

图17

一般地在导数有两根且时，在处；在处，对任意都有

我们利用研究函数的性质的方法和导数知识能够轻松研究三次（高次）函数的性质，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，充分利用好导数知识，能更有效解决三次函数的极值、对称性、证明不等式等问题找到较好的解决办法．

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