(9)实数集表示为(-∞,+∞);
•练习:
1、用区间表示:
R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x
函数y=x的定义域,值域是。
•作业:
已知函数f(x)=3x2+5x-2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)
☆要点三:
函数的图像◎函数图像的概念:
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
◎描点法画函数图形的一般步骤第一步:
列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步:
描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:
连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
◎函数的三种表示方式:
4、解析式法:
两个变量之间的函数关系,一般可以用含有这两个变量的等式表示,即解析法,也叫关系式法。
函数的定义域的函数存在的前提,再写函数解析式的时候,一定要写出函数的定义域。
解析法的优点:
①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值求出其对应的函数值③便于研究函数的性质。
解析法是中学研究函数的主要表达方法。
缺点:
并不是所有函数都有解析式,对于类似气温随时间变化的函数是没有解析式的,解析式是为了方便进行数学研究,当然,我们可以通过数学手段对一些东
西进行简单的函数拟和,从微积分的角度上来看,任何一小段(小到趋于0)的
连续图像都是线性的;
2、图像法:
将自变量与其对应的函数值,组成一组组实数对,作为点的坐标,在平面直角坐标系内把这些所有点的坐标描述出来,即可得到函数的图像,用图像表示函数关系的方法,也叫图像法。
图像法的优点:
能形象直观的表示出函数的变化趋势,是今后利用数形结合思想解题的基础。
缺点:
图像法是最直观的,但是也是相对最不准确的,对于连续的函数,可以通过图像看出增减性、零点、顶点、对称轴的大概位置(就是坐标的范围),但是不能求出其具体位置。
所有函数都有图像,但并不是所有图像都有函数,比如圆的方程,因为函数要满足一一对应性。
在解决线性问题的时候,准确的函数图像可能可以直接让你看出答案。
3、列表法:
通过表格的形式来表示两个变量的函数关系,成为列表法。
列表法的优点:
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值,当自变量的值的个数较少时使用,列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。
缺点:
列表法有两个意义,第一,在已知函数部分性质的情况下,通过表中的数据比较函数的增减性;第二,通过数据进行函数的拟和或者求函数,一般来说,列表只能看到函数的部分情况,而且不能判断函数的性质,当然,在知道函数是什么函数的情况下,列表可以助于求出函数解析式或者是做出函数的图像,列表法是对函数本身损失最大的,因为它丢失了大量的信息,但既然给出的数据列表法也是十分准确的;
【例】某种笔记本的单价是5元,买xx1,2,3,4,5个笔记本需要y元。
试用函数的三种表示法表示函数
解:
这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}用解析法可将函数y=f(x)表示为:
y5x,x1,2,3,4,5用列表法可将函数表示为:
用图象法可将函数表示为下图:
25
20
15
10
5
函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等。
☆要点四:
变换法求函数的图像
向左平移a个单位:
y1=y,x1-a=xy=f(x+a);平移变换向右平移a个单位:
y1=y,x1+a=xy=f(x-a);
向上平移b个单位:
x1=x,y1+b=yy-b=f(x);
向下平移b个单位:
x1=x,y1-b=yy+b=f(x);
伸缩变换
横坐标变换:
把各点的横坐标x1缩短(当w>1)时,或伸长(当0到原来的倍纵坐标不变,即x1=wxy=f(wx)
w
纵坐标变换:
把各点的纵坐标y1伸长(A>1)或缩短(0A倍(横坐标不变),即y1=Ayy1=Af(x)
2y0-y=f(2x0-x)
2y0-y=f(x)
y=f-1(x)
关于直线y=x对称:
x=y1
y=x1
正比例函数
一般地,?
形如y=?
kx?
(k是常数,?
k≠0?
)的函数,?
叫做正比例函数(proportionalfunction),其中k叫做比例系数.也就是说,形如y=?
kx,且k≠0的函数是正比例函数。
[正比例函数图象和性质]
一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点和(1,k)的直线.我们称它为直线y=kx.?
当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,?
直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
(1)解析式:
y=kx(k是常数,k≠0)
(2)必过点:
(0,0)、(1,k)
(3)走向:
k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,?
图像经过二、四象限
(4)增减性:
k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
(5)倾斜度:
|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
[正比例函数解析式的确定]——待定系数法
1.设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k?
≠0)
2.把已知条件(一个点的坐标)代入解析式,得到关于k的一元一次方程
3.解方程,求出系数k
4.将k的值代回解析式
一次函数
[一次函数]
一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,k0)函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以正比例函数是一种特殊的一次函数.
[一次函数的图象及性质]
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-b,0)两点的一条直线,我k
们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0
时,向上平移;当b<0时,向下平移)
1)解析式:
y=kx+b(k、b是常数,k0)