三角形四心的向量性质练习doc文档格式.docx
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bOGGB
cOGGC
图2
abcOGGAGBGC
而abc3OG0
abc
OG
3
变式：
已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．则
uuuruuuruuur
ADBECF0．
如图的所示，
AD
2
BE
CF
（GAGBGC）
0．．
图3
变式引申：
如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，
1
则PO
（PA
PB
PC
PD）．
4
1uuur
uuuruuur
QPO
（PA
PC），PO
（PBPD），
PO
PD）．
（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．
（2）若P
uuuruuuruuuruuur
与O重合，则上式变为OAOBOCOD0．
例2.
已知O是平面内一点，
A,B,C是平面上不共线的三点，动点
P满足
OP
，
0,，则动点P的轨迹一定通过
ABC的
OAABBC
A.重心B.垂心C.外心D.内心
题2：
已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满
[0,
）.则P点的轨迹一定通过△ABC的（
）
足OP
OA
（ABAC）,
A.外心
B.
内心
C.重心
D.垂心
由已知得AP
（AB
AC），设BC的中点为D，则根据平行四边形法
则知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心，选C.
题3：
已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
（uuurAB
uuurAC
）,[0,）,则动点P的轨迹一定通过
满足OP
|AB|sinB|AC|sinC
△ABC的（）
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
），
|AB|sinB
|AC|sinC
由正弦定理知|AB|sinB|AC|sinC，∴AP
（AB
AC），
|AB|sinB
设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A.
题7：
已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足
（1
R,
0），则P的轨迹一定
1[
（1）OA
）OB
）OC]（
通过△ABC的（
A.内心
D.AB边的中点
2（1
CP
OC=[（1
）OA
（1）OB
）OC]
=
[（OA
OC）（OB
OC）]=
（CA
CB）,由平行四边形法则
0，所以P的轨迹在AB边的中线上，
知CA
CB必过AB边的中点，注意到
但不与重心重合，故选D.
题8：
已知O是△ABC所在平面上的一点，若OA
OB
OC=0,则O点是△ABC
的（）
B.内心
若OA
OC=0,
则OA
OC，以OA、OB为邻边作平行四
边形OAC1，设
1与
交于点
，则
为
的中点，有
uuuur
AB
D
OAOB
OC1
B
得OC1
OC，即C、O、D、C1四点共线，同理AE、BF亦为△ABC的中线，
所以O是△ABC的重心.选C.
题9：
已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO
PC）（其中P为
平面上任意一点）,则O点是△ABC的（
由已知得3PO
OP，
∴3PO
3OP
OC，即
OC=0，由上题的结论知O点
是△ABC的重心.故选C.
例4.证明：
三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
证：
设AC=b，CB=a，则AD=AC+CD=b+1a,
EBECCB=
∵A,G,D共线，B,G,E共线
A
∴可设AG=λAD，EG=μEB,
则
AG
λAD
λ
1λ
a,
F
E
G
=（b+
a）=λb+
EG=μEB=μ（1b+a）=1μb+μa,
C
∵AE
EG
即：
1
b+（
1μb+μa）=λb+
1λa
∴（μ1λ）a+（1μ
∵
a,b
不平行，
λ+
）b=0
2AD
∴
AG=2GD
同理可化：
AG=2GD,CG=2GF
二、三角形的外心的向量表示及应用
命题二：
已知G是△ABC内一点，满足MAMBMC，则点M为△
ABC的外心。
例2已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，点A，B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），且GM∥AB，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若直线
l过点（0，1），并与曲线交于P、Q两点，且满足OPOQ0，求直线l的方程。
xy
解
（1）设（Cx,y），则G（,），
其中x,y
0，
由于GM∥AB，
故my，
m
y
外心M（0，），
M为外心
M
x
图5
MAMC，得（x0）2
（y
y）2
1（y）2
轨迹E的方程是3x2
y2
（xy
0）
题5：
已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P
（uuurAB
）,
）,则动点P的轨
满足OPOB
|AB|cosB
|AC|cosC
迹一定通过△ABC的（
设BC的中点为D，则OB
OD，
则由已知得DP
ABBC
ACBC
∴DP
BC（uuur
B）
|AB||BC|cos（
|AC|
|BC|cosC
=（
|BC|
|BC|）=0.
|AB|cosB
|AC|cosC
∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心.
选C.
题12：
已知O是△ABC所在平面上的一点，若
（OA
OB）AB=（OB
OC）BC=（OC
OA）CA=0，则O点是△ABC的（
由已知得：
uuuruuur
OB）（OB
OA）
=（OBOC）（OC
OB）=（OC
OA）（OA
OC）=0
uuur2
OB=OA
OC=0
|OA||OB||OC|.所以O点是△ABC的外心.选A.
三、三角形的垂心的向量表示及应用
命题三：
已知G是△ABC内一点，满足GAGBGAGCGBGC，则点
G为垂心。
（2005全国文12）
证明:
由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.
即PB（PAPC）0,即PBCA0
则PBCA,同理PABC,PCAB
所以P为ABC的垂心.
本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识巧妙结合。
若H为△ABC所在平面内一点，且HA
BC
HB
CA
HC
则点H是△ABC的垂心
证明:
HA
（HAHB）?
BA
CB）?
BA
得（HAHBCA
H
即（HC
HC）?
图6
同理AC
HB，BC
故H是△ABC的垂心
例4.如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：
AD、BE、CF相交于一点。
设BE、CF交于一点H，AB=a,
AC=b,
AH=h,
则BH=ha,
CH=hb,
BC=ba
∵BHAC,
CHAB
∴（ha）b
（
h
hb
ah
b
a
）0
（ha）a
ab
∴AHBC
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点
题4：
）,则动点P的轨迹一定
AC
∴APBC
（uuur
|AC||BC|cosC
）=（
|BC|）=0，
∴AP
BC，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，选B.
题10：
已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOB
OBOC
OCOA，则
O点是△ABC的（
由OAOB
OBOC，则OAOB
，即OB（OA
OC）0，
得OBCA0，所以OB
CA.同理可证OC
AB，OA
BC.
∴O是△ABC的垂心.选D.
题11：
已知O为△ABC所在平面内一点，满足
，则O点是△ABC的（）
|OA|
|BC|
|OB|
|CA|
=|OC|
|AB|
A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心
由已知得|OA|
OB）
OB）=（CA
BC）
BA（OA
CB）BA
BC）=0
uur
BA2OC
，∴
⊥BA
.
=0
同理OA
CB
，OB
AC.故选A.
四、三角形的内心的向量表示及应用
命题四：
O是
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