两条直线的位置关系及其判定.docx

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两条直线的位置关系及其判定

教课目的

（1）娴熟掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够依据直线的方程判断两条直线

的地点关系.

（2）

理解一条直线到另一条直线的角的观点，掌握两条直线的夹角

.

（3）

能够依据两条直线的方程求出它们的交点坐标.

（4）

掌握点到直线距离公式的推导和应用.

（5）

进一步掌握求直线方程的方法.

（6）进一步理解直线方程的观点，理解运用直线的方程议论两条直线地点关系的思

想方法.

（7）经过点到直线距离公式的多种推导方法的探究，培育学生发散思想能力，理解数形联合的思想方法.

教课建议

一、教材剖析

1.知识构造

2.要点、难点剖析

要点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离.

难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的观点和点到直线距

离公式的推导.

本节内容与后边内容联系十分密切，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距

离公式在圆锥曲线中都有宽泛的应用，所以特别重要.

（1）平行与垂直①平行

在议论两条直线平行的问题时，教材先假设了两条直线有斜截式方程，依据倾斜

角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判断定理和性质定理）转变为坐

标系中的语言，用斜率和截距从头加以刻画，教课中应注意斜率不存在的状况.

②垂直

教材大将直线的斜率转变成方向向量，而后利用向量垂直的条件推出两条直线垂

直的条件.联合斜率不存在的状况，两条直线垂直的充要条件可表达为：

或一个为0，另一

个不存在.

（2）夹角

①应正确划分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个观点.

到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与

到的角是不一样的，假如设前者是，后者是，则+=.与所夹的不大于的角成为和的夹

角，夹角不带方向.

当到的角为锐角时，则和的夹角也是;当到的角为钝角时，则和的夹

角也是.

②在求直线到的角时，应注意剖析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，

关系，得出或，而后由，联想差角的正切公式，即可把图形的几何性质转变为坐口号言来

表示，推导出.

再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式

这类把形转变为数的方法，是分析几何的基本方法，要仔细推测.

③关于以上两个求角公式，在解决实质问题时，要注意依据详细状况采纳.

（3）交点

①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这能够由直线的方程与方程的直线的定义来理解.

②在同一平面内，两条直线有三种地点关系：

订交、平行、重合，相应的由直线

方程构成的二元一次方程组的解有三种状况：

有唯一解、无解、无数多个解.但在实质判断

时，利用直线的斜率和截距更方便.若，，则：

与订交;

且;

与重合且.

（4）点到直线的距离

①点到直线的距离公式是研究点与直线地点关系的重要工具.教科书借助于直角三

角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式.在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线

段的长度的计算，转变为与坐标轴同等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程.

②利用点到直线的距离公式可推出两平行线，间的距离公式：

.

③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓舞同学们思虑，下边介绍一种较

简易的方法.

如右图，设，过点作直线的垂线，垂足为，则有

即

得，

即，.

当时，上述公式也成立.

（5）当直线中有一条没有斜率时，议论平行、垂直、角、距离的问题，不用套用以上结论，这时可联合图形几何性质;直接求解.

二、教法建议

1.本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系特别密切，教课时应增强启迪和指引.如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经特别熟习，所以在研究两直线平

行时，应指引学生快速成立联系：

同位角倾斜角斜率（直线方程）.又如，在求

到的角时，依据图形中角的关系，成立与倾斜角和的联系（有且只有或l两种

状况），从而借助三角成立与斜率的关系，得出公式.

2.本节内容中在研究两直线的垂直条件时，因为采纳向量这一更高级的工具来办理，显得既简单又深刻.所以教课中应注意愿量工具的运用，可让学生试试用向量推导两直线

平行的条件和点到直线距离公式的推导.

3.本节内容新观点不多，但要求推导的内容许多，教课时要坚持启迪式的教课思

想，要点放在思路的探究和结论或公式的运用上.本节许多内容可安排学生自学和议论，还要

适合增添练习，使学生能娴熟地掌握公式，增强学生着手计算的能力.本节还要增强依据已知

条件求直线方程的教课.

4.不单要使学生熟习用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握依据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会依据所给条件采纳.

5.已知两直线的方程会求其交点即可，不用研究两直线方程系数与地点关系之间

的关系.

6.在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生找寻更多的推导公式的

方法，并经过找寻多种推导公式的方法，锻炼思想，培育能力.

7.本节学完此后学生能够解决好多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系

过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题

.教课中应适合安排一些这样的内容，

以训练学生思想和培育学生剖析问题、解决问题的能力

.

教课方案方案

课题：

点到直线的距离

教课目的：

（1）理解点到直线距离公式的推导过程.

（2）会求点到直线的距离.

（3）在探究点到直线距离公式推导思路的过程中，培育学生发散思想、踊跃探究的

精神.

教课器具：

计算机

教课方法：

启迪指引法，议论法

教课过程：

一、引入

点到直线的距离是指过点作的垂线，

【问题1】已知点

-1，2）和直线：

，求点到直线的距离.

（由学生剖析、解答）

剖析：

先求出过点和垂直的直线：

与垂足之间的长度

：

，再求出和的交点

假如把问题1一般化就有以下问题：

【问题2】已知：

和直线：

（不在直线上，且，），试求点到直线的距离.

二、点到直线距离

剖析1：

要求的长度能够象问题1的解法同样，利用两点的距离公式能够求的

长度.

∵点坐标已知，只需求出点坐标就能够了.

又∵点是直线和直线的交点

又∵直线的方程已知

只需求出直线的方程就能够了.

即：

点坐标直线与直线的交点直线的方程直线的斜率真线的斜率

（这一解法在课前由学生自学达成，课长进行评论总结）

问：

这类解法好不好，为何

依据学生议论，教师合时启迪、指引，得出

剖析2：

假如垂直坐标轴，则交点和距离都简单求出，那么不如做出与坐标轴垂直的

线段和，如图1所示，明显相对而言，和好求一些，事实上，设到直线的距离为，坐

标为，坐标为，则易求：

，

所以：

，

所以：

依据三角形面积公式：

所以：

（至此问题2已经解决）

公式的完美.

简单考证（由学生达成）：

当，即轴时，公式成立;

当，即轴时，公式成立;

当点在上时，公式成立.

公式构造特色

师生一同总结：

（1）分子是点坐标代入直线方程;

（2）分母是直线未知数、系数平方和的算术根.

近似于勾股定理求斜边的长

三、检测与稳固

练习1

（1）到直线的距离是________.

（2）到直线的距离是_______.

（3）用公式解到直线的距离是______.

（4）到直线的距离是_________.

校正答案：

（1）5;

（2）0;（3）;（4）.

练习2

1.求平行直线和的距离.

解：

在直线上任取一点，如，则两平行线的距离就是点到直线的距离.

所以，==

【问题3】

两条平行直线的距离能否有公式能够推出呢求两条平行直线与0的距离.

解：

在直线上任取一点，如

则两平行线的距离就是点到直线的距离，（如图2）.

所以，==

注意：

用公式时，注意一次项系数能否一致.

四、小结作业

1、点到直线的距离公式及其推导;

师生一同总结点到直线距离公式的推导过程：

2、利用公式求点到直线的距离.

3、探究两平行直线的距离

4、探究已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离.

作业：

P5413、14、16