高考数学一轮复习 第四章 平面向量数系的扩充与复数的引入 第2课时平面向量的数量积及应用举例课时作Word文档格式.docx
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1.两个向量的夹角
2.两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则 叫做a与b的数量积（或内积）,记作a·
b,即a·
b= ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·
a=0.
3.向量数量积的几何意义
数量积a·
b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积.
4.向量数量积的性质
设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b（或e）的夹角.
则
（1）e·
a=a·
e= ;
（2）a⊥b⇔ ;
（3）当a与b同向时,a·
b=|a|·
|b|;
当a与b反向时,a·
b= ,
特别的,a·
a=|a|2或者|a|=
;
（4）cosθ= ;
（5）|a·
b|≤|a||b|.
5.向量数量积的运算律
（1）a·
b=b·
a;
（2）λa·
b=λ（a·
b）=a·
（λb）;
（3）（a+b）·
c=a·
c+b·
c.
6.平面向量数量积的坐标运算
设向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,向量a与b的夹角为θ,则
基础自测
指点迷津
◆三个因素
a·
b是一个确定的实数,与|a||b|,cos<
a,b>
有关.
◆五个区别
（1）若a,b为实数,且a·
b=0,则有a=0或b=0,但a·
b=0却不能得出a=0或b=0.
（2）若a,b,c∈R则a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a·
b=a·
c及a≠0,却不能推出b=c.
（3）若a,b,c∈R则a（bc）=（ab）c（结合律）成立,但对于向量a,b,c,而（a·
b）·
c与a·
（b·
c）一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的.
（4）若a,b∈R,则|a·
b|=|a|·
|b|,但对于向量a,b,却有|a·
b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.
（5）向量的夹角与三角形内角区别比如正三角形ABC中,
应为120°
而不是60°
.
考点透析
考向一 平面向量的数量积的运算
【方法总结】
（1）已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·
b=|a||b|cosθ求解;
（2）已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.
变式训练
考向二 利用向量的数量积求夹角和模
【审题视点】 利用|2a+b|=|a+（a+b）|通过计算可得a与a+b的夹角.
【方法总结】 在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对
要引起足够重视,是求距离常用的公式.
考向三 数量积的综合应用
【方法总结】
（1）若a,b为非零向量,则a⊥b⇔a·
b=0;
若非零向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
（2）一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.
（3）向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化,可用来解决几何中的线线垂直问题.
经典考题
典例 （2014·
安徽）设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·
y1+x2·
y2+x3·
y3+x4·
y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为（ ）.
真题体验
1.（2014·
全国大纲）已知a,b为单位向量,其夹角为60°
则（2a-b）·
b等于（ ）.
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.（2014·
浙江）设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1.（ ）.
A.若θ确定,则|a|唯一确定
B.若θ确定,则|b|唯一确定
C.若|a|确定,则θ唯一确定
D.若|b|确定,则θ唯一确定
参考答案与解析
知识梳理
1.同向 反向 a⊥b
2.|a||b|cosθ |a||b|cosθ
4.
（1）|a|cosθ
（2）a·
b=0 （3）-|a||b| （4）
6.
（1）x1x2+y1y2
1.C 2.D 3.A 4.-3 5.①②③
所以cosθ≠-1,k=1.
（2）因为·
=·
（-）=·
-=1,
变式训练
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