高中数学 32 指数扩充及其运算性质名师考点精讲 北师大版必修1.docx

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高中数学32指数扩充及其运算性质名师考点精讲北师大版必修1

2019-2020年高中数学3.2指数扩充及其运算性质名师考点精讲北师大版必修1

[读教材·填要点]

1．分数指数幂

（1）定义：

给定正实数a，对于任意给定的整数m，n（m，n互素），存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．

（2）几个结论：

①正分数指数幂的根式形式：

a＝（a>0）．

②负分数指数幂的意义：

a－＝（a>0，m，n∈N＋，且n>1）．

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

2．指数幂的运算性质

若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：

（1）am·an＝am＋n；

（2）（am）n＝am·n；

（3）（ab）m＝ambm．

[小问题·大思维]

1．若b2＝53，则b＝5，b叫作5的次幂吗？

提示：

不一定，当b＞0时，可以；当b＜0时，b不叫作5的次幂．

2．为什么分数指数幂中规定整数m，n互素？

提示：

如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：

a中，底数a∈R，当a＜0时，a＜0，而如果把a写成a，有两种运算：

一是a＝（a）2就必须a≥0；二是a＝（a2），在a＜0时，a的结果大于0，与a＜0相矛盾．所以规定整数m、n互素．

3．分数指数幂a可以理解为个a相乘，对吗？

提示：

分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：

a＝（）m＝（a>0，n、m∈N＋，且为既约分数），a－＝＝＝（a>0，n、m∈N＋，且为既约分数）．

[研一题]

[例1]　用分数指数幂表示下列各式．

（1）（a＞0）；

（2）；

（3）（）－（b＞0）．

[自主解答]　

（1）原式＝＝＝（a）＝a；

（2）原式＝＝

＝＝＝＝x－；

（3）原式＝[（b－）]－＝b（－）××（－）＝b.

[悟一法]

此类问题应熟练应用a＝（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．

[通一类]

1．用分数指数幂表示下列各式．

（1）8；

（2）a2·；（3）（a＞0）；

（4）（a＞0）．

解：

（1）8＝23·2＝23＋＝2；

（2）原式＝a2·a＝a2＋＝a；

（3）原式＝＝＝＝＝a；

（4）原式＝＝a2－－＝a.

[研一题]

[例2]　计算或化简．

（1）a3b2（2ab－1）3；

（2）（0.064）－－（－）0＋[（－2）3]－＋16－0.75＋；

（3）

（2）0.5＋0.1－2＋

（2）－－3π0＋；

（4）÷（a＞0）；

（5）4＋1·23－2·8－.

[自主解答]　

（1）原式＝a3b223a3b－3＝8a6b－1；

（2）原式＝[（0.4）3]－－1＋（－2）－4＋2－3＋[（0.1）2]＝（0.4）－1－1＋＋＋0.1＝；

（3）原式＝（）＋102＋（）－－3＋

＝＋100＋－3＋

＝100；

（4）原式＝[a×·a×（－）]÷[a×（－）·a×]

＝a－＋－

＝a0＝1；

（5）原式＝（22）＋1·23－2·（23）－

＝22＋2·23－2·2－2

＝22＋2＋3－2－2＝23＝8.

[悟一法]

进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．

[通一类]

2．计算或化简下列各式．

（1）0.027－－（－）－2＋

（2）－（－1）0；

（2）（）－·；

（3）÷（1－2）×.

解：

（1）原式＝（）－－（）－2＋（）－1＝

－49＋－1＝－45；

（2）原式＝（2－2）－·＝＝；

（3）原式＝÷×a

＝··a

＝a·a·a＝a.

[研一题]

[例3]　已知a＋a－＝3，求下列各式的值：

（1）a＋a－1；　

（2）a2＋a－2；　（3）.

[自主解答]　

（1）将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；

（2）将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49.

∴a2＋a－2＝47；

（3）由于a－a－＝（a）3－（a－）3，

所以有＝

＝a＋a－1＋1＝8.

[悟一法]

对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题．

[通一类]

3．

（1）若102x＝25，10＝5，则10y－x＝________．

（2）若a－a－＝m，则＝________．

解析：

（1）由102x＝25，得10x＝5，

∴10－x＝（10x）－1＝5－1，而10＝（10y）＝5，

∴10y＝52，则10y－x＝10y·10－x＝52·5－1＝5.

（2）由a－a－＝m，两边平方得：

a＋a－1－2＝m2；

∴a＋a－1＝m2＋2，而＝a＋a－1＝m2＋2

答案：

（1）5　

（2）m2＋2

设a2n＝3，a＞0，求的值．

[解]　法一：

由a2n＝3，a＞0得

an＝，a－n＝，a3n＝（）3＝3，a－3n＝.

∴＝

＝

＝＝.

法二：

＝

＝a2n－1＋a－2n

＝3－1＋＝.

法三：

＝

＝＝

＝.

1．计算243等于（　　）

A．9　　　　　　　　　　B．3

C．±3D．－3

解析：

由35＝243，得243＝3.

答案：

B

2．下列各式运算错误的是（　　）

A．（－a2b）2·（－ab2）3＝－a7b8

B．（－a2b3）3÷（－ab2）3＝a3b3

C．（－a3）2·（－b2）3＝a6b6

D．[（a3）2·（－b2）3]3＝－a18b18

解析：

对C，（－a3）2·（－b2）3＝a6·（－b6）＝－a6b6≠a6b6.

答案：

C

3.（a＞0）的值是（　　）

A．1B．a

C．aD．a

解析：

原式＝＝＝＝a3－＝a.

答案：

D

4．若b－3m＝π2n（b＞0，m，n∈N＋），则b＝________．

解析：

由b－3m＝π2n，得b＝π－＝.

答案：

5．已知x－3＋1＝a，则a2－2ax－3＋x－6的值为________．

解析：

∵x－3＋1＝a，∴a－x－3＝1，

∴a2－2ax－3＋x－6＝（a－x－3）2＝1.

答案：

1

6．求值：

2（×）6＋（）－4（）－－×80.25＋（－2013）0.

解：

原式＝2（2×3）6＋（2×2）－4×－2×2＋1

＝2×22×33＋2－7－2＋1＝210.

一、选择题

1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是（　　）

A．－＝（－x）（x≠0）

B．x－＝－（x≠0）

C．（）－＝（xy>0）

D.＝y（y＜0）

解析：

A中－＝－x≠（－x）（x≠0），故A不正确；

B中x－＝≠－（x≠0），B不正确；

C中（）－＝＝＝（xy>0），C正确；

D中＝（－y）＝（－y）＝－y≠y（y＜0），D不正确．

答案：

C

2．将化为分数指数幂的形式为（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．－2

C．2－D．－2－

解析：

原式＝＝＝（－2）＝－2.

答案：

B

3．计算[（－）－2]－的结果是（　　）

A.B．－

C.D．－

解析：

原式＝[]－＝[]－＝（）－＝（2－1）－＝2＝.

答案：

A

4．若x＞0，则（2x＋3）·（2x－3）－4x－（x－x）等于（　　）

A．－23B．23

C．－23xD．－23x－

解析：

原式＝（2x）2－（3）2－4x－·x＋4x－·x＝4x－27－4x＋4＝－23.

答案：

A

二、填空题

5．0.25×（－）－4－4÷20－（）－＝________．

解析：

原式＝×16－4－4＝－4.

答案：

－4

6．若x＜0，则－＋＝________．

解析：

原式＝－＋＝1.

答案：

1

7．若xy＝8，且x＞0，y＞0，则－＝________.

解析：

原式＝（x－xy＋y）－（x＋y）＝－xy＝－（xy）＝－8＝－2.

答案：

－2

8．已知10α＝2，100β＝3，则10002α－β＝________．

解析：

∵100β＝3，即102β＝3，∴10β＝3.

∴10002α－β＝106α－β＝＝＝.

答案：

三、解答题

9．

（1）计算：

＋－27；

（2）化简：

÷（a>0，b>0）．

解：

（1）原式＝42＋1－3＝14；

（2）原式＝a－（b）－3÷（b－2a－）

＝a－＋b－2－（－2）＝a－1b0＝.

10．已知f（x）＝ax－a－x，g（x）＝ax＋a－x（a＞1）．

（1）求[f（x）]2－[g（x）]2的值；

（2）设f（x）·f（y）＝4，g（x）·g（y）＝8，求的值．

解：

（1）[f（x）]2－[g（x）]2

＝（ax－a－x）2－（ax＋a－x）2

＝2ax·（－2a－x）

＝－4.

（2）∵f（x）·f（y）＝4，

∴（ax－a－x）（ay－a－y）＝4.

∴ax＋y＋a－（x＋y）－ax－y－ay－x＝4，

即g（x＋y）－g（x－y）＝4.①

∵g（x）·g（y）＝8，

∴（ax＋a－x）·（ay＋a－y）＝8.

∴ax＋y＋a－（x＋y）＋ax－y＋ay－x＝8，

即g（x＋y）＋g（x－y）＝8.②

由①②得g（x＋y）＝6，g（x－y）＝2.

∴＝3.

2019-2020年高中数学3.2指数扩充及其运算性质导学案北师大版必修1

【学习目标】1、掌握分数指数幂的概念及根式与分数指数幂的相互转化，掌握指数幂的运算。

2、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习分数指数幂的质。

3、热情投入，养成一丝不苟的学习习惯，体验数学的简洁美和统一美

【学习重点】分数指数幂与根式关系的转化，分数指数的运算性质。

【学习难点】分数指数幂与根式关系的转化，指数幂的运算。

【使用说明与学法指导】

1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标。

2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案。

【自主探究】

1、分数指数幂的含义是什么？

用符号来表示、。

2、负分数指数幂的含义是什么？

3、用符号表示分数指数幂与根式之间的互换关系？

4、无理数指数幂是怎么规定的？

5、指数是怎么样扩充到任意实数的？

复述过程。

6、当指数扩充到实数时候，对应的运算性质是什么？

提问：

在本定义中要注意哪些要点？

【合作探究】

1．

2.化简

①②

3.若

[

3、计算

⒋计算：

⒌若

求的值