高中数学 32 指数扩充及其运算性质名师考点精讲 北师大版必修1.docx
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高中数学32指数扩充及其运算性质名师考点精讲北师大版必修1
2019-2020年高中数学3.2指数扩充及其运算性质名师考点精讲北师大版必修1
[读教材·填要点]
1.分数指数幂
(1)定义:
给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n互素),存在唯一的正实数b,使得bn=am,把b叫作a的次幂,记作b=a,它就是分数指数幂.
(2)几个结论:
①正分数指数幂的根式形式:
a=(a>0).
②负分数指数幂的意义:
a-=(a>0,m,n∈N+,且n>1).
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
2.指数幂的运算性质
若a>0,b>0,对任意实数m,n,指数运算有以下性质:
(1)am·an=am+n;
(2)(am)n=am·n;
(3)(ab)m=ambm.
[小问题·大思维]
1.若b2=53,则b=5,b叫作5的次幂吗?
提示:
不一定,当b>0时,可以;当b<0时,b不叫作5的次幂.
2.为什么分数指数幂中规定整数m,n互素?
提示:
如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾.例如:
a中,底数a∈R,当a<0时,a<0,而如果把a写成a,有两种运算:
一是a=(a)2就必须a≥0;二是a=(a2),在a<0时,a的结果大于0,与a<0相矛盾.所以规定整数m、n互素.
3.分数指数幂a可以理解为个a相乘,对吗?
提示:
分数指数幂a不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法,规定:
a=()m=(a>0,n、m∈N+,且为既约分数),a-===(a>0,n、m∈N+,且为既约分数).
[研一题]
[例1] 用分数指数幂表示下列各式.
(1)(a>0);
(2);
(3)()-(b>0).
[自主解答]
(1)原式===(a)=a;
(2)原式==
====x-;
(3)原式=[(b-)]-=b(-)××(-)=b.
[悟一法]
此类问题应熟练应用a=(a>0,m,n∈N+,且n>1).当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再根据性质进行化简.
[通一类]
1.用分数指数幂表示下列各式.
(1)8;
(2)a2·;(3)(a>0);
(4)(a>0).
解:
(1)8=23·2=23+=2;
(2)原式=a2·a=a2+=a;
(3)原式=====a;
(4)原式==a2--=a.
[研一题]
[例2] 计算或化简.
(1)a3b2(2ab-1)3;
(2)(0.064)--(-)0+[(-2)3]-+16-0.75+;
(3)
(2)0.5+0.1-2+
(2)--3π0+;
(4)÷(a>0);
(5)4+1·23-2·8-.
[自主解答]
(1)原式=a3b223a3b-3=8a6b-1;
(2)原式=[(0.4)3]--1+(-2)-4+2-3+[(0.1)2]=(0.4)-1-1+++0.1=;
(3)原式=()+102+()--3+
=+100+-3+
=100;
(4)原式=[a×·a×(-)]÷[a×(-)·a×]
=a-+-
=a0=1;
(5)原式=(22)+1·23-2·(23)-
=22+2·23-2·2-2
=22+2+3-2-2=23=8.
[悟一法]
进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质,并灵活运用.一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题.
[通一类]
2.计算或化简下列各式.
(1)0.027--(-)-2+
(2)-(-1)0;
(2)()-·;
(3)÷(1-2)×.
解:
(1)原式=()--()-2+()-1=
-49+-1=-45;
(2)原式=(2-2)-·==;
(3)原式=÷×a
=··a
=a·a·a=a.
[研一题]
[例3] 已知a+a-=3,求下列各式的值:
(1)a+a-1;
(2)a2+a-2; (3).
[自主解答]
(1)将a+a-=3两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;
(2)将a+a-1=7两边平方,有a2+a-2+2=49.
∴a2+a-2=47;
(3)由于a-a-=(a)3-(a-)3,
所以有=
=a+a-1+1=8.
[悟一法]
对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用,含开方运算时还要注意其符号问题.
[通一类]
3.
(1)若102x=25,10=5,则10y-x=________.
(2)若a-a-=m,则=________.
解析:
(1)由102x=25,得10x=5,
∴10-x=(10x)-1=5-1,而10=(10y)=5,
∴10y=52,则10y-x=10y·10-x=52·5-1=5.
(2)由a-a-=m,两边平方得:
a+a-1-2=m2;
∴a+a-1=m2+2,而=a+a-1=m2+2
答案:
(1)5
(2)m2+2
设a2n=3,a>0,求的值.
[解] 法一:
由a2n=3,a>0得
an=,a-n=,a3n=()3=3,a-3n=.
∴=
=
==.
法二:
=
=a2n-1+a-2n
=3-1+=.
法三:
=
==
=.
1.计算243等于( )
A.9 B.3
C.±3D.-3
解析:
由35=243,得243=3.
答案:
B
2.下列各式运算错误的是( )
A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6
D.[(a3)2·(-b2)3]3=-a18b18
解析:
对C,(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6≠a6b6.
答案:
C
3.(a>0)的值是( )
A.1B.a
C.aD.a
解析:
原式====a3-=a.
答案:
D
4.若b-3m=π2n(b>0,m,n∈N+),则b=________.
解析:
由b-3m=π2n,得b=π-=.
答案:
5.已知x-3+1=a,则a2-2ax-3+x-6的值为________.
解析:
∵x-3+1=a,∴a-x-3=1,
∴a2-2ax-3+x-6=(a-x-3)2=1.
答案:
1
6.求值:
2(×)6+()-4()--×80.25+(-2013)0.
解:
原式=2(2×3)6+(2×2)-4×-2×2+1
=2×22×33+2-7-2+1=210.
一、选择题
1.下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )
A.-=(-x)(x≠0)
B.x-=-(x≠0)
C.()-=(xy>0)
D.=y(y<0)
解析:
A中-=-x≠(-x)(x≠0),故A不正确;
B中x-=≠-(x≠0),B不正确;
C中()-===(xy>0),C正确;
D中=(-y)=(-y)=-y≠y(y<0),D不正确.
答案:
C
2.将化为分数指数幂的形式为( )
A.2 B.-2
C.2-D.-2-
解析:
原式===(-2)=-2.
答案:
B
3.计算[(-)-2]-的结果是( )
A.B.-
C.D.-
解析:
原式=[]-=[]-=()-=(2-1)-=2=.
答案:
A
4.若x>0,则(2x+3)·(2x-3)-4x-(x-x)等于( )
A.-23B.23
C.-23xD.-23x-
解析:
原式=(2x)2-(3)2-4x-·x+4x-·x=4x-27-4x+4=-23.
答案:
A
二、填空题
5.0.25×(-)-4-4÷20-()-=________.
解析:
原式=×16-4-4=-4.
答案:
-4
6.若x<0,则-+=________.
解析:
原式=-+=1.
答案:
1
7.若xy=8,且x>0,y>0,则-=________.
解析:
原式=(x-xy+y)-(x+y)=-xy=-(xy)=-8=-2.
答案:
-2
8.已知10α=2,100β=3,则10002α-β=________.
解析:
∵100β=3,即102β=3,∴10β=3.
∴10002α-β=106α-β===.
答案:
三、解答题
9.
(1)计算:
+-27;
(2)化简:
÷(a>0,b>0).
解:
(1)原式=42+1-3=14;
(2)原式=a-(b)-3÷(b-2a-)
=a-+b-2-(-2)=a-1b0=.
10.已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a>1).
(1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值;
(2)设f(x)·f(y)=4,g(x)·g(y)=8,求的值.
解:
(1)[f(x)]2-[g(x)]2
=(ax-a-x)2-(ax+a-x)2
=2ax·(-2a-x)
=-4.
(2)∵f(x)·f(y)=4,
∴(ax-a-x)(ay-a-y)=4.
∴ax+y+a-(x+y)-ax-y-ay-x=4,
即g(x+y)-g(x-y)=4.①
∵g(x)·g(y)=8,
∴(ax+a-x)·(ay+a-y)=8.
∴ax+y+a-(x+y)+ax-y+ay-x=8,
即g(x+y)+g(x-y)=8.②
由①②得g(x+y)=6,g(x-y)=2.
∴=3.
2019-2020年高中数学3.2指数扩充及其运算性质导学案北师大版必修1
【学习目标】1、掌握分数指数幂的概念及根式与分数指数幂的相互转化,掌握指数幂的运算。
2、通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习分数指数幂的质。
3、热情投入,养成一丝不苟的学习习惯,体验数学的简洁美和统一美
【学习重点】分数指数幂与根式关系的转化,分数指数的运算性质。
【学习难点】分数指数幂与根式关系的转化,指数幂的运算。
【使用说明与学法指导】
1.通过阅读教材,自主学习,思考,交流,讨论和概括,完成本节课的学习目标。
2.用红笔勾勒出疑点,合作学习后寻求解决方案。
【自主探究】
1、分数指数幂的含义是什么?
用符号来表示、。
2、负分数指数幂的含义是什么?
3、用符号表示分数指数幂与根式之间的互换关系?
4、无理数指数幂是怎么规定的?
5、指数是怎么样扩充到任意实数的?
复述过程。
6、当指数扩充到实数时候,对应的运算性质是什么?
提问:
在本定义中要注意哪些要点?
【合作探究】
1.
2.化简
①②
3.若
[
3、计算
⒋计算:
⒌若
求的值