数值计算方法上机试验报告.docx
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数值计算方法上机试验报告
华北电力大学
实验报告
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实验名称数值计算方法》上机实验
课程名称数值计算方法
专业班级：
电力实08
学号：
200801001008
指导教师：
郝育黔老师
学生姓名：
李超然
成绩：
实验日期：
2010年04月
数值计算方法上机实验报告
一、各算法的算法原理及计算机程序框图
1、牛顿法求解非线性方程
（1）算法原理：
对于非线性方程f（x）0，若已知根X*的一个近似值Xk，将f（x）在Xk处展开成一阶泰勒公式
'f"（）2
f（X）f（Xk）f（Xk）（XXk）（xXk）
2!
忽略高次项，有
f（X）f（Xk）f'（Xk）（XXk）
右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程f（X）。
将非线性方程f（X）0的
f（Xk）f'（Xk）（x*Xk）0
根X*代入f（X*）0,即
解出
这就是牛顿迭代公式。
（2）
（见）
计算机程序框图：
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量：
Xo迭代初值，迭代精度，N迭代最大次数
输出变量：
k当前迭代次数，x1当前迭代值
（4）具体算例及求解结果：
结束
例：
导出计算匸（c0）的牛顿迭代公式，并计算115。
（课本P39例2-16）
求解结果：
10.750000
10.723837
10.723805
10.723805
2、列主元素消去法求解线性方程组
（1）算法原理：
高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘一个
方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上对上三角
方程组求解。
列选主元是当高斯消元到第k步时，从k列的akk以下（包括akk）的各元素中选出绝对值最大的，然后通过行交换将其交换到akk的位置上。
交换系数矩阵中的两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结果。
（2）计算机程序框图：
（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量：
aj系数矩阵元素，b常向量元素
输出变量：
bi,b2丄bn解向量元素
（4）具体算例及求解结果：
例：
用列选主元法求解下列线性方程组（课本P65例3-3）
0.50x1
1.10x2
3.10x3
6.00
2.00x1
4.50x2
0.36x3
0.020
5.00x1
0.96x2
6.50x3
0.96
求解结果：
x12.600000
x21.000000
x32.000000
3、LU分解法求解线性方程组
（1）算法原理：
求解线性方程组Axb时，当对A进行LU分解，则等价于求解LUxb，这时可归结为利用递推计算相继求解两个三角形（系数矩阵为三角矩阵）方程组，用顺代，由
Lyb
求出y，再利用回带，由Uxy求出x。
（2）计算机程序框图：
（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量：
aj系数矩阵元素，b常向量元素
从主程序来
开始
读入数据aj,bi
i,j1,2,..,n
//
U1i
di,i
1,2,...,n
li1
ai1-—,iU1
2,3,...,n
r1
Uri
ari
lrrUki,ir,r
k1
r1
1,.
..,n
lir
（air
likUkr）/Urr,i
k1
r
1,r2,...,n
i1
yib,yb2,3,...,n
k1
n
Xnyn/Unn,X（%UikXj/uJn1,,...,2,1
ki1
结束
输出变量：
b1,b2,...,bn,解向量元素
（4）具体算例及求解结果:
例：
用杜里特尔分解法求解方程组（课本P74例3-8）
223x13
477x21
245x37
求解结果：
x12.000000
X22.000000
x31.000000
4、拉格朗日插值法
（1）算法原理：
构造基函数|k（x）
i0xk
ik
xx,可以证明基函数满足下列条件:
0ik
lk（x）1ik，
nnXX
L（x）yk
k0i0XkXj
ik
由于lk（x）是一个关于x的n次多项式，所以L（x）为关于x的不高于n次的代数多项式。
当xXi时，L（xJy，满足插值条件。
（2）计算机程序框图：
（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明:
输入变量：
（x，%）插值节点
输出变量：
y插值所得到被插函数在插值点的近似值
（4）具体算例及求解结果:
例：
已知f（x）sinx的值如下表所示。
f（x）sinx的值
X
0
6
4
3
2
sinx
0
丄
2
2
占
2
1
试用拉格朗日多项式计算sin—的估计值
12
求解结果：
0.258588
5、最小二乘法的曲线拟合
（1）算法原理：
对于给定的一组数据（x，f（xj）,i1,2,...,m，要在给定的函数空间
Span{0,1,…，n}
中找一个函数
n
*（x）a；o（x）a；i（x）...a；n（x）a；i（x）
使（x）满足
mm
2*2*2
2」（Xi）f（Xi）]min（Xi）f（Xi）]
这种求拟合函数（X）的方法称为曲线拟合的最小二乘法，（X）称为最小二乘法的
最小二乘解。
（2）计算机程序框图:
（3）输入变量、输出变量说明:
输入变量：
（x，yj已知数据点
输出变量：
ai拟合多项式的系数
（4）具体算例及求解结果：
例：
根据给定的函数yf（x）的实例数据表，试用最小二乘法求二次拟合多项式。
（课本
P186习题3）
Xi
0
1
2
3
4
5
6
yi
15
14
14
14
14
15
16
求解结果:
a014.928572
a,0.892857
a20.178571
y1.3181713.431811x0.386363X2
6、变步长梯形求积分
（1）算法原理:
Xk
设将积分区间［a,b］分成n等份，即有n个子区间，分点Xkakh,k0,1,...,n，其中
步长
h山
n
对于子区间［Xk,Xk1］，利用体型求其积分近似值
2【f（Xk）f（Xk1）]
对于子区间［a,b］有
对于子区间［Xk,Xk1］再取其中点
对区间［a,b］有
（2）计算机程序框图:
bah,£[f（a）f（b）]T>
0S,ahx
2
结束
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量：
［a,b］积分区间，精度
输出变量：
T2积分结果
（4）具体算例及求解结果:
例：
用变步长梯形公式求积法计算1sinxdx。
（课本P209例6-13）
0x
求解结果：
0.9460827
7、改进欧拉法
（1）算法原理：
当h取值较小时，让梯形法的迭代公式只迭代一次就结束。
这样先用欧拉公式求得
一个初步近似值yni（0），称之为预报值，预报值的精度不高，用它替代梯形法右端的yni，
再直接计算得出yn1，并称之为校正值，这时得到预报-校正公式。
将预报-校正公式
Yn1（0）Ynhf（Xn,yn）
Yn1Ynhf（Xn,Yn）fX1,Yn1（0））
2
称为改进欧拉公式。
（2）计算机程序框图：
（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量：
（X0,Y0）处置点，h区间长度，N计算次数
输出变量：
（论,力）初值问题的数值解法结果
（4）具体算例及求解结果：
例：
求解初值问题（课本P242例7-2）
2x
yy——,0x1
Y
Y（0）1
求解结果:
Xn
Yn
y（Xn）
Xn
Yn
y（Xn）
0.1
P1.095909:
1.095909
0.6
1.485956
1.485955
0.2
1.184097
1.184097
0.7
1.562514
1.552514
0.3
[1.266201
1.266201
0.8
1.616475
1.616474
0.4
r1.343360:
1.343360
0.9
1.678320
1.678166
0.5
1.416402
1.416402
1.0
1.737867
1.737867
C1
始）
1
1
读入
X0,yo,h,N
1
1
n
x0hX]
y。
hf（Xo,y°）yy。
hf（X],yp）yc
（ypyJ/2yi
/输出X],y]7
r/
1n1n
结束
8四阶龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题
（1）算法原理：
用区间Xk,Xki内四个不同点上的函数值的线性组合就得到四阶龙格-库塔法
四阶龙格-库塔法
Yn1
Ynh（X
2k23k
：
34k4）
k1
f（Xn,yn）
k2
f（Xn1h,yn
11k1h）
k3
f（Xn2h,yn
21kih
22k2h）
k4
f（Xn3h,yn
31k1h
32k2h33k3h）
其中，i,i,j（i1,2,3,j1,2,...,i）均为待定系数。
类似于前面的讨论，把k2,k3,k4分别在Xn点展开成h的幕级数，代入yni并进行花间，然后与y（Xni）在Xn点上的泰勒展开式比较，使其两式比较，使其两式右端直到h4的系数相等，经过复杂的数学演算可得到关于i,i,ij的一组特解
1
1
2
1122
2
21
31
320
3
33
1
1
1
4
6
1
2
3
3
从而得到下列常用的经典公式
yi
yn
12k2
2k3k4）
ki
f（Xn,yn）
k2
f（x
n
1,yn
2
k3
f（x
n
1』n
k4
f（Xn
1,yn
hk3）
经典的龙格-库塔法每一步需要4次计算函数值f（x,y），它具有四阶精度，即局部截断误差是0（h5）o
（2）计算机程序框图：
（见下页）
（3）输入变量、输出变量说明：
输入变量：
（xo,y。
）处置点，h区间长度，N计算次数
输出变量：
（xi,yi）初值问题的数值解法结果
（4）具体算例及求解结果：
例：
设取步长h0.2，从x0到x1，用经典公式求解初值问题
2x
y（0）i
求解结果:
Xn
yn
y（Xn）
0.2
1.183229
1.183229
0.4
1.341667
1.341667
0.6
1.483281
1.483281
0.8
1.612514
1.612514
1.0
1.732142
1.732142
二、上机体验与收获
本次上机内容为牛顿法求解非线性方程、列主元素消去法求解线
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