机器人速度运动学Word文档格式.docx
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10Rot（y,δy）=δy0δ10000100001
0δy100010
0001
1δRot（z,δz）=z00
z
1δzδδ+δ1δxδyδzzxyRot（x,δx）Rot（y,δy）Rot（z,δz）=δy+δxδzδyδz+δx00
δyδx10
1δ=zδy0
δ1δx0
上面的近似等式是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。
定理1绕任意单位向量K=[Kx,Ky,Kz]T转动δθ的微分转动等δδ效于绕轴x,y,z的3个微分转动δx,y,z,并有_
δx=Kxδθ
δy=Kyδθ
δz=Kzδθ
于是总的转动微分Rot（K,δθ）可由如下的齐次矩阵描述Rot（K,δθ）=Rot（x,δx）Rot（y,δy）Rot（z,δz）1Kδθ=zKyδθ0Kzδθ1Kxδθ0KyδθKxδθ100010
定理2
微分转动与微分转动的次序无关0δx10δxδy1δx0
证明：
取以下的两个相继微分转动，则有1001Rot（x,δx）Rot（y,δy）=0δx0010Rot（y,δy）Rot（x,δx）=δ0
y
01000
δy10δy0δx01001
0δy100100
010δxδy=0δy10
01δx0
略去二阶无穷小量后得：
Rot（x,δx）Rot（y,δy）=Rot（y,δy）Rot（x,δx）20XX年/7/47
5.3微分算子已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵T来描述，经过微分运动后变为T+dT。
应用相对于基础坐标系的左乘法则，T+dT可以表示为：
T+dT=Trans（dx,dy,dz）Rot（K,dθ）T得
dT=[Trans（dx,dy,dz）Rot（K,dθ）I]T0δ=z-δy0δz0δx0δy-δx00dxdydz0
定义微分算子=Trans（dx,dy,dz）Rot（K,dθ）I
得20XX年/7/4
dT=T
第五章速度运动学01T=000010100052,01
例：
设操作机的位姿为
求先实施转动Rot（x,0.1）,再实施移动Trans（1,0,0.5）的微分运动dT,以及其后操作机的新位姿T+dT。
δδ解：
由于δx=0.1,dx=1;
y=0,dy=0;
z=0,dz=0.50100000.10=00.100.50000
由定义式得：
则
01000000.101dT=T=00.5000.100000
0010
1000
500200.1=00.10100
010000.700
操作机实施微分运动后的新位姿为：
01T+dT=0000101000500200.1+00.1010000100010.1=00.70.110000160200.701
5.4雅可比矩阵及其变换5.4.1雅可比矩阵考虑操作机的手爪位姿r和关节变量θ的关系用正运动r学方程=f（θ）表示的情况。
对于6关节的操作机r=f（θ）,有
r1=f1（θ1,θ2....θ6）,……,r6=f6（θ1,θ2....θ6）
dθdr=Jdtdt到基坐标速度的变换。
20XX年/7/4
f（θ1,θ2,θ6）J=θT
J即为著名的雅可比矩阵。
通过J可以实现从关节速度
f1f1θθ展开为：
J=12f6f6θθ21
f1θ6=Jijf6θ6
[]
6×
6
fiJij=θj
同样对于m×
n维的空间的机器人，其雅可比矩阵f1f1θθ21J=fmfmθθ2120XX年/7/4
f1θn=Jijfmθn
m×
n
ωn
雅可比矩阵的一
般形式：
一般地,对于n个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速度，在基坐标系中的描述记为ωn,νn。
如果写成一个向量
νnx=ωn具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式
x=J（Θ）Θ其中,Θ为n×
1的机械手关节（旋转或平移关节）的位移向量。
雅可比矩阵J（Θ）表明了机械手关节速度与末端（手爪）直角坐标速度之间的线性变换关系。
20XX年/7/413
5.4.2雅可比逆矩阵当机械手有六个自由度时,雅可比矩阵J（Θ）为6×
6方阵。
如果J（Θ）可逆,那末只要给定机械手末端的直角坐标速度,就可以求得相应的关节速度
=J1（Θ）xΘ但是,雅可比矩阵J（Θ）是随着机械手的形态变化的,某些形态下的Θ值就可能使J（Θ）成为奇异,这时的机械手末端位置称之为机械手的奇异点。
当机械手处于奇异形态时,它在直角坐标空间的自由度就有所减少,这意味着在直角坐标空间的某些方向上,无论选取什么样的关节速度,机械手都不能沿着那些方向运动。
奇异点可能处于机械手工作空间的边界或工作空间内部。
20XX年/7/414
5.4.3θr操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵xr根据雅可比矩阵的定义式有：
=Jyθ
θr操作机x=rcosθ对于y=rsinθ
cosθJ=sinθ
rsinθrcosθ
xcosθy=sinθ20XX年/7/4
rsinθrrcosθθ15
求雅可比逆矩阵由θr操作机几何关系得：
r2=x2+y2对t求导得另外，有对t求导得
xyxy1x+y=2x+2yθ=22rrr2rx2x2xx
xyr=x+yrr1rysecθ==tgθ=xcosθ
xrrθ=yr2
yrxxyr2
xr1J=y2r
yrx2r16
例5-1试求图所示的2自由度机械手的雅可比矩阵解：
YL2θ2L1o
x=L1c1+L2c12y=L1s1+L2s12xx=L1s1L2s12,=L2s12θ1θ2yy=L1c1+L2c12,=L2c12θ1θ2
θ1X
L1s1L2s12得J=L1c1+L2c12
L2s12L2c12
5.4.4
雅可比矩阵的物理意义rYJ2θ2PE,1L1J1θ1PE,2
以上述例题为例：
将雅可比矩阵定义为列向量J=[J1,J2]有Ji∈R2×
1
r=J1θ1+J2θ2π
L2
θ2关节2
J1和J2分别为PE1和PE2
反
时针转动
2
而成。
关节1
θ1
X
第五章速度运动学xrr例5-2:
已知：
θ=yr2yrxxy,当手部沿着y=1的直线以均速2rθr,表示为x的函数。
x=1运动，试将
解：
已知y=1,则y=0,又知x=1,则由已知矩阵式可知
r=
xx=r
xx2+y2
x=
xx2+1
θ=
yy1x=2x=2r2x+y2x+1
分析：
当x=0时,θ=θmax=1。
又因为已假设了y=1,以致r≠0,即操作机手臂长度不为零，上式分母不为零，不会出现奇异问题。
20XX年/7/419
由以上分析可以得出两点结论：
θ
（1）对于J,当r趋于0时，r操作机出现奇异问题。
此时操作机失控，即遇到速度趋于无穷大的困难。
此时，若x或y为有限值时，r和θ趋于无穷大。
事实上r=0的条件是很容易辨别和避免的；
1
（2）由以上θr操作机的雅可比矩阵及其逆阵的推导可以看出，当操作机具有6关节时，雅可比矩阵的推导将会更加复杂。
5.5雅可比矩阵的力学意义类似于速度的雅可比矩阵形式,我们也可以得到一个力域中的雅可比矩阵形式,而且可以证明,在此,速度雅可比矩阵是以转置的形式出现的
τ=J（Θ）ξT
其中,τ为n×
1向量,表示n个关节上的平衡力/平衡力矩,而ξ为作用在手爪上的直角坐标力/力矩形成的6×
1向量。
因此,实际上JT（Θ）表示把手爪上的直角坐标力/力矩映射为等价的关节力/关节力矩。
20XX年/7/421
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