机器人速度运动学Word文档格式.docx

1、 1 0 Rot （ y, y ）= y 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0y 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 Rot （ z, z ）= z 0 0 z 1 z + 1 x y z z x y Rot （ x, x ） Rot （ y, y ） Rot （ z, z ）= y+ x z y z+ x 0 0 y x 1 0 1 = z y 0 1x 0 上面的近似等式是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。 定理1绕任意单位向量 K=K x, K y, K zT转动的微分转动等效于绕轴x,y,z的3个微分转动 x, y, z,并有_ x= K x y= K y

2、z= K z 于是总的转动微分 Rot （ K, ）可由如下的齐次矩阵描述 Rot （ K, ）= Rot （ x, x ） Rot （ y, y ） Rot （ z, z ） 1 K= z K y 0 K z 1 K x 0 K y K x 1 0 0 0 1 0 定理2 微分转动与微分转动的次序无关0 x 1 0 x y 1x 0 证明：取以下的两个相继微分转动，则有 1 0 0 1 Rot （ x, x ） Rot （ y, y ）= 0 x 0 0 1 0 Rot （ y, y ） Rot （ x, x ）= 0 y 0 1 0 0 0 y 1 0 y 0 x 0 1 0 0 1 0y

3、 1 0 0 1 0 0 0 1 0 x y = 0 y 1 0 0 1x 0 略去二阶无穷小量后得：Rot （ x, x ） Rot （ y, y ）= Rot （ y, y ） Rot （ x, x ）20XX年/7/4 7 5.3微分算子已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵T来描述，经过微分运动后变为T+dT。应用相对于基础坐标系的左乘法则，T+dT可以表示为： T+ dT= Trans （dx, dy, dz ） Rot （ K, d ）T得 dT=Trans （dx, dy, dz ） Rot （ K, d ） IT 0 = z - y 0 z 0x 0y - x 0 0 dx

4、dy dz 0 定义微分算子 = Trans （dx, dy, dz ） Rot （ K, d ） I 得20XX年/7/4 dT= T 第五章速度运动学 0 1 T= 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 5 2 , 0 1 例：设操作机的位姿为 求先实施转动 Rot （x,0.1）,再实施移动 Trans （1,0,0.5）的微分运动dT,以及其后操作机的新位姿T+dT。 解：由于 x=0.1,dx=1; y=0,dy=0; z=0,dz=0.50 1 0 0 0 0 0.1 0 = 0 0.1 0 0.5 0 0 0 0 由定义式得： 则 0 1 0 0 0 0 0 0.1 0 1 d

5、T= T= 0 0.5 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 5 0 0 2 0 0.1 = 0 0.1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0.7 0 0 操作机实施微分运动后的新位姿为： 0 1 T+ dT= 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 5 0 0 2 0 0.1 + 0 0.1 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0.1 = 0 0.7 0.1 1 0 0 0 0 1 6 0 2 0 0.7 0 1 5.4雅可比矩阵及其变换5.4.1雅可比矩阵考虑操作机的手爪位姿 r和关节变量的关系用正运动 r学方程= f （ ）表示的情况。对于6关节的操

6、作机 r= f （ ）,有 r1= f1 （1, 2 . 6 ）,r6= f 6 （1, 2 . 6 ） d dr=J dt dt到基坐标速度的变换。20XX年/7/4 f （1, 2, 6 ） J= T J即为著名的雅可比矩阵。通过 J可以实现从关节速度 f1 f1 展开为： J= 1 2 f 6 f 6 2 1 f1 6 = J ij f 6 6 6 6 f i J ij= j 同样对于mn维的空间的机器人，其雅可比矩阵 f1 f1 2 1 J= f m f m 2 120XX年/7/4 f1 n = J ij f m n m n n 雅可比矩阵的一 般形式：一般地,对于n个自由度的机械手

7、末端手爪的角速度和线速度，在基坐标系中的描述记为n, n。如果写成一个向量 n x= n 具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式 x= J （）其中,为n1的机械手关节（旋转或平移关节）的位移向量。雅可比矩阵J（）表明了机械手关节速度与末端（手爪）直角坐标速度之间的线性变换关系。20XX年/7/4 13 5.4.2雅可比逆矩阵当机械手有六个自由度时,雅可比矩阵J（）为66方阵。如果 J（）可逆,那末只要给定机械手末端的直角坐标速度,就可以求得相应的关节速度 = J 1 （） x 但是,雅可比矩阵J（）是随着机械手的形态变化的,某些形态下的值就可能使J（）成为奇异,这时的机械手末端位置称之为机

8、械手的奇异点。当机械手处于奇异形态时,它在直角坐标空间的自由度就有所减少,这意味着在直角坐标空间的某些方向上,无论选取什么样的关节速度,机械手都不能沿着那些方向运动。奇异点可能处于机械手工作空间的边界或工作空间内部。20XX年/7/4 14 5.4.3 r操作机的雅可比矩阵及其逆矩阵 x r 根据雅可比矩阵的定义式有： = J y r操作机 x= r cos对于 y= r sin cos J= sin r sin r cos x cos y = sin 20XX年/7/4 r sin r r cos 15 求雅可比逆矩阵由 r操作机几何关系得： r 2= x 2+ y 2对 t求导得另外，有对

9、 t求导得 x y x y 1 x+ y= 2 x+ 2 y = 2 2 r r r 2 r x 2 x 2 x x x y r= x+ y r r 1 r y sec= tg=xcos x r r = y r2 y r x x y r2 x r 1 J= y 2 r y r x 2 r 16 例5-1试求图所示的2自由度机械手的雅可比矩阵解：Y L2 2 L1 o x= L1c1+ L2c12 y= L1s1+ L2 s12 x x= L1 s1 L2 s12,= L2 s12 1 2 y y = L1c1+ L2 c12,= L2 c12 1 2 1X L1 s1 L2 s12得 J= L

10、1c1+ L2 c12 L2 s12 L2 c12 5.4.4 雅可比矩阵的物理意义 r Y J 2 2 PE,1 L1 J1 1 PE, 2 以上述例题为例：将雅可比矩阵定义为列向量 J=J1, J 2有Ji R21 r= J1 1+ J 2 2 L2 2关节2 J1和 J 2分别为 PE1和 PE 2 反 时针转动 2 而成。 关节1 1 X 第五章速度运动学 x r r例5-2:已知： = y r2 y r x x y ,当手部沿着y=1的直线以均速 2 r r, 表示为 x的函数。 x= 1运动，试将 解：已知 y= 1,则 y= 0,又知 x= 1,则由已知矩阵式可知 r= x x=

11、 r x x2+ y2 x= x x2+ 1 = y y 1 x= 2 x= 2 r2 x+ y2 x+1 分析：当x=0时, = max= 1。又因为已假设了y=1,以致 r 0,即操作机手臂长度不为零，上式分母不为零，不会出现奇异问题。20XX年/7/4 19 由以上分析可以得出两点结论： （1）对于 J,当 r趋于 0时， r操作机出现奇异问题。此时操作机失控，即遇到速度趋于无穷大的困难。此时， 若 x或 y为有限值时， r和趋于无穷大。事实上 r= 0的条件是很容易辨别和避免的； 1 （2）由以上 r操作机的雅可比矩阵及其逆阵的推导可以看出，当操作机具有6关节时，雅可比矩阵的推导将会更加复杂。 5.5雅可比矩阵的力学意义类似于速度的雅可比矩阵形式,我们也可以得到一个力域中的雅可比矩阵形式,而且可以证明,在此,速度雅可比矩阵是以转置的形式出现的 = J （）T 其中,为n1向量,表示n个关节上的平衡力/平衡力矩,而为作用在手爪上的直角坐标力/力矩形成的61向量。因此,实际上 J T （）表示把手爪上的直角坐标力/力矩映射为等价的关节力/关节力矩。20XX年/7/4 21