高中数学 幂函数指数函数与对数函数经典练习题.docx

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高中数学幂函数指数函数与对数函数经典练习题

高中数学幂函数、指数函数与对数函数（经典练习题）

  高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数

  【第一部分】知识复习

  【第二部分】典例讲解

  考点一：

幂函数

  例1、比较大小

  例2、幂函数，（m∈N），且在（0，＋∞）上是减函数，又，则m=

  A．0B．1C．2D．3

  解析：

函数在（0，＋∞）上是减函数，则有

  又，故为偶函数，故m为1．，

  例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．

（1）求函数的解析式；

（2）讨论的奇偶性．∵幂函数在区间

  ∴．又上是减函数，∴是偶数，∴，∴，解得．，∵，

（2），．

  当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．

  例4、

  下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系

（1）

  变式训练：

（A），

（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）.

  1、下列函数是幂函数的是（）

  A．y=2xB．y=2x－1C．y=（x＋1）2D．y=

  2、下列说法正确的是（）

  A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数

  是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数C．

  3、下列函数中，定义域为R的是（）

  A．y=B．y=C．y=D．y=x1－

  4、函数的图象是（）

  A．B．C．D．

  5、下列函数中，不是偶函数的是（）

  A．y=－3x2B．y=3x2C．

  6、若f（x）在[－5，5]上是奇函数，且f（3）＜f

（1），则（）D．y=x2＋x－1

  A．f（－1）＜f（－3）B．f（0）＞f

（1）C．f（－1）＜f

（1）D．f（－3）＞f（－5）

  7、若

  y=f（x）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f（x）图象上的是（）

  A．（a，－f（a））B．（－a，－f（a））C．（－a，－f（－a））D．（a，f（－a））

  8、已知，则下列正确的是（）

  A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数

  C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数

  9、若函数f（x）=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）

  A．－2B．－1C．0D．1

  10、已知f（x）为奇函数，定义域为，又f（x）在区间上为增函数，且f（－1）=0，则满足f（x）>0的的取值范围是（）

  A．B．（0，1）C．D．

  11、若幂函数的图象过点，则_____________．

  12、函数的定义域是_____________．

  13、若，则实数a的取值范围是_____________．

  14、DACADABACD是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．

  9、

  ＋ax，所以有a=0．，函数为偶函数，则有f（－x）=f（x），即x－ax=x22

  10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f（x）在上单调递增，则当x<－1时，f（x）<0，当－10，又f

（1）=－f（－1）=0，故当01时，f（x）>0．则满足f（x）>0的．

  11、解析：

点代入得，所以．

  12、解：

  13、解析：

  ，解得．

  14、解：

则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5．

  考点二：

指数函数

  例1、若函数y=ax＋m－1（a>0）的图像在第一、三、四象限内，则（）

  A.a>1B.a>1且m<0C.00D.0

  例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．

  例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围．

  例4、已知函数．

（1）证明函数f（x）在其定义域内是增函数；

（2）求函数f（x）的值域．

  例5、如果函数（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：

y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=a向下移动．而当0

  三、四象限．只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，x

  图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．故选B．

  答案：

B

  例2、分析：

在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分.根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．

  解答：

令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：

  ∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是（－∞，0]∪[1,2]．

  小结：

当遇到y=f（ax）类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解．

  例3、分析：

求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．解答：

因为方程有负实数根，即x＜0，

  所以，

  解此不等式，所求a的取值范围是

  例4、分析：

对于

（1），利用函数的单调性的定义去证明；对于

（2），可用反解法求得函数的值域．

  解答：

（1），设x1＜x2，则

  ．

  因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以

  0,,所以．又＋1＞＋1＞0,所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在其定义域（－∞，＋∞）上是增函数．

（2）设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1）．

  例5、分析：

考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．

  解：

设t=ax>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．

  若a>1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈，∴当t=a时，ymax=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5（舍去）．

  若0

  ∴当时，．解得（舍去）．

  ∴所求的a值为3或．

  变式训练：

  1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）

  A．B．C．D．

  2、函数是（）

  A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数

  3、函数的值域是（）

  A．B．C．D．

  4、已知,则函数的图像必定不经过（）

  A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

  5、函数的定义域为（）

  A．B．C．D．

  6、函数，满足f（x）>1的x的取值范围是（）

  A．B．C．D．

  7、函数的单调递增区间是（）

  A．B．C．D．

  8、已知，则下列正确的是（）

  A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数

  C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数

  9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）

  A．B．C．D．

  10、下列说法中，正确的是（）

  ①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有；③是增函数；④的最小值为1；⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．

  A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤

  11、若直线y=2a与函数y=|ax－1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围__.

  12、函数的定义域是______________．

  13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=ax－2＋1的图象恒过定点________．

  14、函数y=的递增区间是___________.

  15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=（）x－1－4（）x＋2的最大值和最小值．

  16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．

  17、设a是实数，．

（1）试证明对于a取任意实数，f（x）为增函数；

（2）试确定a的值，使f（x）满足条件f（－x）＝－f（x）恒成立．

  18、已知f（x）＝（a>0且）．

（1）求f（x）的定义域、值域．

（2）讨论f（x）的奇偶性．（3）讨论f（x）的单调性．答案及提示：

1-10DADADDDACB

  1、可得0

  2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.

  3、可得2x>0，则有

  4、通过图像即可判断.，解得y>0或y<－1.

  5、.

  6、由，由，综合得x>1或x<－1.

  7、即为函数的单调减区间，由，可得，又，则函数在上为减函数，故所求区间为.

  8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，

  又函数.，函数在R上都为增函数，故函数f（x）在R上为增

  9、可得.

  10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数．11、0＜a＜提示：

数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.

  12、提示：

由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．

  13、（2,2）提示：

当x=2时，y=a0＋1=2．

  14、（－∞，1]

  提示：

∵y=（）x在（－∞，＋∞）上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=（x－1）2＋1的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递增区间是（－∞，1］．

  15、解：

由9x－10·3x＋9≤0得（3x－1）（3x－9）≤0，解得1≤3x≤9.

  ∴0≤x≤2，令（）x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4（t－）2＋1.

  当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.

  16、解法一：

设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在（0，1］内有实根.设f（y）=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f（0）＞0且f

（1）≤0，得－3≤m＜0.解法二：

∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈（0，1]，∴m=（y－2）2－4∈［－3，0）．

  17、

（1）设，

  即f（x1）＜f（x2），所以对于a取任意实数，

  f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数．

（2）由f（－x）=－f（x）得

  18、解：

（1）定义域为R．，解得a=1，即当a=1时，f（－x）=－f（x）．

  ．

  ．

  ∴值域为（－1，1）．

（2）

  ∴f（x）为奇函数．，

  （3）设，则当a>1时，由，得，

  ，

  ∴当a>1时，f（x）在R上为增函数．

  同理可判断当0

  考点三：

对数函数

  例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．例2、已知函数f（x）=lg（ax2＋2x＋1）（a∈R）.

（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围.

  例3、已知

  例4、已知f（x）=loga（ax－1）（a＞0，a≠1