高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案文档格式.docx
《高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案附答案文档格式.docx(6页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2.函数f(x)=cos2x-2sinx的最小值和最大值分别为( )
A.-3,1B.-2,2
C.-3,32D.-2,32
3.函数f(x)=sinxcosx的最小值是( )
A.-1B.-12C.12D.1
4.(2011清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角,则sinAsinB( )
A.有最大值12,最小值0
B.有最小值12,无最大值
C.既无最大值也无最小值
D.有最大值12,无最小值
探究点一 三角函数式的化简
例1 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.
变式迁移1 (2011泰安模拟)已知函数f(x)=4cos4x-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x.
(1)求f-11π12的值;
(2)当x∈0,π4时,求g(x)=12f(x)+sin2x的最大值和最小值.
探究点二 三角函数式的求值
例2 已知sin(π4+2α)sin(π4-2α)=14,α∈(π4,π2),求2sin2α+tanα-1tanα-1的值.
变式迁移2
(1)已知α是第一象限角,且cosα=513,求sin&
#61480;
α+π4&
#61481;
cos&
2α+4π&
的值.
(2)已知cos(α+π4)=35,π2≤α3π2,求cos(2α+π4)的值.
探究点三 三角恒等式的证明
例3 (2011苏北四市模拟)已知sin(2α+β)=3sinβ,设tanα=x,tanβ=y,记y=f(x).
(1)求证:
tan(α+β)=2tanα;
(2)求f(x)的解析表达式;
(3)若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域.
变式迁移3 求证:
sin2x&
sinx+cosx-1&
&
sinx-cosx+1&
=1+cosxsinx.
转化与化归思想的应用
例 (12分)(2010江西)已知函数f(x)=
1+1tanxsin2x+msinx+π4sinx-π4.
(1)当m=0时,求f(x)在区间π8,3π4上的取值范围;
(2)当tanα=2时,f(α)=35,求m的值.
【答题模板】
解
(1)当m=0时,f(x)=1+cosxsinxsin2x
=sin2x+sinxcosx=1-cos2x+sin2x2
=122sin2x-π4+1,[3分]
由已知x∈π8,3π4,得2x-π4∈0,5π4,[4分]
所以sin2x-π4∈-22,1,[5分]
从而得f(x)的值域为0,1+22.[6分]
(2)f(x)=sin2x+sinxcosx-m2cos2x
=1-cos2x2+12sin2x-m2cos2x
=12[sin2x-(1+m)cos2x]+12,[8分]
由tanα=2,得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45,2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α=-35.[10分]
所以35=1245+35&
1+m&
+12,[11分]
解得m=-2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是:
(1)能求出数值的要求出数值;
(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;
(3)分式中的分母尽量不含根式等.
1.求值中主要有三类求值问题:
(1)“给角求值”:
一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:
给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:
实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.
2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则:
(1)在化简求值和证明时常用如下方法:
切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法等.
(2)常用的拆角、拼角技巧如:
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,α+β2=α-β2+β-α2,α2是α4的二倍角等.
(3)化繁为简:
变复角为单角,变不同角为同角,化非同名函数为同名函数,化高次为低次,化多项式为单项式,化无理式为有理式.
消除差异:
消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2011平顶山月考)已知0απ,3sin2α=sinα,则cos(α-π)等于( )
A.13B.-13C.16D.-16
2.已知tan(α+β)=25,tanβ-π4=14,那么tanα+π4等于( )
A.1318B.1322C.322D.(2011石家庄模拟)已知cos2α=12(其中α∈-π4,0),则sinα的值为( )
A.12B.-12C.32D.-32
4.若f(x)=2tanx-2sin2x2-1sinx2cosx2,则fπ12的值为( )
A.-433B.8
C.43D.-.(2010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中,若cos2B+3cos(A+C)+2=0,则sinB的值是( )
A.12B.22C.32D.1
题号12答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010全国Ⅰ)已知α为第二象限的角,且sinα=35,则tan2α=________.
7.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是________.
8.若cos2αsinα-π4=-22,则cosα+sinα的值为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)化简:
(1)cos20°
cos40°
cos60°
cos80°
;
(2)3-4cos2α+cos4α3+4cos2α+cos4α0.(12分)(2011南京模拟)设函数f(x)=3sinxcosx-cosxsinπ2+x-12.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当∈0,π2时,求函数f(x)的最大值和最小值..(14分)(2010北京)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
(1)求f(π3)的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
答案自主梳理
1.
(1)2sinαcosα
(2)cos2α-sin2α 2cos2α 2sin2α
(3)2tanα1-tan2α 2.
(1)12sin2α
(2)1-cos2α2 1+cos2α2 2cos2α2 2sin2α2 (sinα±
cosα)2
1.C 2.C 3.B 4.D
课堂活动区
例1 解题导引 化简的原则是形式简单,三角函数名称尽量少,次数尽量低,最好不含分母,能求值的尽量求值.本题要充分利用倍角公式进行降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.
解 y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x
=7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)
=7-2sin2x+4cos2xsin2x
=7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6,
由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值为zmax=(-1-1)2+6=10,最小值为zmin=(1-1)2+6=6,
故当sin2x=-1时,y取得最大值10,
当sin2x=1时,y取得最小值6.
变式迁移1 解
(1)f(x)
=&
1+cos2x&
2-2cos2x-1sinπ4+xsinπ4-x
=cos22xsinπ4+xcosπ4+x
=2cos22xsinπ2+2x=2cos22xcos2x=2cos2x,
∴f-11π12=2cos-11π6=2cosπ6=3.
(2)g(x)=cos2x+sin2x
=2sin2x+π4.
∵x∈0,π4,∴2x+π4∈π4,3π4,
∴当x=π8时,g(x)max=2,
当x=0时,g(x)min=1.
例2 解题导引
(1)这类问题一般是先化简再求值;
化简后目标更明确;
(2)如果能从已知条件中求出特殊值,应转化为特殊角,可简化运算,对切函数通常化为弦函数.
解 由sin(π4+2α)sin(π4-2α)
=sin(π4+2α)cos(π4+2α)
=12sin(π2+4α)=12cos4α=14,
∴cos4α=12,又α∈(π4,π2),故α=5π12,
∴2sin2α+tanα-1tanα-1
=-cos2α+sin2α-cos2αsinαcosα
=-cos2α+-2cos2αsin2α
=-cos5π6-2cos5π6sin5π6=532.
变式迁移2 解
(1)∵α是第一象限角,cosα=513,
∴sinα=12∴sin&
=22&
sinα+cosα&
cos2α
=22&
cos2α-sin2α
=22cosα-sinα=22513-1213=-132
(2)cos(2α+π4)=cos2αcosπ4-sin2αsinπ4
=22(cos2α-sin2α),
∵π2≤α32π,
∴3π4≤α+π474π.
又cos(α+π4)=350,
故可知32πα+π474π,
∴sin(α+π4)=-45,
从而cos2α=sin(2α+π2)
=2sin(α+π4)cos(α+π4)
=2×
(-45)×
35=-2422α=-cos(2α+π2)
=1-2cos2(α+π4)
=1-2×
(35)2=725.
∴cos(2α+π4)=22(cos2α-sin2α)=22×
(-2425-725)
=-31250.
例3 解题导引 本题的关键是第
(1)小题的恒等式证明,对于三角恒等式的证明,我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同,特别是分析已知和要求的角之间的关系,再分析函数名之间的关系,则容易找到思路.证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对于第
(2)小题同样要从角的关系入手,利用两角和的正切公式可得关系.第(3)小题则利用基本不等式求解即可.
(1)证明 由sin(2α+β)=3sinβ,得sin[(α+β)+α]
=3sin[(α+β)-α],
即sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα,
∴sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,
∴tan(α+β)=2tanα.
(2)解 由
(1)得tanα+tanβ1-tanαtanβ=2tanα,即x+y1-xy=2x,
∴y=x1+2x2,即f(x)=x1+2x2.
(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角,
∴0α≤π3,0x≤3,
设g(x)=2x+1x,则g(x)=2x+1x≥22(当且仅当x=22时取“=”).
故函数f(x)的值域为(0,24].
变式迁移3 证明 因为左边=
2sinxcosx[sinx+&
cosx-1&
][sinx-&
]
=2sinxcosxsin2x-&
2
=2sinxcosxsin2x-cos2x+2cosx-1
=2sinxcosx-2cos2x+2cosx=sinx1-cosx
=sinx&
1+cosx&
1-cosx&
sin2x=1+cosxsinx=右边.
所以原等式成立.
课后练习区
1.D [∵0απ,3sin2α=sinα,
∴6sinαcosα=sinα,又∵sinα≠0,∴cosα=16,(α-π)=cos(π-α)=-cosα=-16.]
2.C [因为α+π4+β-π4=α+β,
所以α+π4=(α+β)-β-π4.
所以tanα+π4=tan&
α+β&
-β-π4
=tan&
-tanβ-π41+tan&
tanβ-π4=322.]
3.B [∵12=cos2α=1-2sin2α,
∴sin2α=14.又∵α∈-π4,0,
∴sinα=-12.]
4.B [f(x)=2tanx+1-2sin2x212sinx=2tanx+2cosxsinx
=2sinxcosx=4sin2x
∴fπ12=4sinπ6=8.]
5.C [由cos2B+3cos(A+C)+2=0化简变形,得2cos2B-3cosB+1=0,
∴cosB=12或cosB=1(舍).
∴sinB=32.]
6.-247
解析 因为α为第二象限的角,又sinα=35,
所以cosα=-45,tanα=sinαcosα=-34,
所以tan2α=2tanα1-tan2α=-2.1-2
解析 ∵y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x
=sin2x+cos2x+1=2sin2x+π4+1,
∴当sin(2x+π4)=-1时,函数取得最小值1-22
解析 ∵cos2αsinα-π4=cos2α-sin2α22&
sinα-cosα&
=-2(sinα+cosα)=-22,
∴cosα+sinα=12.
9.解
(1)∵sin2α=2sinαcosα,
∴cosα=sin2α2sinα,…………………………………………………………………………(2分)
∴原式=sin40°
2sin20°
sin80°
2sin40°
12sin160°
2sin80°
=sin&
180°
-20°
16sin20°
=116.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式=3-4cos2α+2cos22α-13+4cos2α+2cos22α-1………………………………………………………(9分)
1-cos2α&
2&
1+cos2α&
2=&
2sin2α&
2cos2α&
2=tan4α.………………………………………………………(12分)
10.解 f(x)=3sinxcosx-cosxsinπ2+x-12
=32sin2x-12cos2x-1
=sin2x-π6-1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T=2π2=π,故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)
(2)因为0≤x≤π2,所以-π6≤2x-π6≤5π6.
所以当2x-π6=π2,即x=π3时,f(x)有最大值0,
……………………………………………………………………………………………(10分)
当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)有最小值-32.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11.解
(1)f(π3)=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3
=-1+34-2=-94.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx
=3cos2x-4cosx-1
=3(cosx-23)2-73,x∈R.………………………………………………………………(10分)
因为cosx∈[-1,1],
所以,当cosx=-1时,f(x)取得最大值6;
当cosx=23时,f(x)取得最小值-73.…………………………………………………(14分)