历年高考真题专题04立体几何Word格式文档下载.docx
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根据三角形而积公式可得：
S^ai）1）=-ABAD-sin60°
=-（2右尸~=2^222
，该几何体的表面积是：
3x2+2jJ=6+26.
5.
（2020•北京卷）某三棱柱的底而为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）.
A6+QB.6+2&
C12+V3D,12+2褥
【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧而为三个边长为2的正方形,
1
S=3x（2x2）+2x—x2x2xsin60°
6.（2020・山东卷）日皆是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇而垂直的唇针投射到卷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指。
A与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平而是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日售，若密而与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。
，则唇针与点A处的水平面所成角为（）
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
【解析】画出截面图如下图所示，其中CO是赤道所在平面的截线；
/是点A处的水平面的截线，依题意可知OA_L/：
43是密针所在直线•小是售而的截线，依题意依题意，密而和赤道平面平行，密针与暮而垂直,根据平而平行的性质定理可得可知〃?
〃C。
、根据线面垂直的定义可得AB
由于44。
=40。
加〃8,所以NQ4G=NAOC=40。
，
由于ZOAG+ZGAE=ZBAE+NGAE=90°
所以ZBAE=ZOAG=40°
也即暮针与点A处的水平而所成角为ZBAE=40°
.
7.（2020•天津卷）若棱长为20的正方体的顶点都在同一球而上，则该球的表面积为（）
A.12^B.24/rC.36乃D.1447r
L仅可+（2国1\一
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，
二，所以，这个球的表而积为S=44代=4笈乂32=36乃.=3
8.
（2020•浙江卷）某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：
cnV）是（）
【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱,且三棱锥的一个侧而垂直于底面，且棱锥的高为1,
x2=r2=r
棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2,所以几何体的体积为:
-x—x2xlxl+—x2xl312）12
9.（2020.山东卷）已知直四棱柱ABC。
-ABGA的棱长均为2,ZBAD=60\以口为球心，逐为半径的
球而与侧面8CGS的交线长为.
【解析】如图:
取4G的中点为E，的中点为尸，CG的中点为G,
因为=60。
，直四棱柱A8CO-A片GD的棱长均为2,所以△为等边三角形，所以
Dp=小,D}E1B{C},
又四棱柱ABC。
—44GA为直四棱柱，所以BB|_L平面所以
因为881n耳G=5，所以RE1侧而£
GCB,
设P为侧而BCQB与球面的交线上的点，则D、E1EP,
因为球的半径为、6，D、E=B所以IE尸匕JlR尸|2—|遇上|2=右=？
=后,
所以侧而B£
CB与球而的交线上的点到E的距离为V2，
因为IEF1=1EGlf,所以侧面B£
CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，
因为/B】EF=NQEG=三,所以NFEG=[所以根据弧长公式可得/G=^x虚=正小
4222
10.（2020•浙江卷）已知圆锥展开图的侧面积为2n，且为半圆，则底而半径为.
Trxrxl=2九
【解析】设圆锥底而半径为「，母线长为/,则《八1./解得〃=1,/=2.
2x^xr=-x2x^x/
2
11.（2020・江苏卷）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底而正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是—cm.
【解析】正六棱柱体积为6x正x22x2=12JJ：
圆柱体积为乃（3-2=。
：
所求几何体体积为12省一：
4222
12.（2020•新课标III）已知圆锥的底而半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.
【答案】叵开
3
【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中8c=2,A8=AC=3,且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O,
由于=F=2也，故%8c=Jx2x2a=2&
，设内切圆半径为，则：
S&
W=S&
AOB+SABOC+SAAOC=XABXT+xBCxr+xACxr222
=!
x（3+3+2）x，，=2&
解得：
r=叵,其体积：
1/=±
乃/=走万.
2'
'
233
【2019年】
1.【2019•全国I卷】已知三棱锥P-A3C的四个顶点在球。
的球面上，PA=PB=PC,ZVIBC是边长为2的正三角形，E,E分别是以，A3的中点，ZCEF=90°
则球。
的体积为（）
A.8瓜nB.47671C.2述冗D.y/bn
【解析】；
4=〃8=尸，八48。
为边长为2的等边三角形，.・.。
一/13。
为正三棱锥，.・.23_14。
，又
E，产分别为24,A3的中点，.•.所〃尸8,.•.EF_L4C,又EF工CE，CEQAC=C..•.痔_1平面24。
，・・・尸3_1平而24。
，，乙423=90。
「.24=23=2。
=无，二「一43。
为正方体的一部分,
2R=>
/2+2+2=娓,即=：
.V=—tcR'
=-hx=y/bn»
故选D.
2338
2.[2019•全国II卷】设a,£
为两个平面，则a///3的充要条件是（）
A.a内有无数条直线与£
平行B.a内有两条相交直线与£
平行
C.a,£
平行于同一条直线D,a,£
垂直于同一平而
【解析】由而而平行的判定定理知：
a内两条相交直线都与月平行是。
〃夕的充分条件，由面而平行性质定理知，若a〃Q,则。
内任意一条直线都与月平行，所以。
内两条相交直线都与月平行是a〃夕的必要条件，故选B.
3.【2019•全国HI卷】如图，点N为正方形A8CQ的中心，△&
?
£
）为正三角形，平面ECQ_L平面A3CQ,M是线段上。
的中点，则（）
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线：
B.BM*EN,且直线8W,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线；
D.BM丰EN,且直线AM,EN是异而直线
【解析】如图所示，作EO_LC£
＞于。
，连接。
N,BD,易得直线屈M,EN是三角形七8。
的中线，是相交直线•过M作于/，连接8歹，
「平面。
＞£
_L平面A8CD,£
0,8,后。
匚平而。
七，二.七。
_1平而488,平而A3CQ,与△EON均为直角三角形.设正方形边长为2,易知EO=^,ON=1,EN=2,
MF=^、BF=”，：
.BM=^，：
.BM^EN，故选B.22
4.【2019•浙江卷】祖阳是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的‘锦势既同，则积不容异'
'
称为祖咆原
理，利用该原理可以得到柱体的体积公式I，“体=%，其中S是柱体的底而枳，〃是柱体的高.若某柱体的三
视图如图所示（单位：
cm）,则该柱体的体积（单位：
cm3）是（）
B.162
D.324
A.158
C.182
2+6今4+6与
x3+x3
【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底而可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为故选B.
5.12019•浙江卷】设三棱锥J48c的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱以1上的点（不含端点）.记直线总与直线AC所成的角为a,直线P8与平面ABC所成的角为二面角P-AC-8的平面角为了,则（）
A.By,a<
yB.B<
a,£
<
yC.£
a,）<
aD.a<
B，
【解析】如图，G为4c中点，连接VG,V在底而ABC的投影为。
，则P在底而的投影O在线段4。
上,过。
作OE垂直于AC于£
连接PE，BD,易得尸石〃VG,过夕作P/〃4c交VG于尸，连接8F,过。
作ZW〃AC，交BG于〃，则a=/BPF,。
=/PBD,y=/PED,结合APFB,/XBDH,APDB均为
PFDHRD
直角三角形，可得cos。
=——=——=<
——=cos。
，即&
>
/7；
PBPBPBPB
PDPD
在Rt^PEO中，tan/=——>
——=tan/?
即，>
a，综上所述，答案为B.
EDBD
6.12019•全国川卷】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABC。
-481GA挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中。
为长方体的中心，E,F,G,，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4,=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cnf,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.
【解析】由题意得，%沏即5=4x6—4xgx2x3=l2cm2,
•・•四棱锥O-EFGH的高为3cm,Vo_EhGH=-x!
2x3=l2cml
又长方体A8CO—481GA的体积为匕=4x6x6=144cn13,
所以该模型体积为V=v2-V°
_efgh=144-12=132cm3,其质量为0.9X132=118.8g.
7.12019•北京卷】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.
【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱MPRA-NQG与之后余下的几何体，则几何体的体积V=43—」x（2+4）x2x4=40.
8.【2019・北京卷】已知，，机是平面。
外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①/L〃；
②a；
®
l±
a.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：
.
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果/_La,m//a9则/L〃，正确：
（2）如果/_La,ILn,则不正确，有可能〃】在平面a内;
（3）如果/_!
_〃?
，则/J_a,不正确，有可能/与a斜交、/〃a.故答案为：
如果/_La,则/L〃・9.【2019•天津卷】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为J?
.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底而的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.【解析】由题意，四棱锥的底而是边长为正的正方形，侧棱长均为逐，借助勾股定理，可知四棱锥的高为斤r=2.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,
故圆柱的高为1,圆柱的底而半径为!
，故圆柱的体积为兀x2
10.12019・江苏卷】如图，长方体A8cO—45G0的体积是120,E为CQ的中点，贝U三棱锥七一8。
【解析】因为长方体A88—44GR的体积为120,所以A8・8C・CG=12。
因为七为。
1的中点，所以CE=；
CG，由长方体的性质知CG，底而A3CZ）,
所以CE是三棱锥E-BCD的底而8c。
上的高，
所以三棱锥£
一3。
的体积1/=,乂148・8。
・。
==!
乂！
48・8。
・！
|=-!
-乂120=10.
3232212
【2018年】
1.【2018•全国I卷】某圆柱的高为2,底而周长为16,其三视图如图.圆柱表而上的点”在正视图上
的对应点为A，圆柱表而上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧而上，从〃到N的路径中,最短路径的长度为
【答案】B
2.12018•全国I卷】已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平而。
所成的角都相等，则。
截此正方体所得截而面积的最大值为
a3有「3&
召
4342
【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体481GA中,平面4片R与线A1%所成的角是相等的,所以平面人瓦A与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,同理，平而也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,
要求截而而积最大，则截面的位置为夹在两个面442与中间，且过棱的中点的正六边形，且边长
3.【2018•全国HI卷】中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是桦头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时
带卯眼的木构件的俯视图可以是
【解析】本题主要考查空间几何体的三视图,由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A.
4.【2018•浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：
cm）,则该几何体的体积（单位：
cm3）是
A.2B.4
C.6D.8
【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2,底面为直角梯形，上、下底分别为1,2,梯形的高为2,因此几何体的体积为；
x（l+2）x2x2=6,故选C.
5.12018•全国川卷】设A,8,C，O是同一个半径为4的球的球而上四点，AABC为等边三角形且其面积为9小,则三棱锥ABC体枳的最大值为
A.12>
/3B.1873C.24小D.5473
【解析】如图所示，设点M为三角形A8C的重心，E为AC中点，
当点。
在平面A8C上的射影为“时，三棱锥。
―A3C的体积最大，此时，OD=OB=R=4,
Sgbc=立6=96，A3=6，,•点M为三角形ABC的重心，BM=&
BE=26
43
・・・RtZ\O8W中，有OM=dOB?
-BM?
=2,..DM=OD+OM=4+2=6,
•••（匕）-八皮）2=：
x%/Tx6=18>
/5，故选B.
6.【2018•全国II卷】在长方体A8CD-A4Gq中，AB=BC=i,44,=。
，则异而直线力R与所成角的余弦值为
A.-B.正
56
C.直D.巫
52
【解析】方法一：
用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则与尸〃A〃，连接。
尸,易求得DB]=DP=#,B7=2,则NOB7是异而直线AR与。
坊所成的角，
由余弦定理可得cosNOBf="
二=5：
’=£
•故选C.
2DB/PB[45/55
方法二：
以。
为坐标原点，ZMQC.D5所在直线分别为xj,z轴建立空间直角坐标系，
则0（0,0,0）,4（1,0,0）,4（1,1,6）,R（0,0,/'
所以科=（—1,0,召）,西=（1,1,有卜
西O瓦_-1+3_75阿网=2x6=M
所以异而直线AR与。
4所成角的余弦值为目，故选C.
7.【2018•浙江卷】已知四棱锥S-ABC。
的底而是正方形，侧棱长均相等，上是线段A8上的点（不含端
点），设SE与8C所成的角为&
SE与平面A8CO所成的角为长，二而角ST5-C的平面角为仇，则
A.0\<
01<
03B.0^<
02<
0i
C.D.6区仇
【解析】设。
为正方形ABC。
的中心，M为AB中点，过E作8C的平行线E凡交CQ于F,过。
作ON垂直EF于N,连接SO,SN,SE,SM,OM,OE,则SO垂直于底面ABC。
，OM垂直于A8,
因此/SEN=q,ZSEO=&
4SMO="
因为SNNSO,EONOM、所以tagNtanqNtan%即q之劣二名，故选D.
8.12018・江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2,以其所有而的中心为顶点的多而体的体积为
7
9.【2018•全国H卷】已知圆锥的顶点为S,母线S4,S3所成角的余弦值为7,SA与圆锥底面所成角8
为45。
，若△S48的面积为5A，则该圆锥的侧而积为
【解析】因为母线S4,S3所成角的余弦值为‘，所以母线S4,S3所成角的正弦值为匹，因为△S4888
的面积为5后，设母线长为/，所以1、/2、遮=5疝,.•.尸=80,因为SA与圆锥底面所成角为45。
，所28
以底而半径为r=/cos-=立/,因此圆锥的侧而积为“/=叵诅？
=40缶.422
【2017年】
1.【2017•全国II卷】已知直三棱柱中，ZABC=120°
A3=2，8C=CG=1,则异
面直线AB｝与8G所成角的余弦值为
【答案】c
【解析】如图所示，补成直四棱柱A8CD-A4G2,
则所求角为/BC[D,.,BC\=®
BD=V22+l-2x2xlxcos600=®
C】D=AB、=5
易得G。
？
=8。
2+4。
|2，因此80/8。
10=3=虚=巫，故选C.
C.D755
.[2017•全国I卷】某多而体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多而体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的而积
之和为
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2x（2+4）x2x』=12,故选B.
3.【2017•北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
4
【解析】几何体是四棱锥P—A3CQ,如图.
最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为/=也?
+级+2?
=2百，选B.
4.12017.全国n卷】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何
体由一平而将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.90兀B.63五C.42大D.36兀
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱，其体积
V1=kx32x4=36tt,上半部分是一个底面半径为3,高为6的圆柱的一半，其体积
V2=1x（kx32x6）=27k,故该组合体的体积V=匕+匕=36冗+27冗=63几.故选B.2
5.【2017•全国HI卷】已知圆柱的高为1,它的两个底而的圆周在直径为2的同一个球的球而上，则该圆
柱的体积为
c3兀C兀c兀
A.兀B.—C.—D.—
424
【解析】绘制圆柱的轴截而如图所示：
xl=—兀，故选B.
万3冗
C.—+1
【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体枳为
7.【2017•浙江卷】如图，已知正四面体O—43C（所有棱长均相等的三棱锥），P,Q,R分别为A&
由题意可得：
AC=VAB=-,结合勾股定理，底而半径,・=2
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体枳是V=7rr%=7rx6.【2017•浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：
cnf）是
B.a<
y<
p
D.p<
a
A.y<
a<
C.a<
p<
y
【解析】设O为三角形ABC中心，则。
到尸。
距离最小，。
到PR距离最大，。
到R。
距离居中，而三棱
锥的高相等，因此夕<
/<
/，所以选B.
8.【2017•全国I卷】如图，圆形纸片的圆心为。
，半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,尸为圆。
上的点，aDBC,△ECA,△胡8分别是以3C,CA,A3为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以8C,CA,A3为折痕折起△Q8C,aECA,aFAB,使得。
E,F重合，得到三棱锥.当aABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cnF）的最大值为.
【解析】如下图，连接。
交8。
于点G,设。
，E,E重合于S点，正三角形的边长为x*>
0）,则
OG=-x^x=-x.^FG=SG=5-立x,3266
二三棱锥的体积力=?
xEVx5|5—=晅k—G.
设〃（x）=5a-4——X5,a>
0,贝x）=20.--x4,
9.[2017•山东卷】由一个长方体和两个二圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,所以
V=2xlxl+2x^^xl=2+-.
42
10.【2017•天津卷】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表而积为18,则这个球的体枳为.
【解析】设正方体的边长为〃，则&
J=18=a=JJ,其外接球直径为2R=疯/=3
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