4．（2013·四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P（|x－y|≤2）＝＝＝＝.
题型一 古典概型与几何概型
例1
（1）（2014·四川）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
（2）已知关于x的二次函数f（x）＝ax2－4bx＋1.设点（a，b）是区域内的一点，
求函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率．
思维点拨
（1）①所有结果共有3×3×3＝27种，满足a＋b＝c的情况有3个．
②a、b、c不完全相同的结果可用其对立事件考虑．
（2）结合线性规划知识来解决．
解
（1）①由题意知，（a，b，c）所有的可能结果为
（1,1,1），（1,1,2），（1,1,3），（1,2,1），（1,2,2），（1,2,3），（1,3,1），（1,3,2），（1,3,3），（2,1,1），（2,1,2），（2,1,3），（2,2,1），（2,2,2），（2,2,3），（2,3,1），（2,3,2），（2,3,3），（3,1,1），（3,1,2），（3,1,3），（3,2,1），（3,2,2），（3,2,3），（3,3,1），（3,3,2），（3,3,3），共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括（1,1,2），（1,2,3），（2,1,3），共3种．
所以P（A）＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
②设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括（1,1,1），（2,2,2），（3,3,3），共3种．
所以P（B）＝1－P（）＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
（2）∵函数f（x）＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，
要使f（x）＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞）上为增函数，
当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
依条件可知事件的全部结果所构成的区域为
，构成所求事件的区域为三角形部分．
所求概率区间应满足2b≤a.
由得交点坐标为（，），
∴所求事件的概率为P＝＝.
思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．
某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解
（1）由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×＝1.
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
（2）①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，
所以P（B）＝＝.
题型二 求离散型随机变量的均值与方差
例2 2014年男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：
每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为.
（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2；
（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和均值．
思维点拨
（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式，结合甲队获得第一名与乙队获得第一名的条件列出方程，从而求出P1，P2；
（2）先根据比赛得分的规则确定甲队得分ξ的可能取值，然后利用相互独立事件的概率计算公式分别求解对应的概率值，列出分布列求其均值．
解
（1）根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，
所以甲队获第一名的概率为P1×P2＝.①
乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，
所以乙队获第一名的概率为（1－P1）×＝.②
解②，得P1＝，代入①，得P2＝，
所以甲队战胜乙队的概率为，甲队战胜丙队的概率为.
（2）ξ可能取的值为0,3,6，
当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P（ξ＝0）＝（1－）×（1－）＝；
当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P（ξ＝3）＝×（1－）＋×（1－）＝；
当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P（ξ＝6）＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
3
6
P
所以E（ξ）＝0×＋3×＋6×＝.
思维升华 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：
一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x（年）
01x>2
0x>2
轿车数量（辆）
2
3
45
5
45
每辆利润（万元）
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．
（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？
说明理由．
解
（1）设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P（A）＝＝.
（2）依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P
（3）由
（2）得E（X1）＝1×＋2×＋3×
＝＝2.86（万元），
E（X2）＝1.8×＋2.9×＝2.79（万元）．
因为E（X1）>E（X2），所以应生产甲品牌轿车．
题型三 概率与统计的综合应用
例3 （2013·课标全国Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：
t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：
元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：
若需求量X∈[100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率）．求T的均值．
思维点拨 利润T是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与X的取值范围有关，因此，T关于X的函数要用分段函数表示．
解
（1）当X∈[100,130）时，
T＝500X－300（130－X）＝800X－39000.
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.
所以T＝
（2）由
（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
（3）依题意可得T的分布列为
T
45000
53000
61000
65000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以E（T）＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.
思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它
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