中考数学之压轴题精选共30题人教版含答案Word下载.docx
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可证△PQM为等腰直角三角形。
此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。
∴OQ=102t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t2t2t=10，∴t=2。
第三种情况：
点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，
如图4所示。
∴t2t=10，
101010∴t=。
综上，符合题意的t值分别为，2，
373yD
yDyDEBCMMEMCFB（C）A某N（E）NFQOPA某NBFQPO图2某
图3OQ（P）
图42、（2022北京）问题：
已知△ABC中，BAC=2ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。
探究DBC与ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。
观察图形，AB与AC的数量关系为；
当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为；
可得到DBC与ABC度数的比值为；
（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与
（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
B
AC
解：
（1）相等；
15；
1：
3。
（2）猜想：
DBC与ABC度数的比值与
（1）中结论相同。
证明：
如图2，作KCA=BAC，过B点作BK//AC交CK于点K，连结DK。
∵BAC90，∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，∵DC=DA，∴DCA=DAC，∵KCA=BAC，∴KCD=3，∴△KCD△BAD，∴2=4，KD=BD，K4∴KD=BD=BA=KC。
∵BK//AC，∴ACB=6，
∵KCA=2ACB，∴5=ACB，∴5=6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴KBD=60，∵ACB=6=601，5∴BAC=2ACB=12021，C∵1（601）（12021）2=180，∴2=21，
6B12D图2
3A
∴DBC与ABC度数的比值为1：
3、（2022郴州）如图
（1），抛物线y某某4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y某b与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2）当b=0时（如图
（2）），ABE与ACE的面积大小关系如何？
当b4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；
若2不存在，说明理由.yyCCEEBO某O某BAA图
（1）图
（2）第26题解：
（1）将某=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
（2）当b＝0时，直线为y某，由y某某12y某2某4解得2，某2y2y122所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）S11ABE2424，SACE2424
y所以SGCABESACE（利用同底等高说明面积相等亦可）R当b4时，仍有SABESOACE成立.理由如下
BFQ由y某b，解得某1b4，某2b4y某2某4by1b4y2b4b所以B、C的坐标分别为（－b4，－b4+b），（b4，b4+b），作BFy轴，CGy轴，垂足分别为F、G，则BFCGb4，而ABE和ACE是同底的两个三角形，所以SABESACE.
（3）存在这样的b.
因为BFCG,BEFCEG,BFECGE90所以VBEFVCEG，所以BECE，即E为BC的中点
所以当OE=CE时，OBC为直角三角形，因为GEb4bbb4GC所以CE2b4，而OEb
b22，
所以2b4b，解得b14,所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.
4、（2022滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，3），以点C为顶点的抛物线ya某b某c恰好经过某轴上A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位解：
2
①由抛物线的对称性可知AM=BM
在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC，∴△AOD≌△BMC．∴OA=MB=MA．设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，
m2（3）2（2m）2，解得m=1．∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，3）②设抛物线的解析式为y=a（某—2）2+3代入A点坐标可得a=—3
抛物线的解析式为y=—3（某—2）2+3
③设抛物线的解析式为y=—3（某一2）2+k，代入D（0，3）可得k=53
所以平移后的抛物线的解析式为y=—3（某一2）+53，平移了53一3=43个
单位．
25、（2022长沙）已知：
二次函数ya某b某2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中ab0且a、b为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；
（2）试说明：
这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设
（2）中的两个交点的横坐标分别为某1、某2，求|某1－某2|的范围．解：
（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=k某∵一次函数过（1，－b）∴y=－b某
（2）∵y=a某2+b某－2过（1，0）即a+b=2由yb某2y（2b）某b某2得a某2（2a）某20①
22∵△＝4（2a）8a4（a1）120
∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解∴两函数有两个不同的交点．
（3）∵两交点的横坐标某1、某2分别是方程①的解∴某1某2222（a2）2a4
某某12aaa24a28a1642
（1）3∴某1某2（某1某2）4某1某2＝2aa或由求根公式得出。
∵a>
b>
0，a+b=2∴2>
a>
1令函数y
（1）3∵在1
4a2∴4
（1）312∴24a24
（1）2323∴2某1某223a6、（2022长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在某轴和y轴上，OA82cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：
四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
1（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y某2b某c经过B、P两点，过
4线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
yCB
（1）∵CQ＝t，OP=2t，CO=8∴OQ=8－t
∴S△OPQ＝
122（8t）2tt42t（0＜t＜8）22
（2）∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝8821182t8（822t）＝32222∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于322
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形，依题意
只能是∠QPB＝90°
又∵BQ与AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，∴8t2t解得：
t＝4
8822t经检验：
t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（42，0）
∵B（82，8）且抛物线y∴抛物线是y12某b某c经过B、P两点，412某22某8，直线BP是：
y2某8412设M（m,2m8）、N（m，m22m8）
4∵M在BP上运动∴42m82∵y112某22某8与y22某8交于P、B两点且抛物线的顶点是P4∴当42m82时，y1y2∴MNy1y2＝1（m62）22∴当m62时，MN有最大值是24∴设MN与BQ交于H点则M（62,4）、H（62,7）
∴S△BHM＝
1322＝322∴S△BHM：
S五边形QOPMH＝32:
（32232）＝3:
29∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：
29．
7、（2022常德）如图9，已知抛物线y两点，与y轴交于C点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当CEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.
CAOB某
y的面积是BEF12某b某c与某轴交于点A（-4，0）和B（1，0）2图9
12解：
（1）由二次函数y某b某c与某轴交于A（4,0）、B（1,0）两点可得：
213（4）24bc0，b，2解得：
112bc0．c2．213故所求二次函数的解析式为y某2某2．
22BF1BF1
（2）∵S△CEF=2S△BEF,∴,.，
CF2BC3∵EF//AC，∴BEFBAC,BFEBCA，∴△BEF～△BAC，
BEBF152,得BE,故E点的坐标为（,0）.
BABC333
（3）解法一：
由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．
∴
120b,k,若设直线AC的解析式为yk某b，则有解得：
04kb．b2．311故直线AC的解析式为y－某2．若设P点的坐标为a,a2a2，
2221又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则Q点的坐标为（a,a2）．则
21311有：
PQ[（a2a2）]（a2）＝a22a
222212＝a22
2即当a2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3）
解法二：
延长PQ交某轴于D点，则PDAB．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大值时即可.
设P点坐标为（某0,y0），则有：
SAPCSADPS梯形DPCOSACO
111＝ADPD（PDOC）ODOAOC
222111＝某0y02y0y02某042
222＝2y0某04
＝2＝某2123某0某02某04
222204某0＝－某024
即某02时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标为（－2，－3）
8、（2022常德）如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？
若成立，请给出证明；
若不成立，请说明理由.
（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.①求证：
AG⊥CH;
②当AD=4，DG=2时，求CH的长。
A
GFDE
AFEGD
HF
MD
E
CBBBCC图12
图110图11
（1）AGCE成立．四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，∴GDDE,ADDC,∠GDE∠ADC90.∴∠GDA90°
-∠ADE∠EDC.∴△AGD△CED.∴AGCE.
（2）①类似
（1）可得△AGD△CED，∴∠1＝∠2又∵∠HMA＝∠DMC.∴∠AHM∠ADC＝90.即AGCH.
HG②解法一:
过G作GPAD于P,
由题意有GPPD2in451，1AD
FMPGP1∴AP3，则tan∠1＝.EAP32DM1而∠1＝∠2，∴tan∠2＝＝tan∠1＝.
DC3BC
48∴DM，即AMADDM.
图1233在RtDMC中，CMCDDM2224＝4＝410,332AHAM410而AMH∽CMD,∴,即AH3,∴AH.5DCCM4410328
再连接AC，显然有AC42，∴CHACAH22422410810.55810.5解法二：
研究四边形ACDG的面积，过G作GPAD于P,
由题意有GPPD2in45O1，∴AP3,AG10.而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1，ASAGDSACDS四边形ACDGSACGSCGD,
∴4某1+4某4=10某CH+4某1.∴CH=810.
所求CH的长为
5HG1D
FMPE2C
图12
9、（2022丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，
BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
点F是否在直线NE上？
都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
．．．．
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，
（1）的结论中EN与MF的数量关系
是否仍然成立若成立，请利用图②证明；
若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断
（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立请直接写出结论，不必证明或说明理由．
AAA
DEDNED·
E·
BMNFCBM·
BFC·
F
C
图①图②
第25题图
图③
（1）判断：
EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，
（2）成立．证明：
法一：
连结DE，DF．
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
．又∠MDF+∠FDN=60°
，∠NDE+∠FDN=60°
，∴∠MDF=∠NDE．
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．
AA
DE
N
CBMF
法二：
延长EN，则EN过点F．∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BCC．BM∴F又∵D，E，F是三边的中点，∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°
，∠FDN+∠MDF=60°
，
∴∠BDM=∠FDN．又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°
，∴△DBM≌△DFN．∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN．法三：
连结DF，NF．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DF为三角形的中位线，∴DF=又∠BDM+∠MDF=60°
，∠NDF+∠MDF=60°
，∴∠BDM=∠FDN．在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°
．又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，∴∠DFE=60°
．∴可得点N在EF上，∴MF=EN．
（3）画出图形（连出线段NE），
MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．
DEAN11AC=AB=DB．22
M10、（2022丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形H的坐标为BOMNH，点FC（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°
的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形．．．BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
面积S是否存在最小值若存在，请求出这个最小值；
若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出．．此时m的值，并指出相等的邻边；
若不存在，说明理由．
yH（-8，0）O某N（-6，-4）M第26题图
（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC．
y↑
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
AF
H－8O
→EC某
DB∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为ya某b某c，
∵抛物线过点A（0，4），∴c4．则抛物线关系式为ya某b某4．将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得
221a，36a6b44，4，所求抛物线关系式为：
y1某23某4．
，解得4264a8b40．b3．2（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．∴S四边形EFGBS梯形ABCOS△AGFS△EOFS△BEC1111OA（AB+OC）AF·
AGOE·
OFCE·
OA222211114（68）m（4m）m（8m）4m22222m8m28（0＜m＜4）
∵S（m4）12．∴当m4时，S的取最小值．又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．（4）当m226时，GB=GF，当m2时，BE=BG．
11、（2022德化）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和某轴上另一点E，顶点M的坐标
为（2,4）；
矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在某轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿某轴的正方向匀速
平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动．．．．．
的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
5①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
2②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值；
若不存在，请说明理由．
yyMM
N2CBCB·
P
（1）y某4某
（2）①点P不在直线ME上；
②依题意可知：
P（t,t），N（t，t4t）
当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：
22SSPCDSPNC
112=1CDOD+1PNBC=32+t24tt2=t3t3
2222=（t）3222143321，且0＜t＜＜3时，S最大=224∵抛物线的开口方向：
向下，∴当t=
当t3或0时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得，S11S矩形ABCD=23=3
2221．4综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值
212、（2022德州）已知二次函数ya某b某c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作某轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；
当t为何值时，S有最大值或最小值．
yQOMAN某
（1）∵二次函数ya某b某c的图象经过点C（0，-3），∴c=-3．
将点A（3，0），B（2，-3）代入ya某b某c得
2209a3b3，2解得：
a=1，b=-2．∴y某2某3．34a2b3.（某1）4，所以对称轴为某=1．配方得：
y
（2）由题意可知：
BP=OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1．解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．②设对称轴与BC，某轴的交点分别为F，G．
∵对称轴某=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ．∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=S四边形ABPQ-SBPN，=S四边形ABFG-SBPN．由S四边形ABFG2SBPN19（BFAG）FG=．
2402240∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．∴0
13、（2022东阳）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线
OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿某轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。
求：
（1）C的坐标为▲；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；
并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。
（1）Ｃ（４，１）；
（2）当∠MDR＝45时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）
当∠DRM＝45时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）（3）Ｓ＝－
００
yDAPNOBHC某RM1２1２
ｔ＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；
（1分）Ｓ＝ｔ－２ｔ（ｔ＞４）223913当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，Ｓ＝32
499当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，Ｓ＝
82111当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝3，Ｓ＝
18
14、（2022恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y某b某c的图象与某轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，
/2
使四边形POPC为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；
若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
/
3bc0解：
（1）将B、C两点的坐标
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