普通高等学校招生全国统一考试全国大纲卷数学试题 文科解析版文档格式.docx
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y2
【解析】由原函数反解得x=,又原函数的值域为y≥0,所以函数y=2
x(x≥0)的反函数为
2
y=x(x≥0).
rr1
(3)设向量a,b满足|a|=|b|=1,a⋅b=-
则a+2b=()
(A)
(C)5(D)
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.
rrr
22
rrur21rr
【解析】|a+2b|
=|a|
+4a⋅b+4|b|
=1+4⨯(-
)+4=3,所以a+2b=
⎪
⎧x+y≤6
(4)若变量x,y满足约束条件⎨x-3y≤-2,则z=2x+3y的最小值为()
⎩
⎪x≥1
(A)17(B)14(C)5(D)3
【答案】C
【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.
【解析】作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线z=2x+3y过直线x=1与x-3y=-2的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为5.
(5)下面四个条件中,使a>
b成立的充分而不必要的条件是()
(A)a>b+1
【答案】A
a>b-1
(C)
a2>b2
(D)
a3>b3
【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.
【解析】即寻找命题P,使P⇒a>
b,且a>
b推不出P,逐项验证知可选A.
(6)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=
(A)8(B)7(C)6(D)5
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.
【解析】解法一S
得k=5.
k+2
-
Sk
=[(k+2)⨯1+(k+2)(k+1)⨯2]-[k⨯1+k(k-1)⨯2]=4k+4=24,解
解法二:
Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=[1+(k+1)⨯2]+(1+k⨯2)=4k+4=24,解得k=5.
(7)设函数f(x)=cosωx(ω>
0),将y=f(x)的图像向右平移图像重合,则ω的最小值等于
1
π
个单位长度后,所得的图像与原
3
(B)3(C)6(D)9
【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.
ππ
【解析】由题意将y=f(x)的图像向右平移
个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了
33
是此函数周期的整数倍,得2π⨯k=π(k∈Z),解得ω=6k,又ω>
0,令k=1,得ω=6.
ω3min
(8)已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=()
(A)2(B)
(D)1
【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.
【解析】因为α-l-β是直二面角,AC⊥l,∴AC⊥平面
β,∴AC⊥BC
∴BC=,又BD⊥l,∴CD=
(9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()(A)12种(B)24种(C)30种(D)36种
【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识,考察考生分析问题的能力.
【解析】第一步选出2人选修课程甲有C2=6种方法,第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有2⨯2种选法,根据分步计数原理,有6⨯4=24种选法.
(10)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f(-5)=()
(A)-
(B)-(C)1
44
【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.关键是把通过周期性和奇
偶性把自变量-转化到区间[0,1]上进行求值.
【解析】由f(x)是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:
f(-5)=f(-5+2)=f(-1)=-f
(1)=-2⨯1⨯(1-1)=-1
2222222
(11)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离C1C2=
(A)4(B)4
(C)8(D)8
【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.
【解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a>
0),则
a=,即a2-10a+17=0,所以由两点间的距离公式可求出
C1C2=
==8.
(12)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为
(A)7π(B)9π(C)11π(D)13π
【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.
【解析】如图所示,由圆M的面积为4π知球心O到圆M的距离
OM=23,在Rt∆OMN中,∠OMN=30︒,∴
ON=1OM=,故圆N的半径r=
的面积为S=πr2=13π.
=,∴圆N
第Ⅱ卷
1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码。
请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。
2第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在.试.题.卷.上.作.答.无.效.。
3第Ⅱ卷共l0小题,共90分。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
(注意:
在.试.卷.上.作.答.无.效.)
(13)(1-x)10的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为.
【答案】0
【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.
【解析】由T=Cr(-x)r=(-1)rCrxr得x的系数为-10,x9的系数为-C9
=-10,所以x的系数
r+1101010
与x9的系数之差为0.
3π
(14)已知α∈(π,),tanα=2,则cosα=.
【答案】-5
5
【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式.要注意角的范围,进而确定值的符号.
【解析】α∈(π,),tanα=2,则cosα=-.
25
(15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
【答案】
【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE与BC所成的角.
【解析】取A1B1的中点M连接EM,AM,AE,则∠AEM就是异面直线AE与BC所成的角。
在∆AEM
22+32-52
中,cos∠AEM==.
2⨯2⨯33
(16)已知F1、F2分别为双曲线C:
x2y2
=1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),
927
AM为∠F1AF2的平分线.则|AF2|=.
【答案】6
【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理,双曲线的第一定义和性质.
【解析】QAM为∠FAF的平分线,∴|AF2|=|MF2|=4=1∴|AF|=2|AF|
|AF1||MF1|82
又点A∈C,由双曲线的第一定义得|AF1|-|AF2|=2|AF2|-|AF2|=|AF2|=2a=6.
三.解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分l0分)(注意:
在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)
设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程,求出a1和q,然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。
【解析】设{an}的公比为q,由题设得
⎧
⎨6a
a1q=6
+aq=30
…………………………………3分
⎩11
⎧a1=3⎧a1=2
解得⎨q=2或⎨q=3,…………………………………6分
nn
当a1
⎩⎩
=3,q=2时,a=3⨯2n-1,S=3⨯(2n-1);
=2,q=3时,a
=2⨯3n-1,S
=3n-1
……………………………10分
(18)(本小题满分12分)(注意:
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinA+csinC-
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若A=750,b=2,求a,c.
2asinC=bsinB.
【思路点拨】第(I)问由正弦定理把正弦转化为边,然后再利用余弦定理即可解决。
(II)在(I)问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.
【解析】
(I)由正弦定理得a2+c2-2ac=b2…………………………3分
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.
故cosB=
2,因此B=45.…………………………………6分
(II)sinA=sin(30+45)
=sin30cos45+cos30sin45
=2+6
…………………………………8分
sinA2+6
故a=b⨯==1+
sinB
sinC
sin60
c=b⨯=2⨯=
.…………………………………12分
sinBsin45
(19)(本小题满分l2分)(注意:
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k次的概率,考查考生分析问题、解决问题的能力.
【解析】记A表示事件:
该地的1位车主购买甲种保险:
B表示事件:
该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。
C表示事件:
该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;
D表示事件:
该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买;
E表示事件:
该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.
(I)P(A)=0.5,
P(B)=0.3,C=A+B
……………………………3分
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8
……………………………6分
(II)D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,……………………………9分
P(E)=C2⨯0.2⨯0.82=0.384.……………………………12分
(20)(本小题满分l2分)(注意:
如图,四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面
SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=1.(Ⅰ)证明:
SD⊥平面SABS
(Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小。
【分析】第(I)问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这
个条件,找出AB的中点E,连结SE,DE,就做出了解决这个C
问题的关键辅助线。
(II)本题直接找线面角不易找出,要找到与AB平行的其它线
B
进行转移求解。
A
【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的
计算,注重与平面几何的综合.
解法一:
(Ⅰ)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2,连结SE,则
SE⊥AB,SE=.
又SD=1,故ED2=SE2+SD2,
所以∠DSE为直角.………………3分
由AB⊥DE,AB⊥SE,DEISE=E,得AB⊥平面
SDE,所以AB⊥SD.
SD与两条相交直线AB、SE都垂直.所以SD⊥平面
S
SAB.………………6分
另解:
由已知易求得SD=1,AD=5,SA=2,于是
C
SA2+SD2=AD2.可知SD⊥SA,同理可得SD⊥SB,又SAISB=S.所以SD⊥平面SAB.………………6分(Ⅱ)由AB⊥平面SDE知,平面ABCD⊥平面SDE.
作SF⊥DE,垂足为F,则SF⊥平面
SD⨯SEAEB
ABCD,SF==.
DE2
作FG⊥BC,垂足为G,则FG=DC=1.连结SG.则SG⊥BC.
又BC⊥FG,SGIFG=G,故BC⊥平面SFG,平面SBC⊥平面SFG.……9分
作FH⊥SG,H为垂足,则FH⊥平面SBC.
SF⨯FG
FH==,即F到平面SBC的距离为.
SG7
由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距离d也为.
7
设AB与平面SBC所成的角为α,则sinα=d=
EB
α=arcsin
21
.……12分
解法二:
以C为原点,射线CD为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0).
又设S(x,y,z),则x>
0,y>
0,z>
0.
(Ⅰ)AS=(x-2,y-2,z),BS=(x,y-2,z),DS=(x-1,y,z),由|AS|=|BS|得
=,
故x=1.
由|DS|=1得y2+z2=1,
又由|BS|=2得x2+(y-2)2+z2=4,
即y2+z2-4y+1=0,故y=1,z=3.………………3分
1uur
33uur
33uur13
于是S(1,,),AS=(-1,-,),BS=(1,-,),DS=(0,,),
22222222
DS⋅AS=0,DS⋅BS=0.
故DS⊥AS,DS⊥BS,又ASIBS=S,
所以SD⊥平面SAB.………………6分
(Ⅱ)设平面SBC的法向量a=(m,n,p),则a⊥BS,a⊥CB,a⋅BS=0,a⋅CB=0.
uur
又BS=(1,-
3uur
),CB=(0,2,0),
⎧m-3n+3p=0,
故⎨22
………………9分
⎪⎩2n=0
取p=2得a=(-
uurr
3,0,2),又AB=(-2,0,0),
AB⋅a
cos<
AB,a>
=uurr=.
|AB|⋅|a|7
故AB与平面SBC所成的角为arcsin
.………………12分
(21)(本小题满分l2分)(注意:
已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R)
(Ⅰ)证明:
曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2)
(Ⅱ)若f(x)在x=x0处取得最小值,x0∈(1,3)求a的取值范围.
【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义,求出切线的斜率,然后易写出切线方程.(II)第(II)问是含参问题,关键是抓住方程f'
(x)=0的判别式进行分类讨论.
解:
(I)f'
(x)=3x2+6ax+3-6a
.………………2分
由f(0)=12a-4,f'
(0)=3-6a得曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为
y=(3-6a)x+12a-4
由此知曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2).………………6分
(II)由f'
(x)=0得x2+2ax-1-2a=0.
(i)当--1≤a≤2-1时,f(x)没有极小值;
.………………8分
(ii)当a>
-1或a<
--1时,由f'
(x)=0得
x=-a-a2+2a-1,x=-a+
12
故x0=x2.由题设知1<
-a+
当a>
-1时,不等式1<
当a<
--1时,解不等式1<
<
3,
3无解;
a2+2a-1<
3得-5<
a<
-
2-1
综合(i)(ii)得a的取值范围是(-5,--1)
..………………12分
(22)(本小题满分l2分)(注意:
2y2
已知O为坐标原点,F为椭圆C:
x+=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-的
直线l与C交与A、B两点,点P满足OA+OB+OP=0.
(I)证明:
点P在C上;
(II)设点P关于点O的对称点为Q,证明:
A、P、B、Q四点在同一圆上.
【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
【分析】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路,注意把
OA+OB+OP=0.用坐标表示后求出P点的坐标,然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标代入椭圆方
程验证即可证明点P在C上;
(II)此问题证明有两种思路:
思路一:
关键是证明∠APB,∠AQB互补.
通过证明这两个角的正切值互补即可,再求正切值时要注意利用到角公式.
思路二:
根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N,然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.
(I)F(0,1),l的方程为y=-
2x+1,代入x+=1并化简得
4x2-22x-1=0.…………………………2分设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),
则x1=
2-6,x=
2+6,
x+x=2,y+y=-
2(x+x)+2=1,
1221212
由题意得x3=-(x1+x2)=-
2,y3=-(y1+y2)=-1,
所以点P的坐标为(-
2,-1).
经验证点P的坐标(-
-1)满足