学年度八年级数学上册第13章轴对称134课题学习最短路径问题同步练习新版新人教版0810213.docx

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学年度八年级数学上册第13章轴对称134课题学习最短路径问题同步练习新版新人教版0810213

13.4课题学习最短路径问题

学校：

___________姓名：

___________班级：

___________

一．选择题（共10小题）

1．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（　　）

A．A点处B．D点处

C．AD的中点处D．△ABC三条高的交点处

2．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（　　）

A．750米B．1000米C．1500米D．2000米

3．在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（　　）

A．B．

C．D．

4．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP+CP的最小值为（　　）

A．2B．3C．4D．5

5．在直角坐标系内，已知A、B两点的坐标分别为A（﹣1，1）、B（3，3），若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是（　　）

A．（0，0）B．（﹣）C．（﹣，0）D．（0，﹣）

6．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）

A．B．

C．D．

7．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）

A．6B．12C．16D．20

8．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）

A．7.5B．5C．4D．不能确定

9．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是（　　）

A．3B．4C．5D．6

10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．10B．11C．12D．13

二．填空题（共6小题）

11．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为　　．

12．在平面直角坐标系中，已知A（1，1）B（2，3），C点在x轴上且BC﹣AC最大，则C点的坐标为　　．

13．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为　　．

14．在锐角△ABC中，BC=8，∠ABC=30°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是　　．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，4），欲在x轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为　　．

16．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=130°，∠D=∠B=90°，点M，N分别是CD，BC上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为　　．

三．解答题（共4小题）

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．

（1）求证：

△ADE≌△CDB；

（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．

18．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，，则问题即转化成求AC+CE的最小值．

（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于　　，此时x=　　；

（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．

19．近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要从燃气站点A向B，C两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点A到B村距离约3千米，到C村距离约4千米，B，C两村间距离约5千米．下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图．

请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短．

20．

（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．

（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．

（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．

解：

连接BP，

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴PB=PC，

△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，

当B、E、E在同一直线上时，

△PCE的周长最小，

∵BE为中线，

∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，

故选：

D．

2．

解：

作A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于M，

∴CA′=AC，

∵AC=DB，

∴CA′=BD，

由分析可知，点M为饮水处，

∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°，

又∵∠A′MC=∠BMD，

在△CA′M和△DBM中，

，

∴△CA′M≌△DBM（AAS），

∴A′M=BM，CM=DM，

即M为CD中点，

∴AM=BM=A′M=500，

所以最短距离为2AM=2×500=1000米，

故选：

B．

3．

解：

若在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，

则可以过点A作关于y轴的对称点，再连接B和作出的对称点连线和y轴的交点即为所求，

由给出的四个选项可知选项C满足条件．

故选：

C．

4．

解：

作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴点E关于AD的对应点为点F，

∴CF就是EP+CP的最小值．

∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，

∴F是AB的中点，

∴CF是△ABC的中线，

∴CF=AD=3，

即EP+CP的最小值为3，

故选：

B．

5．

解：

如图

因为点B的坐标（3，3）点A′的坐标（﹣1，﹣1），所以两点连线相交于原点（0，0），即为点M．

故选：

A．

6．

解：

作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．

根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．

故选：

D．

7．

解：

设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM，

作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN，

连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形，

∵OA是PE的垂直平分线，

∴EQ=QP；

同理，OB是PF的垂直平分线，

∴FR=RP，

∴△PQR的周长=EF，

∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，

∴△EOF是正三角形，

∴EF=12，即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．

故选：

B．

8．

解：

过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，

∵等边△ABC中，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），

∴C和B关于直线AD对称，

∴CF=BF，

即BF+EF=CF+EF=CE，

∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

在△ADB和△CEB中，

∵，

∴△ADB≌△CEB（AAS），

∴CE=AD=5，

即BF+EF=5，

故选：

B．

9．

解：

连接CF，

∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线

∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC

∴EB=EC，

当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，

∵等边△ABC中，F是AB边的中点，

∴AD=CF=6，

∴EF+BE的最小值为6，

故选：

D．

10．

解：

连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=18，解得AD=9，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴CM=AM，

∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，

∵AM+DM≥AD，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．

故选：

B．

二．填空题（共6小题）

11．

解：

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，连接OP，

则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，

MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长的最小值=P1P2

∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，

∴△OP1P2是等边三角形．

△PMN的周长=P1P2，

∴P1P2=OP1=OP2=OP=8．

故答案为：

8．

12．

解：

如图，∵BC﹣AC≤AB，

∴当A、B、C共线时，BC﹣AC的值最大，

设直线AB的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴直线AB的解析式为y=2x﹣1，

∵直线AB与x轴的交点坐标为（，0），

∴点C坐标为（，0）．

13．

解：

过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，

∵等边△ABC中，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），

∴C和B关于直线AD对称，

∴CF=BF，

即BF+EF=CF+EF=CE，

∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

在△ADB和△CEB中，

，

∴△ADB≌△CEB（AAS），

∴CE=AD=5，

即BF+EF=5．

故答案为：

5．

14．

解：

过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，

∵BD平分∠ABC，

∴M′E=M′N′，

∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，

则CE即为CM+MN的最小值，

∵BC=8，∠ABC=30°，

∴CE=BC•sin30°=8×=4．

∴CM+MN的最小值是4．

故答案为：

4．

15．

解：

∵点