数的整除特征Word文档格式.docx

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613－9×

2＝595，59－5×

2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．

如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。

此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。

如：

283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．

判断383357能不能被13整除．

这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：

383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．

方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。

例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。

对32669可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49当然被7整除，所以452669能被7整除。

（18）能被11整除的数的特征：

除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之外，还可以把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数（包括0）,那么,原来这个数就一定能被11整除。

例如：

判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12 

，23-12=11因此,491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！

过程唯一不同的是：

倍数不是2而是1。

（19）能被13整除的数的特征：

除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止，重复此过程。

判断1284322能不能被13整除。

128432+2×

4=128440，12844+0×

4=12844，1284+4×

4=1300，1300÷

13=100所以，1284322能被13整除。

（20）能被17整除的数的特征：

把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

判断1675282能不能被17整除。

167528-2×

5=167518

16751-8×

5=16711

1671-1×

5=1666

166-6×

5=136

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

6×

5=30，现在个位×

5=30>

剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷

17=1；

所以1675282能被17整除。

若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（21）能被19整除的数的特征：

把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。

若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（22）被4或25整除的数的特征

如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除。

4675＝46×

100＋75

由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．

又如：

832＝8×

100＋32

由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．

（23）被8整除的数的特征

如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．

9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。

（24）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

（25）被23或29整除的数的特征：

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23（或29）整除

重点·

难点

数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。

要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。

学法指导

能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。

我们可以综合推广成一条：

末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；

反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。

例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。

学习这一讲知识要学会举一反三。

经典例题

[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。

思路剖析

这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：

（1）各位数字和是3的奇数；

（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；

（3）末位数为0或5。

按此条件很容易找到这个六位数。

解答

不妨设补上三个数字后的位数为，由于这个六位数被4、5整除，因为被4整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。

又因，所以3|（5+6+8+a+b+0），所以：

当b=2时，3|（5+6+8+a+2），a可为0、3、6、9；

当b=4时，3|（5+6+8+a+4），a可为1、4、7；

当b=6时，3|（5+6+8+a+6），a可为2、5、8；

当b=8时，3|（5+6+8+a+8），a可为0、3、6、9；

当b=0时，3|（5+6+8+a+0），a可为2、5、8。

为了使六位数尽可能地小，则a应取0、b应取2、c应取0。

故能被3、4、5整除的最小六位数应为568020。

[例2]四位数能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少？

能同时被2、3、5整除，所以满足以下三个条件：

个位数字B在0、2、4、6、8之中，各位数字之和是3的倍数，个位数B在0、5之中。

第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位数字A。

要使能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0；

又要使能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被3整除。

可以看出，当A取0、3、6、9时，各位数字之和9+A可以被3整除。

所求的四位数是8010、8310、8610、8910。

[例3]有两堆糖果，第一堆有513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余？

本题实际上是判断513与633能否被9整除。

513各位上数字之和是5+1+3=9，能被9整除；

633各位上数字的和是6+3+3=12，不能被9整除。

所以，第一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给9个小朋友还剩余3块。

[例4]有一个四位数是9的倍数，求A的值。

四位数是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是9的倍数。

（1）当和是9时，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=2．5（舍）；

（2）当和是18时，3+A+A+1=18，即2A=14，A=7；

（3）当和是27时，3+A+A+1=27，即2A=23，可见A=11．5>

10（舍）。

所以，A的值是7。

[例5]一位马虎的采购员买了72只桶，洗衣时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：

72只桶，共□67．9□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？

用整除性质：

一个数能被两个数和的积整除，那么这个数就能同时被这两个数整除。

例如，整数a能被15整除，那么这个数一定能同时被3和5整除。

这种方法是分析整数问题的基本方法。

将□67．9□元看做□679□分，这是72只桶的总价，因为单价×

72=□679□，所以□679□能被72整除。

72=8×

9，所以□679□应该能被8和9整除。

如果□679□能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79□，容易算出□内是2。

因为□6792能被9整除，所以其各数之和能被9整除。

□+6+7+9+2=□+24，显然，□中的数只能是3。

所以这笔账是367．92元。

答：

一共用了367．92元。

[例6]在□里填上适当的数字，使得六位数□678□□能被8、9和25整除。

☆解法一：

根据8、9和25整除的数的特征很容易解出此题。

这个六位数能被25整除，根据能被25整除的数的特征知，六位数的末两位数可能是00、25、50、75；

该数又能被8整除，所以这个六位数的末三位数应能被8整除，而在800、825、850、875中只有800满足条件，所以这个六位数的个位、十位都是0；

又因为这个六位数能被9整除，所以这个六位数的各位数字之和（不妨设首位为x）为：

x+6+7+8=21+x

能被9整除，可推出x只能为6，所以这个六位数为667800。

☆解法二：

根据数的整除性质（4）：

如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

因为8×

25=200，而且8与25互质，根据整除的性质（4），所求的六位数能被200整除，所以个位、十位都应该是0。

然后由这六位数能被9整除，和解法一一样的方法可知这个六位数为667800。

[例7]有一水果摊一天进货6筐，分别装着香蕉和苹果，重量为8千克、9千克、16千克、19千克、23千克和27千克。

头一天卖出一筐苹果，在剩下的5筐中，香蕉的重量是苹果重量的2倍。

问卖掉的那筐重多少千克？

剩下的5筐，哪几筐是苹果，哪几筐是香蕉？

根据已知条件：

剩下的5筐中香蕉的重量是苹果的2倍。

可推出：

剩下的5筐中香蕉重量与苹果重量之和是3的倍数，即能被3整除。

因为6筐水果的总重量：

8+9+16+19+23+27=102（千克），根据题意，剩下的5筐中香蕉与苹果总重量之和是3的倍数，那么卖出的一筐苹果也必须是3的倍数。

从6筐水果数中可知有两种情况，卖出一筐苹果可能是9千克或是27千克。

如果卖出的一筐苹果是9千克，那么102－9=93（千克）。

根据剩下的5筐中香蕉的重量与苹果总重量的2倍，则苹果为93÷

（1+2）=31（千克）。

从剩下的8、16、19、23和27中可知8千克和23千克为苹果（8+23=31）。

最后剩下16千克、19千克和27千克这三筐为香蕉。

如果卖出的一筐苹果是27千克，同理，102－27=75（千克），苹果为75÷

（1+2）=25（千克），即16千克与9千克这两筐。

香蕉便是最后剩下的8千克、19千克和23千克这三筐。

所以本题有两种答案：

如果卖出的那筐是9千克苹果，则剩下的5筐中8千克、23千克两筐为苹果，16千克、19千克和27千克三筐为香蕉。

如果卖出的那筐是27千克苹果，则剩下的5筐中9千克、16千克两筐为苹果，8千克、19千克、23千克三筐为香蕉。

[例8]把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一个多位数12345678910111213…1994199519961997，试求这个多位数除以9的余数。

根据一个数能被9整除的特征可以知道：

一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数。

所以上面求多位数除以9的余数问题，便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题。

因为1至9这9个数字之和为45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99这十个数的各位数位上的数字和分别为：

45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90。

所以，1至99这99个自然数各位数字之和为：

45+55+65+…+125+135=900

因为1至99这99个自然数各数位上数字之和为900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999这些100个数各位数位上的数字和分别为：

900+100，900+200，…，900+800，900+900。

所以，1至999这999个自然数各位上数字之和为：

900+1000+…+1700+1800=13500

因为1至999这999个自然数各位上数字和为13500，所以1000至1999这1000个自然数各数位上的数字和为13500+1000=14500，这样1至1999这1999个自然数各数位的数字和为：

13500+14500=28000。

1998、1999这两个数各数位上的数字和为：

27、28。

28000－27－28=27945，9能整除27945，所以多位数除以9余0

将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配成如下的100组：

（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），（5，1994），（6，1993）（7，1992），（8，1991）（9，1990），（10，1989），…，（994，1005），（995，1004），（996，1003），（997，1002），（998，1001）（999，1000），以上各组两数之和为1999，并且每一组数相加时都不进位，1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：

（1+9+9+9）×

1000=28000

1998、1999这两个数各位数上的数字之和为：

28000―27―28=27945，9能整除27945，所以多位数除以9余0。

☆解法三：

因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，一定能被9整除。

而从1至1997一共有1997个数，1997÷

9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上的数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=180，180能被9整除，所以多位数除以9余0。

点津

为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？

下面解释一下。

因为任意连续的9个自然数的各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2…，7，8这9个数，而这9个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数一定能被9整除。

发散思维训练

1．这个四位数，同时能被2、3、4、5、9整除，求此四位数。

2．55块糖分给甲、乙、丙三人，甲分到糖的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分几块？

3．已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？

4．老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□13．7□元，回校后发现有两个数字看不清了。

请你补上这两个数字（其中□为看不清的数字）。

5．已知45整除，求所有满足条件的六位数。

参考答案

1．解：

因为，所以b=0或5。

又因为，故b=0，即原四位数是，只需确定a。

因为，所以9|（4+5+a），则a=0或9。

又因为，所以a=0。

所以，满足条件的四位数是4500。

2．解：

由题目条件可知，甲、乙=人分到的糖的块数和是3的倍数。

设丙分到x块糖，那么x＞10。

当x=11或x=12时，55-x不能被3整除，丙不可能有11块或12块糖。

当x=13时，55-13=42，42÷

3=14。

这时甲分到28块糖，乙分到14块糖。

当x＞13时，显然不符合题意。

甲、乙、丙各分到糖28块、14块、13块。

3．解：

因为7018和1392分别是4205与2813的和与差，由数的整除性质

（2）：

如果两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除，所以7018和1392都能被29整除。

1392和7018都是29的倍数。

4．解：

首先将□13．7□元化为分，这样总钱数就是□137□分。

由于每本书价格相同，所以72|□137□。

但是72=8×

9，所以8和9都应整除□137□。

由于8整除□137□，所以8整除37□。

所以，当37□=376时，才有8|376。

所以原数为□1376。

又由于9整除□1376，所以其数字和□+l+3+7+6必为9的倍数。

即9整除（□+17）。

而□只能是l到9中的某个数字，所以□只能是l。

综上所述，原数是11376分，即113．76元。

5．解：

因为45=5×

9，所以根据整除性质（5）：

若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除，可知：

5整除且9整除。

所以y可取0或5。

当y=0时，根据9整除及数的整除特征可知x=5。

当y=5时，根据9整除及数的整除特征可知x=9。

综上所述，满足条件的六位数是519930或919935。

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