中考数学压轴题一与解答Word下载.docx
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y=2x,∵A点是拋物线与x轴的一个交点,可求得A点的
坐标为(10,0),设P点的坐标为(a,0),则E点的坐标为
(a,2a),根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。
可求
B
E
C
得点C的坐标为(3a,2a),由C点在拋物线上,得
2a=
11
4242
(3a)
3a,即
9
a
a=0,解得a1=
22
,a2=0
OP
图1
A
(舍去),∴OP=
。
依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2xb,由点A(10,0),
点B(2,4),求得直线AB的解析式为y=
x5,当P点运动到t秒时,两个等腰
直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况:
第一种情况:
CD与NQ在同一条直线上。
如图2所示。
可证△DPQ为等腰直角三
角形。
此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。
∴PQ=DP=4t,
∴t4t2t=10,∴t=
10
7
第二种情况:
PC与MN在同一条直线上。
如图3所示。
可证△PQM为等腰直角三
此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。
∴OQ=102t,∵F点在
直线AB上,∴FQ=t,∴MQ=2t,∴PQ=MQ=CQ=2t,∴t2t2t=10,∴t=2。
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第三种情况:
点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4所示。
此时OP、
AQ的长可依次表示为t、2t个单位。
∴t2t=10,∴t=
3
综上,符合题意的
t值分别为
,2,
D
ME
O
BC
N
P
M
F
Q
Ax
(C)
(E)
PQ
OQ(P)
图2图3图4
2、(2010年北京市)
25.问题:
已知△ABC中,BAC=2ACB,点D是△ABC内的一点,且AD=CD,BD=BA。
探究DBC与ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明。
(1)当BAC=90时,依问题中的条件补全右图。
B
观察图形,AB与AC的数量关系为;
当推出DAC=15时,可进一步推出DBC的度数为;
可得到DBC与ABC度数的比值为;
CA
(2)当BAC90时,请你画出图形,研究DBC与ABC度数的比值
是否与
(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明。
【解答】B
25.解:
(1)相等;
15;
1:
3。
(2)猜想:
DBC与ABC度数的比值与
(1)中结论相同。
证明:
如图2,作KCA=BAC,过B点作BK//AC交CK于点K,
A图1
连结DK。
∵BAC90,∴四边形ABKC是等腰梯形,
∴CK=AB,∵DC=DA,∴DCA=DAC,∵KCA=BAC,
∴KCD=3,∴△KCD△BAD,∴2=4,KD=BD,
∴KD=BD=BA=KC。
∵BK//AC,∴ACB=6,
∵KCA=2ACB,∴5=ACB,∴5=6,∴KC=KB,
K
6
12
∴KD=BD=KB,∴KBD=60,∵ACB=6=601,
∴BAC=2ACB=12021,
5D
3
∵1(601)(12021)2=180,∴2=21,
图2
∴DBC与ABC度数的比值为1:
第2页共26页
3、(2010年福建省德化县)25、(12分)在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°
将△ABC绕点B顺时针旋转角α
(0<
α<
120°
),得△A1BC1,交AC于点E,AC分别交A1C1、BC于D、F两点.
(1)如图①,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
(2)如图②,当=30°
时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在
(2)的情况下,求ED的长.
C
A1
DF
C1
A1
A图①
图②
25、
(1)
EAFC;
提示证明ABEC1BF⋯⋯⋯⋯⋯3分
(2)①菱形(证明略)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
(3)过点E作EG⊥AB,则AG=BG=1
在RtAEG中,123
AG
AE
o
cosAcos303
由
(2)知AD=AB=2∴223
EDADAE⋯⋯⋯⋯⋯12分
4、(2010年福建省德化县)26、(12分)如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M
的坐标为(2,4);
矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时
一动点P也以相.同.的.速.度.从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直
线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当t=
5时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?
若存在,求出这个最大
值;
若不存在,请说明理由.
·
DO(A)Ex
DOAE
图2
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26、解:
(1)yx24x⋯⋯⋯⋯⋯3分
(2)①点P不在直线ME上⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
②依题意可知:
P(t,t),N(t,t4t
)
当0t3时,以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:
1+1PNBC=32
SSPCDS=CDOD
PNC
22
2t
t=t33
+4tt2
=
(t
21
∵抛物线的开口方向:
向下,∴当t=
,且3
0t时,S最大=
当t3或0时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形
依题意可得,
SS矩形
2
ABCD
=23
=3
综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值
.⋯⋯⋯12分
5、(2010年福建省福州市)22.(满分14分)
如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线y2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA=5。
若抛物线
yxbxc过点O、A两点。
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若A点关于直线y2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)如图2,在
(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆。
过原点O作O1的切线OP,P为切点(P
与点C不重合),抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与O1相切?
若存在,求出点Q
的横坐标;
若不存在,请说明理由。
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6、(2010年福建省晋江市)25(.13分)已知:
如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,OC3,BC2,
取AB的中点M,连结MC,把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO.
(1)试直接写出点D的坐标;
(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQx
轴于点Q,连结OP.
①若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似,试求出点P的坐标;
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得TOTB的值最大.
M
OCx
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25.(本小题13分)
解:
(1)依题意得:
D,2;
⋯⋯⋯(3分)
(2)①∵OC3,BC2,∴B3,2.
DB
∵抛物线经过原点,
∴设抛物线的解析式为a0yaxbx
又抛物线经过点B3,2与点,2
OECx
T
∴
9a
9
3b
b
2,
解得:
422
∴抛物线的解析式为yxx
93
∵点P在抛物线上,
.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)
42
∴设点Px,xx
.
PQ
1)若PQO∽DAO,则
DA
QO
AO
,
x
,解得:
0
x(舍去)或
51
x,
16
∴点
51153
P,.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7分)
1664
OQ
2)若OQP∽DAO,则
2x
x10(舍去)或
∴点P,6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)
②存在点T,使得TOTB的值最大.
抛物线yxx
的对称轴为直线
x,设抛物线与x轴的另一个交点为E,则点
第6页共26页
E,0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)
∵点O、点E关于直线
x对称,
∴TOTE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(11分)
要使得TOTB的值最大,即是使得TETB的值最大,
根据三角形两边之差小于第三边可知,当T、E、B三点在同一直线上时,TETB的值最
大.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)
设过B、E两点的直线解析式为ykxbk0,
3k
k
∴直线BE的解析式为2
yx.
当
343
x时,y21.
434
∴存在一点T,1使得TOTB最大.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(13分)
7、(2010年福建省晋江市)26.(13分)如图,在等边ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在
直.线.AM上时,以CD为一边且在CD的下方作等边CDE,连结BE.
(1)填空:
ACB______度;
AD
(2)当点D在线.段.AM上(点D不运动到点A)时,试求出
BE
的值;
(3)若AB8,以点C为圆心,以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点,在点D运动的过
程中(点D与点A重合除外),试求PQ的长.
AAD
BM
BCBC
备用图
(1)
第7页共26页
备用图
(2)
26.(本小题13分)
(1)60;
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
(2)∵ABC与DEC都是等边三角形
∴ACBC,CDCE,ACBDCE60
∴ACDDCBDCBBCE
∴ACDBCE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)
∴ACD≌BCESAS
∴ADBE,∴1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7分)
(3)①当点D在线段AM上(不与点A重合)时,由
(2)可知
ACD≌BCE,则CBECAD30,作CHBE于
H
点H,则PQ2HQ,连结CQ,则CQ5.
Q
在RtCBH中,CBH30,BCAB8,则
CHBCsin3084.
在RtCHQ中,由勾股定理得:
2CH222
HQCQ543,则
PQ2HQ6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)
②当点D在线段AM的延长线上时,∵ABC与
DQ
DEC都是等边三角形
∴ACBDCBDCBDCE
∴ACDBCE
∴CBECAD30,同理可得:
PQ6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(11分)
③当点D在线段MA的延长线上时,
∵ABC与DEC都是等边三角形
∴ACDACEBCEACE60
∴CBECAD
∵CAM30
∴CBECAD150
P第8页共26页
∴CBQ30.
同理可得:
PQ6.
综上,PQ的长是6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(13分)
8、(2010年福建省龙岩市)24.(13分)
在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(10,0),(2,4).
(1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的解析式;
(2)若P为抛物线上异于C的点,且△OAP是直角三角形,请直接写出点P的坐标;
(3)若抛物线顶点为D,对称轴交x轴于点M,探究:
抛物线对称轴上是否存在异于D的
点Q,使△AQD是等腰三角形,若存在,请求出点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
则结合图形,可求得满足条件的Q点坐标为(5,
54125
),(5,
记为Q2(5,
),Q3(5,
);
⋯⋯⋯⋯11分
若QDQA
则设Q(5,y),由
25
yy
解得y=
8
所以满足条件的Q点坐标为(5,
),记为Q4(5,
)⋯12分
第9页共26页
所以,满足条件的点Q有Q1(5,
),
541-25
Q(5,)
541+25
Q(5,-)
Q(5,2-)
⋯⋯13分
9、(2010年福建省龙岩市)25.(14分)
如图,将含30°
角的直角三角板ABC(∠A=30°
)绕其直角顶点C逆时针旋转角(090),
得到Rt△A'
B'
C,A'
C与AB交于点D,过点D作DE∥A'
B'
交CB'
于
点E,连结BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC=1,AD=x,△BDE的
面积为S.
(1)当30时,求x的值.
(2)求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)以点E为圆心,BE为半径作⊙E,当S=
系,并求相应的tan值.
S时,判断⊙E与A'
C的位置关
ABC
第10页共26