集合概念及其运算Word文档下载推荐.docx

集合概念及其运算Word文档下载推荐.docx

《集合概念及其运算Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合概念及其运算Word文档下载推荐.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

）

C．（0，＋∞）D．（－∞，0]∪[

，＋∞）

[解析]　本题考查函数值域求解及补集运算．

∵U＝{y|y＝log2x，x>

1}＝（0，＋∞），

P＝{y|y＝

2}＝（0，

），

∴∁UP＝[

，＋∞）．

3．（文）已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>

2}，B＝{x|x2－6x＋8<

0}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A．[－1,4）B．（2,3）

C．（2,3]D．（－1,4）

[解析]　解法1：

A＝{x|x>

3或x<

－1}，B＝{x|2<

x<

4}，∁UA＝{x|－1≤x≤3}，∴（∁UA）∩B＝（2,3]，故选C.

解法2：

验证排除法，取x＝0，x∉B，故排除A、D.取x＝3,3∉A,3∈B.∴3∈（∁UA）∩B.排除B.

（理）已知函数f（x）＝

的定义域为M，g（x）＝ln（1＋x）的定义域为N，则M∩N等于（　　）

A．{x|x>

－1}B．{x|－1<

1}

C．{x|x<

1}D．∅

[答案]　B

[解析]　M＝{x|x<

1}，N＝{x|x>

－1}，

∴M∩N＝{x|－1<

1}．

4．已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝（　　）

A．{（1,1），（－1,1）}B．{1}

C．[0,1]D．[0，

]

[答案]　D

[解析]　∵M＝[0，＋∞），N＝[－

，

]，

∴M∩N＝[0，

]，故选D.

[点评]　本题特别易错的地方是将数集误认为点集．

5．（文）（2011·

广东理，2）已知集合A＝{（x，y）|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

[解析]　本题考查集合的概念、集合交集的基本运算．可采用数形结合方法直接求解．集合A中点的集合是单位圆，B中点的集合是直线y＝x，A∩B中元素个数，即判断直线y＝x与单位圆有几个公共点，显然有2个公共点，故A∩B中有2个元素．选C.

天津文，4）设集合A＝{x∈R|x－2>

0}，B＝{x∈R|x<

0}，C＝{x∈R|x（x－2）>

0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　本题考查了集合的运算与逻辑语言的充分必要条件的运用．

∵A＝{x∈R|x－2>

0}

∴A∪B＝{x∈R|x<

0或x>

2}

C＝{x|x（x－2）>

0}＝{x|x<

2}，

∴A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充要条件．

6．（文）若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有（　　）

A．A⊆CB．C⊆A

C．A≠CD．A＝∅

[解析]　考查集合的基本概念及运算．

∵B∩C⊆B⊆A∪B，A∪B＝B∩C⊆B，

∴A∪B＝B，B∩C＝B，∴A⊆B，B⊆C，∴A⊆C，选A.

陕西理，7）设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－

|<

，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（　　）

A．（0,1）B．（0,1]

C．[0,1）D．[0,1]

[解析]　本小题考查三角函数的倍角公式、值域及复数的模．

y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，∴0≤y≤1.

|x－

|＝|x＋i|＝

<

.

∴x2<

1，∴－1<

1，∴M∩N＝[0,1）．

二、填空题

7．A＝{（x，y）|x2＝y2}，B＝{（x，y）|x＝y2}，则A∩B＝______.

[答案]　{（0,0），（1,1），（1，－1）}．

[解析]　A∩B＝

＝{（0,0），（1,1），（1，－1）}．

8．已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．

[答案]　（2,3）

[解析]　B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.

又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.

∵A∩B＝∅，∴a＋1<

4且a－1>

1，∴2<

a<

3.

三、解答题

9．已知集合A＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．

[分析]　由A∪B＝B，可以得出A⊆B，

而A⊆B中含有特例，A＝∅，应注意．

[解析]　由x2＋4x＝0得：

B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，

（1）若A＝∅，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，得a＜－1.

（2）若A≠∅，则0∈A或－4∈A

当0∈A时，得a＝±

1；

当－4∈A，得a＝1或a＝7；

但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．

故由

（1）

（2）得实数a的取值范围是：

a≤－1或a＝1.

江西理，2）若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|

≤0}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－1≤x<

0}B．{x|0<

x≤1}

C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}

[解析]　本题主要考查不等式的解法与集合的运算．

A＝{x|－1≤2x＋1≤3}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|

≤0}＝{x|0<

x≤2}，A∩B＝{x|0<

x≤1}，故选B.

（理）P＝{α|α＝（－1,1）＋m（1,2），m∈R}，Q＝{β|β＝（1，－2）＋n（2,3），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝（　　）

A．{1，－2}B．{（－13，－23）}

C．{（1，－2）}D．{（－23，－13）}

[解析]　α＝（m－1,2m＋1），β＝（2n＋1,3n－2），

令α＝β得，

　∴

∴P∩Q＝{（－13，－23）}．

2．（文）设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：

A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉（A∩B）}，则（A*B）*A等于（　　）

A．AB．B

C．（∁UA）∩BD．A∩（∁UB）

[分析]　本题考查集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的部分，再画出（A*B）*A表示的部分．

[解析]　画一个一般情况的韦恩图，如图所示，由题目的规定，可知（A*B）*A表示集合B.

（理）（2012·

济南高三期中）设集合S＝{x||x－2|>

3}，T＝{x|a<

a＋8}，S∪T＝R，则a的取值范围是（　　）

A．－3<

－1B．－3≤a≤－1

C．a≤－3或a≥－1D．a<

－3或a>

－1

[解析]　S＝{x|x>

5或x<

∵S∪T＝R，∴

，∴－3<

－1，故选A.

3．（2011·

天津文，9）已知集合A＝{x∈R||x－1|<

2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．

[答案]　3

[解析]　本题考查了简单绝对值不等式的解法与集合的运算．用列举法将A∩Z中的元素列举出来相加即可．

A＝{x∈R||x－1|<

2}＝{x∈R|－1<

3}

∴A∩Z＝{0,1,2}．∴A∩Z的元素的和为3.

4．（文）设全集U＝A∪B＝{x∈N＋|lgx<

1}，若A∩∁UB＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.

[答案]　{2,4,6,8}

[解析]　A∪B＝{x∈N＋|lgx<

1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩∁UB＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．

河南模拟）设S为满足下列条件的实数构成的非空集合：

（1）1∈S；

（2）若a∈S，则

∈S，现给出下列命题：

①0∈S；

②若2∈S，则

∈S；

③集合S＝{－1，

，1,2}是符合条件的一个集合；

④集合S中至少有4个元素，则正确结论的序号是________．

[答案]　②③④

[解析]　因为

∈S，且

不可能为零，故①不正确；

若2∈S，则－1∈S，则

∈S，故②正确；

易知集合S＝{－1，

，1,2}是符合条件的含有元素最少的集合，所以集合S中至少有4个元素，故③④正确．

5．（2012·

梅州模拟）设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a的值．

[解析]　∵A∩B＝{9}，∴9∈A.

（1）若2a－1＝9，则a＝5，此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，A∩B＝{9，－4}，与已知矛盾，舍去．

（2）若a2＝9，则a＝±

3.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，B中有两个元素均为－2，与集合元素的互异性相矛盾，应舍去；

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a＝－3.

6．（文）（2012·

广东联考）设集合A＝{x|x2<

4}，B＝

（1）求集合A∩B；

（2）若不等式2x2＋ax＋b<

0的解集是B，求a，b的值．

[解析]　A＝{x|x2<

4}＝{x|－2<

B＝

＝

＝{x|－3<

1}，

（1）A∩B＝{x|－2<

（2）∵2x2＋ax＋b<

0的解集为B＝{x|－3<

∴－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根，

∴

∴a＝4，b＝－6.

（理）已知集合A＝{x|x2－x－6<

0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>

0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2<

0}，若C⊇（A∩B）．试确定实数a的取值范围．

[解析]　由已知得A＝{x|－2<

3}，B＝{x|x<

－4或x>

2}，A∩B＝{x|2<

3}．

∵C＝{x|x2－4ax＋3a2<

0}＝{x|（x－a）·

（x－3a）<

0}，

∴当a>

0时，C＝{x|a<

3a}；

当a<

0时，C＝{x|3a<

a}；

当a＝0时，C＝∅，此时C⊇（A∩B）是不可能的．

①当a>

0时，如图所示．

C⊇（A∩B）⇔

⇔1≤a≤2.

②当a<

0时，C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，因此C⊇（A∩B）是不可能的．

综上所述，1≤a≤2.

7．集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}，同时

满足：

①A∩B≠∅；

②－2∈A（p，q≠0）．求p，q的值．

[分析]　两个集合有公共元素，可联立方程求解，注意到系数关系，问题可有多种解法．

∵A∩B≠∅

∴方程组

有解．

两式相减得：

（q－1）x2＝q－1.①当q＝1时，方程有解．

∵－2∈A，∴根据韦达定理知方程另一根为－

∴－p＝－2＋

＝－

，p＝

这时A＝B＝

，符合题意．

②当q≠1时，x2＝1，x＝±

1

又∵－2∈A，∴A＝{1，－2}或{－1，－2}，

根据韦达定理：

或

综上：

p，q的值为

设x0∈A，则有x

＋px0＋q＝0，两端同除以x

，得1＋p

＋q

＝0，则知

∈B.

∴集合A，B中元素互为倒数．

由A∩B≠∅，一定有x0∈A，

使得

∈B且x0＝

，x0＝±

1.

由此得B＝

另－2∈A，A∩B≠∅，可能出现－2∈B，则－

∈A.

此时－2，－

为A的两个元素，易知

此时A＝B＝

故