高考数学理一轮复习题库86空间向量及其运算.docx

高考数学理一轮复习题库86空间向量及其运算.docx

《高考数学理一轮复习题库86空间向量及其运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理一轮复习题库86空间向量及其运算.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学理一轮复习题库86空间向量及其运算

1．空间向量的有关概念

名称

概念

表示

零向量

模为0的向量

0

单位向量

长度（模）为1的向量

相等向量

方向相同且模相等的向量

a＝b

相反向量

方向相反且模相等的向量

a的相反向量为－a

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

a∥b

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

（1）共线向量定理

空间两个向量a与b（b≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

（2）共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：

p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．

（3）空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

（1）数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

（2）空间向量数量积的运算律

①结合律：

（λa）·b＝λ（a·b）；

②交换律：

a·b＝b·a；

③分配律：

a·（b＋c）＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）.

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a＝λb（b≠0，λ∈R）

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直

a·b＝0（a≠0，b≠0）

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模

|a|

夹角

〈a，b〉（a≠0，b≠0）

cos〈a，b〉＝

【知识拓展】

1．向量三点共线定理：

在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：

＝x＋y（其中x＋y＝1），O为平面内任意一点．

2．向量四点共面定理：

在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：

＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）空间中任意两非零向量a，b共面．（　√　）

（2）在向量的数量积运算中（a·b）·c＝a·（b·c）．（　×　）

（3）对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.（　×　）

（4）两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．（　×　）

（5）若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.（　√　）

1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为（　　）

A．a2B.a2C.a2D.a2

答案　C

解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝（a＋b），＝c，

∴·＝（a＋b）·c＝（a·c＋b·c）＝（a2cos60°＋a2cos60°）＝a2.

2．（2016·大连模拟）向量a＝（－2，－3,1），b＝（2,0,4），c＝（－4，－6,2），下列结论正确的是（　　）

A．a∥b，a∥cB．a∥b，a⊥c

C．a∥c，a⊥bD．以上都不对

答案　C

解析　因为c＝（－4，－6,2）＝2（－2，－3,1）＝2a，

所以a∥c.

又a·b＝（－2）×2＋（－3）×0＋1×4＝0，

所以a⊥b.故选C.

3．与向量（－3，－4,5）共线的单位向量是________________________．

答案　和

解析　因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量（－3，－4,5）的模为＝5，所以与向量（－3，－4,5）共线的单位向量是±（－3，－4，5）＝±（－3，－4,5）．

4.如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.（用a，b，c表示）

答案　a＋b＋c

解析　＝＋＝＋＋

＝a＋b＋c.

5．（教材改编）正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．

答案　

解析　||2＝2＝（＋＋）2

＝2＋2＋2＋2（·＋·＋·）

＝12＋22＋12＋2（1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°）

＝2，

∴||＝，∴EF的长为.

题型一　空间向量的线性运算

例1　

（1）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

用，，表示，则＝________________.

答案　＋＋

解析　＝＝（＋），

∴＝＋＝（＋）＋

＝＋＋.

（2）三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.

解　＝＋＝＋

＝＋（－）

＝＋[（＋）－]

＝－＋＋.

＝＋＝－＋＋

＝＋＋.

思维升华　用已知向量表示某一向量的方法

用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

　（2016·青岛模拟）如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

（1）；

（2）＋.

解　

（1）因为P是C1D1的中点，

所以＝＋＋

＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b.

（2）因为M是AA1的中点，

所以＝＋＝＋

＝－a＋（a＋c＋b）

＝a＋b＋c.

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

所以＋＝（a＋b＋c）＋（a＋c）

＝a＋b＋c.

题型二　共线定理、共面定理的应用

例2　（2016·天津模拟）如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

（1）求证：

E，F，G，H四点共面；

（2）求证：

BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：

对空间任一点O，有＝（＋＋＋）．

证明　

（1）连接BG，

则＝＋

＝＋（＋）

＝＋＋

＝＋，

由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．

（2）因为＝－

＝－

＝（－）＝，

所以EH∥BD.

又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

（3）找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.

由

（2）知＝，

同理＝，

所以＝，即EH綊FG，

所以四边形EFGH是平行四边形，

所以EG，FH交于一点M且被M平分．

故＝（＋）

＝＋

＝[（＋）]＋[（＋）]

＝（＋＋＋）．

思维升华　

（1）证明空间三点P，A，B共线的方法

①＝λ（λ∈R）；

②对空间任一点O，＝＋t（t∈R）；

③对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）．

（2）证明空间四点P，M，A，B共面的方法

①＝x＋y；

②对空间任一点O，＝＋x＋y；

③对空间任一点O，＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）；

④∥（或∥或∥）．

　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）．

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点M是否在平面ABC内．

解　

（1）由题意知＋＋＝3，

∴－＝（－）＋（－）

即＝＋＝－－，

∴，，共面．

（2）由

（1）知，，共面且基线过同一点M，

∴M，A，B，C四点共面．

从而点M在平面ABC内．

题型三　空间向量数量积的应用

例3　（2017·济南月考）如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.

（1）求线段AC1的长；

（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；

（3）求证：

AA1⊥BD.

（1）解　设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.

∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，

∴||＝|a＋b＋c|

＝

＝

＝＝.

∴线段AC1的长为.

（2）解　设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，

则cosθ＝|cos〈，〉|＝.

∵＝a＋b＋c，＝b－c，

∴·＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，

||＝＝

＝＝.

∴cosθ＝＝||＝.

故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.

（3）证明　∵＝c，＝b－a，

∴·＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝（－1）－（－1）＝0，

∴⊥，∴AA1⊥BD.

思维升华　

（1）利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；

（2）利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；

（3）可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．

　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

（1）求的长；

（2）求与夹角的余弦值．

解　

（1）记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝.

||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（＋＋）＝6，

∴||＝，即AC1的长为.

（2）＝b＋c－a，＝a＋b，

∴||＝，||＝，

·＝（b＋c－a）·（a＋b）

＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，

∴cos〈，〉＝＝.

即与夹角的余弦值为.

18．坐标法在立体几何中的应用

典例　（12分）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

（1）求的模；

（2）求cos〈，〉的值；

（3）求证：

A1B⊥C1M.

思想方法指导　利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解．

规范解答

（1）解　如图，建立空间直角坐标系．

依题意得B（0,1,0），N（1,0,1），

所以||＝＝.[2分]

（2）解　依题意得A1（1,0,2），B（0,1,0），C（0,0,0），B1（0，1,2）．

所以＝（1，－1,2），＝（0,1,2），

·＝3，||＝，||＝，

所以cos〈，〉＝

＝.[6分]

（3）证明　依题意得C1（0,0,2），M（，，2），

＝（－1,1，－2），

＝（，，0）．[9分]

所以·＝－＋＋0＝0，

所以⊥，即A1B⊥C1M.[12分]

1．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　A

解析　a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任