插板法原理及应用Word格式.docx

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例1：

某单位订阅了30份相似窗习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。

问共有多少种不同发放办法？

【国家】

A.12B.10C.9D.7

每个某些先提前分8份材料，还剩余30-3×

8=6份；

相称于6份材料分给3个部门，每个部门至少分1份，插板法C（52）=10种，选B

例2：

某办公室接到15份公文解决任务，分派给甲、乙、丙三名工作人员解决。

如果每名工作人员解决公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有（）种分派方式。

【广州】

A.15B.18C.21D.28

每人先分2份、还剩余15-3×

2=9份；

相称于9份公文分给三个人，每人至少1份、至多8份，插板法C（82）=28种，选D

例3：

某单位共有10个进修名额分到下属科室，每个科室至少一种名额，若有36种不同分派方案，问该单位最多有多少个科室？

【黑龙江】

A.7B.8C.9D.10

C（10-1，n-1）=36，代入n=8满足，选B

补充：

若问至少有多少个科室，由于C（92）=36，此时为3个科室。

例4：

把10个相似球放入编号为1，2，3三个盒子中，使得每个盒子中球数不不大于它编号，则不同办法有（　　）种。

A.10B.15C.20D.25

第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球，还剩余10-1-2=7个球；

相称于把7个相似球放入三个不同盒子，每个盒子至少一种球，插板法C（62）=15种，选B

例5：

把10个相似小球放入3个不同箱子，第一种箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种状况？

A.15B.28C.36D.66

第二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球，还剩余10-2+1=9个球；

相称于把9个相似球放入三个不同盒子，每个盒子至少一种球，插板法C（82）=28种，选D

例6：

既有9块巧克力（其中5块有夹心），若将这些巧克力分给3个小朋友，平均每个人均有3块，问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力状况有多少种？

【粉笔模考】

A.6B.9C.12D.25

相称于把5块夹心巧克力分给3个人，每人至少1块、至多3块，插板法C（42）=6种，然后再分派非夹心巧克力使得每人正好3块即可，选A

对于插板法基本题型来说，最核心一步就是把题中条件转化成插板法原则形式，即“每组至少一种”。

★插板法技巧进阶篇

①在直接使用插板法时，有时会浮现不满足题意状况，需要减掉。

某单位购买了10台新电脑，筹划分派给甲、乙、丙3个部门使用。

已知每个部门都需要新电脑,且每个部门最多得到5台，那么电脑分派办法共有（）种。

【广东】

A.9B.12C.18D.27

插板法C（92）=36种；

然后去掉不满足题意状况（即有部门多于5台）：

选一种部门C（31）、先分给这个部门5台，再把剩余5台分给3个部门，插板法C（42），则不满足题意状况有C（31）×

C（42）=18种，满足题意状况有36-18=18种，选C

例7：

有3个单位共订300份《人民日报》，每个单位至少订99份，最多101份。

问一共有多少种不同订法？

A.4B.5C.6D.7

解法一：

分类：

99+100+101状况有A（33）=6种，100+100+100状况有一种，共7种，选D

解法二：

每个单位先提前分98份，还剩余300-3×

98=6份；

相称于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分3份，插板法减去有单位分到4份状况，C（52）-C（31）=7种，选D

②有时直接正面使用插板法，由于需要减掉状况比较多，可以考虑从反面入手，运用“先全某些下去再收回一某些”思想。

四个小朋友分17个相似玩具，每人至多分5个，至少分1个，那么有多少种分法？

【河南招警】

A.18B．19C．20D．21

每个小朋友先分5个、共分了20个，再收回20-17=3个，每人至少交回0个，插板法C（63）=20种，选C

某快问快答节目第一关设立4道题，选手答错任意一题则及时停止答题。

比赛规定：

第一题到第四题答题时间分别限定在10、8、6、3秒内（选手每题答题时间都计为整秒且至少为1秒），某位选手通过第一关，答题用时24秒，则该选手在4道题上答题用时组合有多少种：

A.8B.15C.19D.20

总时间上限=10+8+6+3=27秒，相称于从27秒中去掉3秒，每题可以去0秒、第四题最多去2秒；

转化为三个名额分给四道题，每道题至少分0个，再去掉三个名额都分给第四题状况，插板法，C（63）-1=19种，选C

如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道练习题进行巩固。

练习1：

有3个单位共订300份《人民日报》，每个单位至少订99份，最多102份。

A.6B.7C.8D.10

相称于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分4份，插板法C（52）=10种，选D

练习2：

如果每名工作人员解决公文份数不得少于2份，也不得多于10份，则共有多少种分派方式：

A.52B.53C.54D.55

每人先分1份、还剩余12份；

相称于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多9份，插板法C（112）=55种，去掉有人分到多于9份状况（即10+1+1）、有C（31）=3种，则满足题意状况有55-3=52种，选A

练习3：

某办公室接到18份公文解决任务，分派给甲、乙、丙三名工作人员解决。

如果每名工作人员解决公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有多少种分派方式：

A.43B.46C.51D.55

每人先分2份、还剩余12份；

相称于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多8份，插板法C（112）=55种，去掉有人分到多于8份状况：

先选一种人分给她8份，剩余4份分给3个人，每人至少1个，有C（31）×

C（32）=9种，则满足题意状况有55-9=46种，选B

练习4：

某办公室接到16份公文解决任务，分派给甲、乙、丙、丁四名工作人员解决。

如果每名工作人员解决公文份数不得少于2份，也不得多于5份，则共有多少种分派方式：

A.20B.27C.31D.35

每人先分5份、共分了20份，再收回4份，每人至少交出0份、至多交出3份，插板法C（73）=35种，去掉有人交出4份状况C（41）=4种，则满足题意状况有35-4=31种，选C

练习5：

袋中有红、白、黑三种颜色球各10个，从中抽出16个，规定三种颜色球均有，有多少种不同抽法？

A.35B.45C.75D.105

相称于16个名额分给三种颜色，每种颜色至少一种名额，插板C（152）=105种；

去掉某种颜色多于10个球状况，先选一种颜色C（31）、先分给它10个，剩余6个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一种名额，插板C（52）=10，则满足题意状况有105-3×

10=75种，选C

★插板法技巧之比赛得分计算

（1）某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛抢答环节，抢答环节共5道题。

计分方式如下：

每个家庭有10分为基本分；

若抢答到题目，答对一题得5分，答错一题扣2分；

抢答不到题目不得分。

那么，一种家庭在抢答环节有也许获得（）种不同分数。

【广东】

A.18B.21C.25D.36

有无基本分并不影响得分状况数；

相称于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（72）=21种，选B

通过度类可以看更加清晰，答对一道和答错一道相差5+2=7分；

①抢到0道时，得分只有一种，即基本分10分；

②抢到1道时，得分有两种，答错为8分、答对为15分；

③抢到2道时，得分有三种，分别是6、13、20；

④抢到3道时，得分有四种，分别是4、11、18、25；

⑤抢到4道时，得分有五种，分别是2、9、16、23、30；

⑥抢到5道时，得分有六种，分别是0、7、14、21、28、35；

共1+2+3+4+5+6=21种，选B

（2）某次数学竞赛共有10道选取题，评分办法是答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分。

设这次竞赛最多有N种也许成绩，则N应等于多少？

【深圳】

A.45B.47C.49D.51

相称于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（122）=66种，但是注意此时有些状况得分是重复，浮现重复因素是4×

1+（-1）×

4=0，即答对一道+答错四道=不答五道=0分。

如果先拿出5道题、这五道题共得了0分、而得到0分状况有两种，因此在对剩余五道题进行插板分派时C（72）=21，这21种状况浮现得分跟前五道题0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，因此满足题意状况数有66-21=45种，选A

也可以结合一种详细得分进行阐明，例如8这个得分，8=4×

2=4×

3+（-1）×

4，有两种也许：

（1）答对两道、不答八道，

（2）答对三道、答错四道、不答三道；

两种也许性进行对比，消掉相似某些（答对两道、不答三道）后，

（1）不答五道，

（2）答对一道、答错四道。

这其实就是浮现重复根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相似某些后，剩余某些都是不答五道=答对一道+答错四道，即如果先拿出五道题，对剩余五道题进行插板，这C（72）=21种状况都会浮现重复、需要减掉。

（3）某测验包括10道选取题，评分原则为答对得3分，答错扣1分，不答得0分，且分数可觉得负数。

如所有参加测验人得分都不相似，问最多有多少名测验对象？

【浙江B】

A.38B.39C.40D.41

相称于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C（122）=66种，但是注意此时有些状况得分是重复，浮现重复因素是3×

3=0，即答对一道+答错三道=不答四道=0分。

如果先拿出4道题、这四道题共得了0分、而得到0分状况有两种，因此在对剩余六道题进行插板分派时C（82）=28，这28种状况浮现得分跟前四道题0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，因此满足题意状况数有66-28=38种，选A

也可以结合一种详细得分进行阐明，例如15这个得分，15=3×

5=3×

6+（-1）×

3，有两种也许：

（1）答对五道、不答五道，

（2）答对六道、答错三道、不答一道；

两种也许性进行对比，消掉相似某些（答对五道、不答一道）后，

（1）不答四道，

（2）答对一道、答错三道。

这其实就是浮现重复根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相似某些后，剩余某些都是不答四道=答对一道+答错三道，即如果先拿出四道题，对剩余六道题进行插板，这C（82）=28种状况都会浮现重复、需要减掉。

对于加分和减分不互质状况，需要进行一步转化。

（4）某次数学竞赛共有10道选取题，评分办法是答对一道得4分，答错一道扣2分，不答得0分。

A.21B.30C.38D.51

1+（-2）×

2=0，即答对一道+答错两道=不答三道=0分。

如果先拿出3道题、这三道题共得了0分、而得到0分状况有两种，因此在对剩余七道题进行插板分派时C（92）=36，这36种状况浮现得分跟前三道题0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，因此满足题意状况数有66-36=30种，选B

（5）某次数学竞赛共有10道选取题，评分办法是回答完全对的得5分，不完全对的得3分，完全错误得0分。

A.30B.38C.45D.60

先做一步转化，使之转化为原则型。

鸡兔同笼思想：

假设初始为30分，相称于10道题所有不完全对的，在此基本上，每对一道增长2分、每错一道减少3分，那么就变成了回答完全对的得2分，不完全对的得0分，完全错误得-3分。

插板法C（122）=66种，去掉重复某些：

先拿出3+2=5道题，剩余五道题插板C（72）=21种，66-21=45种，选C

（6）在一次数学考试中，有10道选取题，评分办法是：

答对一题得4分，答错一题倒扣1分，不答得0分，已知参加考试学生中，至少有4人得分相似。

那么，参加考试学生至少有多少人？

A.91B.103C.136D.199

先求得分状况有多少种；

插板法，C（122）-C（72）=45种，抽屉原理之最不利原则，每种得分先分3个人，再分一种人必然满足题意，45×

3+1=136人，选D

（7）学生参加数学竞赛，共20道题，有20分基本分，答对一题给3分，不答给0分，答错一题倒扣l分，若有l978人参加竞赛，至少有多少人得分相似？

A.26B.27C.49D.50

插板法，C（222）-C（182）=78种，抽屉原理之平均分派问题，1978÷

78=25…28，因此每种得分先分25人，剩余28个人也尽量平均分派，则至少有25+1=26个人得分相似，选A

（8）小梁买了一种会走路机器猫玩具，这个机器猫只能走直线不能拐弯，并且只有向前走1cm、3cm、5cm这三种步伐。

小梁可以通过遥控器控制机器猫每一种步伐。

若在小梁控制下机器猫走了4步，该机器猫可以到达（）种不同距离。

A.8B.9C.10D.11

至少走4cm、最多走20cm，因此4～20之间偶数都可以到达，选B

转化为4道题，每道题完全答对加5分、某些答对加3分、答错加1分，鸡兔同笼转化为完全答对加2分、某些答对加0分、答错加-2分，插板法C（62）-C（42）=9种，选B

（9）有1元、10元、100元纸币共60张，每种至少一张，总钱数有多少种也许？

A.583B.592C.604D.617

转化为完全对的得100分，不完全对的得10分，完全错误得1分；

运用鸡兔同笼再转化为完全对的得90分，不完全对的得0分，完全错误倒扣9分；

插板法C（592）=1711种；

去掉重复状况：

1道完全对的+10道完全错误=11道不完全对的，先拿出11道题，剩余插板C（482）=1128种；

1711-1128=583种，选A

★插板法技巧之常用应用模型

（1）方程a+b+c=10有多少组正整数解？

A.15B.20C.28D.36

相称于把10个相似苹果分给三个人，每人至少一种，插板法C（92）=36种，选D

（2）不等式a+b+c≤10有多少组非负整数解？

A.66B.78C.84D.286

补一种字母d，转化为a+b+c+d=10，此时a、b、c、d都是≥0，相称于把10个相似苹果分给四个人，每人至少0个，插板法C（133）=286种，选D

（3）（A+B+C）10展开式中共有多少项？

A.36B.45C.66D.91

对于（A+B+C）10展开式中任何一项Ax×

By×

Cz，均有x+y+z=10，其中

x、y、z都是≥0；

相称于把10个相似苹果分给三个人，每人至少0个，插板法C（122）=66种，选C

（4）有10颗糖，如果每天至少吃一颗（至多不限），吃完为止，问有多少种不同吃法？

A.144B.217C.512D.640

若1天吃完，只有1种；

若2天吃完，插板法有C（91）种；

若3天吃完，插板法有C（92）种…，共C（90）+C（91）+C（92）+…+C（99）=29=512种，选C

10颗糖之间有9个空，每个空都可以选取与否插板，相应吃糖数就不同，共29=512种，选C

（5）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都正好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257、303369、1347等等，此类数共有多少个？

A.36B.45C.55D.66

前两位固定，则第三位及之后数都固定，首位+第二位≤9，补成a+b+c=9，其中b、c都可为0，插板法C（102）=45个，选B

（6）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都正好是它前面两个数字之差，直至不能再写为止，如7523、9817、63303等等，此类数共有多少个？

A.45B.50C.54D.55

从最后两位考虑，若个位和十位固定，则往前依次固定，个位+十位≤9，补成a+b+c=9，其中a、b、c单独都可为0，插板法C（112）=55，去掉a、b同步为0状况，满足题意状况有55-1=54种，选C

此类自然数中最大为85321101

（7）4位同窗分五个苹果、1个梨，每位同窗至少分到一种水果，有多少种不同分法？

A.16种B.24种C.40种D.48种

先分梨有C（41）=4种，假设分给了甲；

接下来把五个苹果分给甲乙丙丁，其中甲可以分0个，插板法C（53）=10种；

共4×

10=40种，选C

（8）5个相似苹果和3个相似梨分给4个小朋友，每人至少分1个水果，有多少种分派方式？

A.210B.420C.630D.840

先分梨，分类；

（1）3个梨分给同一种人，C（41）=4种，假设都分给了甲；

接下来5个苹果分给甲乙丙丁，乙丙丁每人至少分1个苹果，插板法C（53）=10种，共4×

10=40种；

（2）3个梨分给了两个人，C（42）×

2=12种，假设分给甲2个、乙1个；

接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丙丁每人至少分1个苹果，插板法C（63）=20种，共12×

20=240种；

（3）3个梨分给了两个人，C（43）=4种，假设分给甲乙丙各1个；

接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丁至少分1个苹果，插板法C（73）=35种，共4×

35=140种；

共40+240+140=420种，选B

直接容斥，苹果和梨分别插板-至少1人没分到+至少2人没分到-至少3人没分到=C（83）×

C（63）-C（41）×

C（72）×

C（52）+C（42）×

C（61）×

C（41）-C（43）=420种，选B

（9）有一种两位数A，将其个位数字与十位数字互换得到与之不同两位数B，再将A和B相加，成果仍为一种两位数。

问这样两位数A有多少个？

A.9B.32C.36D.64

ab+ba=11（a+b），则2＜a+b＜10，补上百位、用百位去凑满10；

相称于把10个名额分给百十个位，每位至少分1个名额，插板法C（92）=36种，去掉a=b四种（11、22、33、44），满足题意有36-4=32个，选B

（10）小明将一颗质地均匀正六面体骰子，先后抛掷2次，两次点数之和不不大于5概率是多少？

【粉笔事业模考】

A.1/6B.5/18C.5/6D.13/18

总状况数有6×

6=36种；

不满足题意状况数，两次点数和＜6，相称于6个名额分给三个人，每个人至少分1个，插板法C（52）=10种，概率=（36-10）/36=13/18，选D

★插板法技巧应用之取球问题

（1）箱子里有大小相似3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才干保证至少有2组玻璃珠颜色组合是同样？

【联考】

A.11B.15C.18D.21

相称于三个名额分给3种颜色，每种颜色至少分0个，插板法C（52）=10种，抽屉原理，10+1=11种，选A

刚学插板法时应用起来不纯熟，为了更加便于记忆，特做如下总结：

三种颜色球各一颗，取三颗，有C（3，3）=1种取法。

三种颜色球足够多，取三颗，【取三补二】，有C（3+2，3）=C（53）=10种取法。

n种颜色球足够多，取m颗，【取m补m-1】，有C（n+m-1，m）种取法。

（2）从5个相似苹果、6个相似橘子、7个相似香蕉中取4个水果，有多少种取法？

A.15B.20C.35D.3060

相称于四个名额分给3种水果，每种水果至少分0个，插板法C（62）=15种，选A

（3）一种袋里有四种不同颜色小球若干个，每次摸出两个，要保证有10次所摸成果是同样，至少要摸多少次？

A.55B.87C.41D.91

相称于两个名额分给4种颜色，每种颜色至少分0个，插板法C（53）=10种，抽屉原理，每种状况分9次，此时刚好不满足题意，再分一次必然满足，10×

9+1=91次，选D

四种颜色球足够多、取两个，取2补1，C（4+1，2）=10种，抽屉原理，每种状况分9次，此时刚好不满足题意，再分一次必然满足，10×

（4）有四种颜色文献夹若干，每人可任取1～2个文献夹，如果要保证有3人取到完全同样文献夹，则至少应当有（）人去取。

【天津】

A.18B.20C.21D.29

四种颜色文献夹足够多，取1个有C（41）=4种、取两个有C（4+1，2）=10种，因此共4+14=14种状况，每种状况先分2个人，此时刚好不满足题意，再分一种人必然满足，14×

2+1=29次，选D

补上第五种颜色，无论前四种颜色总共取了几种，用第五种去凑满2个（注意取2个不能都是第五种颜色）；

相称于五种颜色文献夹足够多，取2个有C（5