word完整版自己整理圆锥曲线常考题型总结 配有大题及练习推荐文档Word格式文档下载.docx
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运算能力.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、
（I）由题意，得C
c
，解得a
1,c73,
•••b2
c2a2
C的方程为X2
（n）点PXo,yoXoYo
0在圆X2
2上,
圆在点PXo,yo
处的切线方程为
yo
渔X
Xo
化简得
XoX
yoy2.
2
y
YoV2
F2
及Xo
3x24
4XoX
82xo0,
•••切线I与双曲线C交于不同的两点
AB,且O
2c
Xo2,
•••3xo40,且
222
16xo43xo482xo
设AB两点的坐标分别为
X1,%,X2,y2,
则X1X2c?
0，X1X2
3xo4
82X
3xo4，
•••COSAOB
UUU
OA
OB
yiy2xiX2
ULULUUOAOB
，且
ULU
OBx1x2
XoXi2X0X2,
【解法2】
（I）同解法1.
X1X2
XI4
2X0Xi
X2
XoXiX2
82xo
8x2aXT
3x2
0.
AOB的大小为90.
（n）点PXo,yo
XoVo0在圆X
程为y
Yo—X
Yo
Xo，化简得
yoy
3xo
X24x0x
82x2
3x14
8yoX8
2xoo
Xo82x2
圆在点P
A、B,且o
•-3x140，设A、B两点的坐标分别为X-1,y1
82x2则X1X23xr7
CM
Xo,yo处的切线方
y_
1及Xoy02
X22,
X2,y2,
UUUUUU
•••OAOBX1X2yiy2
0,•AOB的大小为90.
2且Xoyo
2,0yo2，从而当3x140时，方程①和
方程②的判别式均大于零）
22
练习1:
已知点A是椭圆C冷牛1t0的左顶点，直线l:
xmy1（mR）与椭
*1A
0时，△AEF的面积为一.
3
（2）圆锥曲线与图形形状问题
因为四边形OABC^菱形，所以AC与OB相互垂直平分.
所以可设A（1,m，代入椭圆方程得丄+m=1，即m=—.
42
所以菱形OABC勺面积是丄|OB-iC=-X2Xm=73.
（2）假设四边形OABC为菱形.
因为点B不是W勺顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+刑心0,m^0）.
X24y24
由’消y并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4nn—4=0.
ykxm
设A（X1,y1）,0x2,y2）,
x1X24km
214k2,
m
2•2
14k14k
所以
所以当点B不是W勺顶点时，四边形OAB（不可能是菱形.
1
因为
k-——工―1,所以AC与OB不垂直.
4k
OAB（不是菱形，与假设矛盾.
练习1：
已知椭圆C.冷爲I（ab0）过点（J5,1），且以椭圆短轴的两个端点和
ab
一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形（I）求椭圆的标准方程；
（n）设M（X,y）是椭圆c上的动点，P（p,0）是X轴上的定点，求MP的最小值及取最
小值时点M的坐标.
（3）圆锥曲线与直线问题
例3.1已知椭圆C:
X2y4,
（1）求椭圆C的离心率.
解析：
⑴椭圆的标准方程为：
—1,
b近则c近，离心率e-—
a2
法一:
当X0t时，y—，代入椭圆C的方程，得
故直线AB的方程为X血.圆心O到直线AB的距离d
此时直线ab与圆
22c
Xy2相切.
当X0t时，直线
AB的方程为y
2Xt,
X0t
即y02XX0
ty2x0
ty0
圆心O到直线AB的距离
]2x0tyol
2X0t
又X22y24,t
2y2
X0
24y24/
y0苛4Jr?
2xo
4X2
X
4_2._
X08x016
72.
此时直线
AB与圆X2y22相切.
法二:
由题意知,
直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为ykX，
OA丄OB,
①当k0时，A20，易知B02，此时直线AB的方程为X
原点到直线AB的距离为迈，此时直线AB与圆X2
2相切;
②当
k0时，直线OB的方程为y-X，
k
联立
:
y24得点A的坐标C
2k
7l2k2
Jl2k2
—X
k得点B的坐标
由点A的坐标的对称性知，无妨取点A
—2kTi
—进行计算,
2k2
于是直线AB的方程为:
亠2c&
2k
y2—2X
1_亏2kdl2k
kJl2k2
1kTT2k2X2k，
kjl2k2y2k220
2k22
原点到直线AB的距离
訥2k2
72
2.2
1kj12k2
此时直线AB与圆
X2y2
2相切。
综上知，直线AB一定与圆
2相切.
法三:
①当k0时，A20，易知
此时|oa|2|ob|2，
lAB2血，原点到直线
AB的距离d
|OA|OB|22
AB
2^2
此时直线AB与圆X2y22相切;
0时，直线OB的方程为
Xi
x2y2
，则QA
Ex1|,|OB|
2jlk2,
kx
得点A的坐标
4
J12k2J12k2
J12k2
于是QA
OB2jlk2,
22迈1k2
41k
求椭圆C的标准方程；
若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由;
若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围.
圆锥曲线定值与证明问题
例4.1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为——，且椭圆C上的点到
两个焦点的距离之和为4•
（I）求椭圆C的方程;
（n）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线I与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过
原点与I平行的直线与椭圆交于点
P•证明:
|AM||AN|2|OP|2.
x2
解：
（I）设椭圆C的标准方程为—
a
1（a
b0），
由题意知一
2a
b2
昼
4,
解得a
所以椭圆C的标准方程为
（n）设直线AM的方程为：
k（x
2），则N（0,2k）.
由y2：
（：
x4y
2）'
得（1+4k2）x2
16k2x16k240（*）.
设A（2,0）,
M（xi,yi），则2,xi是方程（*）的两个根,
所以m（2#心）-
|AN|d44k22J1k2.
|AM||AN|
8（1k2）
4k2
所以|AM||AN|2|OP|.
1（a>
b>
0）的离心率为逅,A（a,0）,B（0,b）,O（0,
0）,△OAB的面积为1.
PA与丫轴交于点M直线PB与x轴交于点N。
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P的椭圆C上一点,
求证:
AN?
BM为定值。
L9.门）lUl阳再.e=-=
府-
y...Ou=^ab=1..僖，|们吐川=+岸…③，En【U②
©
解滸护him圖片程为y+h-1.
tini殳ton上点P的坐标为（Z/a岔列嗣见己謝A[2,0].R[0J）t则11线PA的方社为
sin&
y-——-—-O-2）
令“就可以删mM标为电鵠
同样nJ以再到N的坐林为（仝％小.
1一£
出
焦点构成的三角形的面积为
（n）已知动直线yk（x1）与椭圆C相交于A、B两点.①若线段AB中点的横坐标
MIB为定值.
17uuur
_，求斜率k的值;
②若点M（3,0），求证:
MA
于x轴）过点F且抛物线C交于A,B两点，直线CA与OB勺斜率之积为—P.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：
翳＞2
1练习3:
动点P（X,y）到定点F（1,0）的距离与它到定直线l:
X4的距离之比为一.
（I）求动点P的轨迹C的方程;
（n）已知定点A（2,0）,B（2,0），动点Q（4,t）在直线I上，作直线AQ与轨迹C的
另一个交点为M，作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：
M,N,F三点共线.
|ab|
（n）
求椭圆C的方程;
设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA，PB与直线x4分
别相交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F，求点P横坐标的
取值范围及|EFI的最大值.
（I）由题意可得,
解a24,
椭圆C的标准方程为
y21.
（n）设P（X0,y0）（O
2）,A（0,1）,B（0,1）,
y。
1
所以kpA，直线PA的方程为
Xq
同理：
直线PB的方程为y
直线PA与直线X
4的交点为
4（y01）
M（4,—-1）,
直线PB与直线X
N（4,
4（y。
1）
1）,
线段MN的中点
（4,坞,
所以圆的方程为（X4）2（y
4yo）2
（1与,
0,则（X4）2
16y2
（1
却2，
10分
1，所以
G1
11分
（X
4）2
旦5
因为这个圆与
X轴相交，该方程有两个不同的实数解,
8
所以5—
0,解得Xo（—,2].
5
12
设交点坐标（X1,0）,（X2,0），则|X1X2|2/58（8Xo
VXo5
所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为
2.
14
已知椭圆C:
b21a
b的一个焦点为F（2,0），离心率为星。
过焦
点F的直线I与椭圆C交于圆于MN两点。
A,B两点,
线段ABK点为D,C为坐标原点，过OD勺直线交椭
（1）
（2）
求椭圆C的方程；
求四边形AMBN面积的最大值。
练习
2:
已知椭圆C:
mx23my21（m0）的长轴长为2j6,O为坐标原点.
（I）求椭圆C的方程和离心率;
（n）设点A（3,0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若
|BA||BP|，求四边形OPAB面积的最小值.
（6）圆锥曲线存在性问题
Xy
例6.已知椭圆C:
p与1ab0的离心率为a2b2
都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
（I）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用mn表示）;
（n）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：
y轴上是否存在点Q，使得解析：
OQM
（I）由题意得
1,
吃
故椭圆C的方程为
因为m0,所以
直线PA的方程为
所以Xm
返，点PO,1和点Am,nm02
ONQ?
若存在，求点Q的坐标；
若不存在，说明理由.
解得
a22,
n1.
n1
x,
M（^,O）.
1n
因为点B与点A关于x轴对称,
所以Bm,n.
设N（Xn,0），则Xn—
“存在点Q（O,yQ）使得OQM
ONQ”等价于“存在点Q（O,yQ）使得
OM
OQ
ON
即yQ满足yQ
XmXn.
Xm
，Xn
m2
T
yQ
故在
y轴上存在点Q，使得
ONQ,
点Q的坐标为（0,J2）或（0,
1ab的左、右焦点，点P（1,—）在椭
圆E上，且点P和Fi关于点C（0，
对称。
A,B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于l的方
求椭圆E的方程；
（2）过右焦点F2的直线I与椭圆相交于
另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PAB的对角线互相平分？
若存在，求出程；
若不存在，说明理由。
x2=4>
/2y的焦点重合，F1、
――xy
练习2:
设椭圆C：
a2+b2=1（a>
0）的一个顶点与抛物线:
F2分别是椭圆的左、右焦点,
离心率e=¥
3,过椭圆右焦点
F2的直线I与椭圆C交于M
N两点.
（1）求椭圆C的方程;
屮ur
（2）是否存在直线I，使得OM
UULT
On=—1,若存在，求出直线
l的方程；
若不存在，说明
理由
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