高中物理 第4章 能量守恒与可持续发展 41 势能的变化与机械功学案 沪科版必修2Word文档下载推荐.docx

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（1）重力做功与物体沿直线或曲线运动有关．（×

）

（2）物体只要运动，其重力一定做功．（×

（3）同一物体在不同位置的重力势能分别为Ep1＝3J，Ep2＝－10J，则Ep1<

Ep2.（×

（4）物体由高处到低处，重力一定做正功，重力势能一定减少．（√）

（5）重力做功一定与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．（√）

（6）只要发生形变的物体就一定具有弹性势能．（×

2．将质量为m的物体从地面上方H高处由静止释放，物体落在地面后地面出现一个深度为h的坑，如图1所示，重力加速度为g，在此过程中，重力对物体做功为________，重力势能______（填“减少”或“增加”）了________．

图1

答案　mg（H＋h）　减少　mg（H＋h）

一、重力做功的特点

[导学探究]　如图2所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：

（1）根据功的公式求出甲、乙两种情况下重力做的功；

（2）求出丙中重力做的功；

（3）重力做功有什么特点？

图2

答案　

（1）甲中W＝mgh＝mgh1－mgh2

乙中W′＝mglcosθ＝mgh＝mgh1－mgh2

（2）把整个路径AB分成许多很短的间隔AA1、A1A2…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看做一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2….

物体通过整个路径时重力做的功

W″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…

＝mg（Δh1＋Δh2＋…）＝mgh

＝mgh1－mgh2

（3）物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．

[知识深化]

1．重力做功大小只与重力和物体高度变化有关，与物体受其他力及物体的运动状态均无关．

2．物体下降时重力做正功，物体上升时重力做负功．

3．在一些往复运动或多个运动过程的复杂问题中求重力做功时，利用重力做功的特点，可以省去大量中间过程，一步求解．

例1

　在同一高度，把三个质量相同的球A、B、C分别以相等的速率竖直上抛、竖直下抛和平抛，它们都落到同一水平地面上．三个球在运动过程中，重力对它们做的功分别为WA、WB、WC，重力的平均功率分别为PA、PB、PC，则它们的大小关系为（　　）

A．WA>

WB＝WC，PA>

PB＝PC

B．WA＝WB＝WC，PA＝PB＝PC

C．WA＝WB＝WC，PB>

PC>

PA

D．WA>

WB>

WC，PA>

PB>

PC

答案　C

解析　由重力做功特点知：

WA＝WB＝WC；

由运动学知识知，从抛出到落地的时间：

tB<

tC<

tA，由P＝

得，PB>

PA，故C对．

二、重力势能

[导学探究]　如图3所示，质量为m的物体自高度为h2的A处下落至高度为h1的B处．求下列两种情况下，重力做的功和重力势能的变化量，并分析它们之间的关系．

图3

（1）以地面为零势能参考面；

（2）以B处所在的平面为零势能参考面．

答案　

（1）重力做的功W＝mgΔh＝mg（h2－h1），选地面为零势能参考面，EpA＝mgh2，EpB＝mgh1，重力势能的变化量ΔEp＝mgh1－mgh2＝－mgΔh.

（2）选B处所在的平面为零势能参考面，重力做功W＝mgΔh＝mg（h2－h1）．物体的重力势能EpA＝mg（h2－h1）＝mgΔh，EpB＝0，重力势能的变化量ΔEp＝0－mgΔh＝－mgΔh.

综上两次分析可见W＝－ΔEp，即重力做的功等于重力势能的变化量的负值，而且重力势能的变化与零势能参考面的选取无关．

1．重力做功与重力势能变化的关系：

W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp

2．重力势能的相对性

物体的重力势能总是相对于某一水平参考面，选取不同的参考面，物体重力势能的数值是不同的．故在计算重力势能时，必须首先选取参考平面．

3．重力势能是标量，但有正负之分，物体在零势能面上方，物体的重力势能是正值，表示物体的重力势能比在参考平面上时要多，物体在零势能面下方，物体的重力势能是负值，表示物体的重力势能比在参考平面上时要少．

4．重力势能的变化量与参考平面的选择无关．

例2

　如图4所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是（重力加速度为g）（　　）

图4

A．mgh，减少mg（H－h）

B．mgh，增加mg（H＋h）

C．－mgh，增加mg（H－h）

D．－mgh，减少mg（H＋h）

答案　D

解析　以桌面为参考平面，落地时小球的重力势能为－mgh，即末状态的重力势能为－mgh，初状态的重力势能为mgH，重力势能的变化即为－mgh－mgH＝－mg（H＋h），重力势能减少了mg（H＋h），故选D.

三、重力做功与重力势能变化的关系

例3

　如图5所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝

l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力做功为多少？

重力势能减少了多少？

图5

答案　

mgl　

mgl

解析　从A点运动到C点，小球下落的高度为h＝

l，

故重力做功W＝mgh＝

mgl，

重力势能的变化量ΔEp＝－W＝－

负号表示小球的重力势能减少了．

W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp，即重力势能变化多少是由重力做功的多少唯一量度的，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关．

2．两种情况

物体由高到低

重力势能减少

物体由低到高

重力势能增加．

四、弹力做功与弹性势能变化的关系

[导学探究]　如图6所示，物体与弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处由静止释放，物体会由A向A′运动，则：

图6

（1）物体由A向O运动的过程中，弹力对物体做什么功？

弹簧的弹性势能如何变化？

（2）物体由O向A′运动的过程中，弹力对物体做什么功？

答案　

（1）正功　减少　

（2）负功　增加

1．对弹性势能的理解

（1）系统性：

弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性．

（2）相对性：

弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的势能为零势能．

注意：

对于同一个弹簧，伸长和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能是相同的．

2．弹力做功与弹性势能变化的关系

（1）关系：

弹力做正功时，弹性势能减少，弹力做负功时，弹性势能增加，并且弹力做多少功，弹性势能就变化多少．

（2）表达式：

W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2.

3．使用范围：

在弹簧的弹性限度内．

弹力做功和重力做功一样，也和路径无关，弹性势能的变化只与弹力做功有关．

例4

　如图7所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力F做功100J时，弹簧的弹力做功________J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则弹簧的弹性势能为______J.

图7

答案　－100　100

解析　在物体缓慢压缩弹簧的过程中，推力F始终与弹簧弹力等大反向，所以推力F做的功等于物体克服弹簧弹力所做的功，即W弹＝－WF＝－100J．由弹力做功与弹性势能的变化关系知，弹性势能增加了100J.

针对训练　如图8所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置（即重物重力和弹簧弹力大小相等的位置），现用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，则这两次弹力做功的关系为（　　）

图8

A．W1<

W2B．W1＝2W2

C．W2＝2W1D．W1＝W2

解析　弹力做功与路径无关，弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，两个过程中弹簧形变量相同，因此弹性势能的变化量相同，所以弹力做的功相同，故W1＝W2，D正确.

1．（重力做功的特点）如图9所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地面高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则（　　）

图9

A．沿轨道1滑下重力做的功多

B．沿轨道2滑下重力做的功多

C．沿轨道3滑下重力做的功多

D．沿三条轨道滑下重力做的功一样多

解析　重力做功的多少只与初、末位置的高度差有关，与路径无关，D选项正确．

2．（对重力势能的理解）关于重力势能，下列说法正确的是（　　）

A．重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的

B．处在同一高度的物体，具有的重力势能相同

C．重力势能是标量，不可能有正、负值

D．浮在海面上的小船的重力势能一定为零

答案　A

解析　重力势能具有系统性，重力势能是物体与地球共有的，故A正确；

重力势能等于mgh，其中h是相对于参考平面的高度，参考平面不同，h不同，另外质量也不一定相同，故处在同一高度的物体，其重力势能不一定相同，选项B错误；

重力势能是标量，但有正负，负号表示物体在参考平面的下方，故C错误；

零势能面的选取是任意的，并不一定选择海平面为零势能面，故浮在海面上的小船的重力势能不一定为零，选项D错误．

3．（弹力做功与弹性势能变化的关系）（多选）如图10所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是（　　）

图10

A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比

B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等

C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加

D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加

答案　BD

解析　由W＝

kx2知，选项A错误；

弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故选项B正确；

物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与物体的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项C错误，选项D正确．

4．（重力做功与重力势能变化的关系）在离地高80m处无初速度释放一小球，小球质量为m＝200g，不计空气阻力，g取10m/s2，取最高点所在水平面为零势能参考平面．求：

（1）在第2s末小球的重力势能；

（2）3s内重力所做的功及重力势能的变化．

答案　

（1）－40J　

（2）90J　减少了90J

解析　

（1）在第2s末小球下落的高度为：

h＝

gt2＝

×

10×

22m＝20m

重力势能为：

Ep＝－mgh＝－0.2×

20J＝－40J.

（2）在3s内小球下落的高度为

h′＝

gt′2＝

32m＝45m.

3s内重力做功为：

W＝mgh′＝0.2×

45J＝90J

W>

0，所以小球的重力势能减少，且减少了90J.

一、选择题

考点一　重力做功的特点

1.如图1所示，甲、乙两名学生的质量都是m，且身高相同，当他们从地面分别以图示的路径登上高h的阶梯顶端A时，他们的重力做功情况是（　　）

A．甲的重力做的功多

B．乙的重力做的功多

C．甲、乙的重力做的功一样多

D．无法判断

解析　重力做功只与物体的初、末位置有关，与运动路径无关，所以甲、乙重力做功一样多，C正确．

【考点】重力做功的特点

【题点】不同物体重力做功的比较

2．某游客领着孩子游泰山时，不小心将手中的皮球滑落，球从山上的位置A滚到了山脚下的位置B，高度标记如图2所示，则下列说法正确的是（　　）

A．从A到B的曲线长度不知道，无法求出此过程重力做的功

B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程重力做的功

C．从A到B重力做功mg（H＋h）

D．从A到B重力做功mgH

解析　重力做功与路径无关，根据两点间的高度差即可求得重力做的功．因A、B两点间的高度差为H，则重力做功W＝mgH，D正确．

【题点】同一物体重力做功的比较

考点二　对重力势能的理解

3．下列关于重力势能的几种理解，正确的是（　　）

A．重力势能等于零的物体，一定不能对别的物体做功

B．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零

C．选取地面为参考平面，从不同高度将某一物体抛出，落地时物体的重力势能不相等

D．选取不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但并不影响有关重力势能问题的研究

【考点】对重力势能的理解

【题点】重力势能的性质

4．（多选）如图3所示，一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A、B、C三点．以下表述正确的是（　　）

A．若以地面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点大

B．若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点小

C．若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能大于零

D．无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大

答案　AD

【考点】重力势能的变化

【题点】定性判断重力势能的变化

5．一物体以初速度v竖直向上抛出，做竖直上抛运动，则物体的重力势能Ep－路程s图像应是四个图中的（　　）

解析　以抛出点为零势能点，则上升阶段路程为s时，克服重力做功mgs，重力势能Ep＝mgs，即重力势能与路程s成正比；

下降阶段，物体距抛出点的高度h＝2h0－s，其中h0为上升的最高点，故重力势能Ep＝mgh＝2mgh0－mgs，故下降阶段，随着路程s的增大，重力势能线性减小，选项A正确．

考点三　重力做功与重力势能的变化

6．（多选）物体在运动过程中，克服重力做功100J，则以下说法正确的是（　　）

A．物体的高度一定降低了

B．物体的高度一定升高了

C．物体的重力势能一定是100J

D．物体的重力势能一定增加100J

解析　克服重力做功，即重力做负功，重力势能增加，高度升高，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，但重力势能是相对的，增加100J的重力势能，并不代表现在的重力势能就是100J，故B、D正确，A、C错误．

【考点】重力做功与重力势能变化的关系

【题点】定量计算重力做功与重力势能变化的关系

7．一根长为2m、重为200N的均匀木杆放在水平地面上，现将它的一端缓慢地从地面抬高0.5m，另一端仍放在地面上，则所需做的功为（　　）

A．50JB．100J

C．200JD．400J

解析　由几何关系可知，杆的重心向上运动了h＝

m＝0.25m，故克服重力做功WG＝mgh＝200×

0.25J＝50J，外力做的功等于克服重力做的功，即外力做功50J，选项A正确．

8.如图4所示，一质量为m、边长为a的正方体物块与地面间的动摩擦因数为μ＝0.1.为使它水平移动距离a，可以用将它翻倒或向前缓慢平推两种方法，则下列说法中正确的是（　　）

A．将它翻倒比平推前进做功少

B．将它翻倒比平推前进做功多

C．两种情况做功一样多

D．两种情况做功多少无法比较

答案　B

解析　使物块水平移动距离a，若将它翻倒一次，需要克服重力做功，使其重心位置由离地h1＝

增加到h2＝

a，所以至少需要做功W1＝mg（h2－h1）＝

mg（

－1）a；

而缓慢平推需要做功W2＝μmga＝0.1mga＜W1.故选B.

考点四　弹力做功与弹性势能变化的关系

9.如图5所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个轻弹簧，弹簧原长为L0，劲度系数为k，整个系统置于水平地面上，现用拉力将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是（　　）

A．拉力对系统做功为mgL

B．物体A的重力势能增加mgL

C．物体A的重力势能增加mg（L－L0）

D．物体A的重力势能增加mg

解析　将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，由于开始时地面对物体A有支持力，故拉力小于mg，物体A离地后拉力等于mg，故拉力对系统做功小于mgL，故A错误；

B点上移距离为L，弹簧伸长量为ΔL＝

，故A上升的高度为L－ΔL，所以物体A的重力势能增加mg

，故B、C错误，D正确．

10.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图6所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则（　　）

A．h越大，弹簧在A点的压缩量越大

B．弹簧在A点的压缩量与h无关

C．h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大

D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大

解析　最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球重力mg与弹簧的弹力kx大小相等，由mg＝kx得，弹簧在A点的压缩量x与h无关，弹簧的弹性势能与h无关．

11．（多选）如图7所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（　　）

A．重力做正功，弹力不做功

B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加

C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功

D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功

答案　BC

解析　用细绳拴住重物向下摆动时，重力做正功，弹力不做功，C对；

用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且比用细绳拴重物时做功多，所以A、D错，B对．

二、非选择题

12．（重力做功与重力势能的变化）如图8所示，总长为2m的光滑匀质铁链，质量为10kg，跨过一光滑的轻质定滑轮．开始时铁链的两端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，不计滑轮的大小，问：

从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？

重力势能如何变化？

变化了多少？

（g取10m/s2）

答案　50J　重力势能减少　50J

解析　如图所示，开始时，铁链重心在A点，铁链将要离开滑轮时，重心在B点，则此过程中铁链重心下降距离Δh＝0.5m，重力做功W＝mgΔh＝10×

0.5J＝50J，重心下降，重力做正功，故铁链重力势能减少50J.

13．（弹力做功与弹性势能变化的关系）通过探究得到弹性势能的表达式为Ep＝

kx2，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长（或缩短）的长度．请利用弹性势能表达式计算以下问题：

放在地面上的物体上端系在一劲度系数k＝400N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图9所示．手拉绳子的另一端，当往下拉0.1m时，物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5m高处．如果不计弹簧重力及滑轮与绳的摩擦，求拉力所做的功以及此时弹簧弹性势能的大小．

答案　22J　2J

解析　物体刚离开地面时，弹簧的弹性势能

Ep＝

kx2＝

400×

0.12J＝2J

此过程中拉力做的功与克服弹力做的功相等，则有

W1＝－W弹＝ΔEp＝2J

物体刚好离开地面时，

有G＝F＝kx＝400×

0.1N＝40N

物体上升h＝0.5m过程中，拉力做的功等于克服物体重力做的功，则有W2＝Gh＝40×

0.5J＝20J

在整个过程中，拉力做的功

W＝W1＋W2＝2J＋20J＝22J

此时弹簧的弹性势能仍为2J.