普通高等学校招生全国统一考试.docx

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普通高等学校招生全国统一考试

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

、选择题：

本大题共

12小题，每小题

5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

每位同学参加各个小组的可能性相同,

C.y=-x21D.y=2抽

3•执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

A.

120

B.

720

C.

1440

D.

5040

4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,

则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

5.已知角二的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，贝Ucos2^=

4

A.

5

3

C.

5

6.在一个几何体的三视图中,则相应的俯视图可以为

3

B.

5

4

D.

5

正视图和俯视图如右图所示,

（A）

（B）

（C）

7.

I与C交于A,B两点，AB为C

设直线I过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直,

的实轴长的2倍，则C的离心率为

A.2B.、.3C.2D.3

（mV1"5

&x+Z|2x-1的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为

IX人X丿

A.-40B.-20C.20D.40

9.由曲线y=.X，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为

10

A.B.4

3

10.已知a与b均为单位向量，其夹角为

-2兀）

P:

a+b>1二日€卩,—

\兀\

F3:

a—b>1二日乏|0,—

313丿

其中的真命题是

A.R,RB.R,B

16

C.—

3

D.6

日，有下列四个命题

P2:

a+b

a1二

i©日€一，兀\

P4:

a—b

>1=

a」

C.B,RD.R2,F4

11.设函数f（x）"n（—os（—「的最小正周期为二且3）fX），

则

二二3二

A.f（x）在0,单调递减B.f（x）在一，3单调递减

I2丿144丿

C.f（x）在0,—单调递增D.f（x）在一，二单调递增

I2丿144丿

1一

12.函数y的图像与函数y=2sin二x（-2咗x乞4）的图像所有交点的横坐标之和等于

xT

A.2B.4C.6D.8

本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第

22题一第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分。

（3込2x丁v込9,

13.若变量x,y满足约束条件则z=.x2y的最小值为。

6兰x—y兰9,

14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点R,F2在x轴上，离心率为-。

过

2

F1的直线交于CA,B两点，且LABF2的周长为16，那么C的方程为。

15•已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6,BC=2、、3,则棱锥

O-ABCD的体积为。

16•在LABC中，B=60[AC=请3，则AB-2BC的最大值为_。

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

等比数列CaJ的各项均为正数，且2a,3a2-1,a3^9a2a5.

求数列:

a/?

的通项公式.

「11

设bn=log3a1■Iog3a?

■■Iog3an,求数列的前n项和.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/DAB=60,AB=2AD,PD丄底面ABCD.

（I）证明：

PA丄BD;

（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

19.（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等

于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这

种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组

[90,94）

[94,98）

[98,102）

[102,106）

[106,110]

频数

8

20

42

22

8

B配方的频数分布表

指标值分组

[90,94）

[94,98）

[98,102）

[102,106）

[106,110]

频数

4

12

42

32

10

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;

（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：

元）与其质量指标值t的关系式为

-2,t:

:

:

94

I

y=<2,94兰t£102

.4,t>102

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：

元）.求X的分布列及数学期望.（以

试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

20.

（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,-1）,B点在直线y=-3上,MA'lAb=MB_BA,M点的轨迹为曲线C.

（I）求C的方程;

（II）P为C上动点，丨为C在点P处的切线，求0点到丨距离的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=创口b，曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为x•2y-3=0.x+1x

（I）求a,b的值；

lnxk

（II）如果当x>0，且x=1时，f（x），求k的取值范围.

XTx

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答是用

2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-1:

几何证明选讲

如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与cABC的顶点重合.已知AE的长为m，AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14xmn=0的两个根.

（I）证明：

C,B,D,E四点共圆；

（II）若乙A=90，且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.

23.（本小题满分10分）选修4-4:

坐标系与参数方程

fx=2cos二

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为（〉为参数），M为G上的动点，P

』=2+2sina

T

点满足OP=2OM，点P的轨迹为曲线C2.

（I）求C2的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与G的异于极点的交点

3

为A，与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.

24.（本小题满分10分）选修4-5:

不等式选讲

设函数f（x）=|x-a|，3x，其中a0.

（I）当a=1时，求不等式f（x）_3x•2的解集

（II）若不等式f（x）乞0的解集为｛x|x乞-1｝，求a的值.

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试卷参考答案

、选择题

（1）C

（2）B

（3）B

（4）A

（5）B

（6）D

（7）B

（8）D

（9）C

（10）A

（11）A

（12）

D

、填空题

22

（13）-6

（14）

xy」

1

（15）83

（16）

27

168

三、解答题

（17）解：

（I）设数列仙｝的公比为q，由al=9320,得a；=9a2所以q2=丄。

9

1

由条件可知c>0,故q二一。

3

1由2a13a2=1得2a13a2q=1，所以a^

3

1

故数列｛an｝的通项式为an=n。

3n

（n）bn二也印log3a2…log3a.

=-（12...n）n（n+1）

-2

（18）解:

（I）因为•DAB=60,AB二2AD,由余弦定理得BD二、、3AD

从而BD2+AD2=AB2,故BD丄AD又PD_底面ABCD，可得BD_PD所以BD_平面PAD.故PA_BD

（n）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐

标系D-xyz，则

A1,0,0,B0八3,0,C——3,0,P0,0,1。

故二面角A-PB-C的余弦值为

（19）解

产品的优质品率的估计值为0.42

（n）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,1.94,102,〔102,110】的

频率分别为0.04，，054，0.42，因此

P（X=-2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，

即X的分布列为

X

-2

2

4

P

0.04

0.54

0.42

X的数学期望值EX=-2X0.04+20.54+40.42=2.68

（20）解：

（I）设M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）.

uuuuuuuur

所以MA=（-x，-1-y），MB=（0，-3-y），AB=（x，-2）.

uuuuuuuur

再由题意可知（MA+MB）?

AB=0，即（-x，-4-2y）?

（x，-2）=0.

12

所以曲线C的方程式为y=x-2.

4

12，11

（n）设P（x0,y0）为曲线C:

y=x-2上一点，因为y=x，所以l的斜率为一x0422

因此直线l的方程为y-y0=丄x0（x「x0），即x0x-2y•2y0-x^=0。

2

2

则O点到l的距离d」2yx2|.又y。

Jx2—2，所以

、x244

1xo414

d==—（{xo+4+—）王2,

xo242（川x24，

2

当xo=O时取等号，所以O点到I距离的最小值为2.

（21）解:

2

Inxk、1（k-1）（xT）、

f（x）-（）2（21nx）。

X—1X1—xx

考虑函数h（x）=21nx（k_1——U（x.o），则

x

2

h'（x^（k-1）（x：

1）2x。

22

k（x2+1）_（x_1）2

x2

（i）设k空0，由h'（x）2知，当x=1时，h'（x）：

：

0。

而h

（1）=0，故

1

当X（0,1）时，h（x）0,可得2h（x）0;

1-x

—1

当（1,+：

：

）时，h（x）<0,可得2h（x）>0

1-x

从而当x>0，且x=1时,

（ii）设0

h

（1）=0,故当x

（1,

f（x）-（lnX+k）>0,即f（x）X_1X

1

（1,）时，（k-1）

1-k

1

）时，h（x）>0,

1-k

lnxk

>+—

x-1x

2'

（X+1）+2x>0,故h（x）>0，而

1

可得2h（x）<0,与题设矛盾。

1-x

（iii）设k_1.此时h

（x）

>0,而h

（1）=0,故当

（1,）时，h（x）>0,可得」h

1-x

（X）<0,

与题设矛盾。

综合得,

k的取值范围为（

解：

（2）

故要证:

lnx1

二■—.

x1x

、lnx「卄十lnx1lnx

f（x）只需证——

X-1X+1XX-1

x>1与0

由

（1）知f（x）

为去分母，故分

当x>1时，需证

2

x（x-1）lnxx-1x（x1）lnx

即lnx/1

x

即需证lnx：

：

x一丄

x

（1）

11

设g（x）=lnx-x，则g'（x）1

x

由x>1得g'（x）：

：

：

0，所以

所以

当x>1时g（x）<0

同理

0

1

g（x）=lnx-x在（1,

x

即

（1）式成立.

1

x——

x

而由

1

0

x

当0

（2）式成立.

所以

综上所证，知要证不等式成立.

点评：

抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算.

（22）解:

（I）连接DE,根据题意在△ADE和厶ACB中,

ADXAB=mn=AE

+：

：

）上为减函数.又因g

（1）=0

（0,

1）上为增函数.又因g

（1）=0

ADAE

即acTab*又/DAE=/CAB，从而△ADE心ACB

因此/ADE=/ACB

所以C,B,D,E四点共圆。

H

2_.、

（n）m=4,n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为xi=2,X2=12.

故AD=2,AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线相交于H点，连接

DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

1

由于/A=90°，故GH//AB,HF//AC.HF=AG=5,DF=-（12-2）=5

2

故C,B,D,E四点所在圆的半径为52

（23）解:

从而C2的参数方程为

（:

-为参数）

（n）曲线C1的极坐标方程为

=4sinv，曲线C2的极坐标方程为『=8sin。

射线与C1的交点A的极径为'^=4sin■,

33

nn

射线与C2的交点B的极径为》=8sin。

33

所以|AB|=|「2」1|=2',3.

（24）解：

（I）当a=1时，f（x）-3x2可化为

|x-1|_2。

由此可得x-3或x乞T。

故不等式f（x）_3x，2的解集为

{x|x_3或x-T}。

（n）由f（x）乞0得

x—a

此不等式化为不等式组

x_a

x-a3x_0

x_a

即x:

:

:

—

_4

x_a或

a-x3x_0

因为a0，所以不等式组的解集为1x|x_-？

？

2

a

由题设可得=-1，故a=2

2