普通高等学校招生全国统一考试.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要每位同学参加各个小组的可能性相同,C. y = -x2 1 D. y =2抽3 执行右面的程序框图，如果输入的 N是6，那么输出的p是A .120B .720C .1440D.50404.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为5.已知角二的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x上，贝U cos2 =4A .53C.56.在一个几何体的三视图中, 则相应的俯视

2、图可以为3B .54D .5正视图和俯视图如右图所示,(A)(B)(C)7.I与C交于A,B两点， AB为C设直线I过双曲线C的一个焦点，且与 C的一条对称轴垂直,的实轴长的2倍，则C的离心率为A . 2 B.、.3 C. 2 D. 3(mV 1 5& x+Z|2x-1 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为I X人 X丿A . -40 B. -20 C . 20 D . 409.由曲线y = .X，直线y =x -2及y轴所围成的图形的面积为10A . B . 4310 .已知a与b均为单位向量，其夹角为-2兀)P : a +b 1二日 卩,兀F3: a b 1二日乏 |0,3

3、1 3丿其中的真命题是A. R, R B . R, B16C .3D . 6日，有下列四个命题P2:a +ba1 二i 日 一，兀P4:a b1 =aC . B, R D . R2, F411.设函数f(x)n(os(的最小正周期为二且3) fX)，则二 二 3 二A . f (x)在0, 单调递减 B . f (x)在 一，3 单调递减I 2丿 14 4丿C . f(x)在0,单调递增 D . f(x)在 一，二 单调递增I 2丿 14 4丿1 一12.函数y 的图像与函数y =2sin二x(-2咗x乞4)的图像所有交点的横坐标之和等于x TA . 2 B . 4 C . 6 D . 8本卷

4、包括必考题和选考题两部分。第 13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题一第24题为选考题，考生根据要求做答。二、 填空题：本大题共 4小题，每小题5分。(3 込 2x 丁 v 込 9,13. 若变量x, y满足约束条件 则z=.x 2y的最小值为 。6兰x y兰9,14. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 R,F2在 x轴上，离心率为 -。过2F1的直线交于CA,B两点，且L ABF2的周长为16，那么C的方程为 。15 已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4的球O的球面上，且 AB = 6,BC = 2、3 ,则棱锥O - ABCD的体积为 。16在L

5、ABC中，B =60 AC =请3，则AB - 2BC的最大值为 _。三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)等比数列CaJ的各项均为正数，且 2a, 3a2 -1,a39a2a5.求数列:a/?的通项公式.1 1设 bn =log3a1 Iog3 a? Iog3an,求数列 的前 n 项和.18.(本小题满分12分)如图，四棱锥 PABCD中，底面ABCD为平行四 边形，/ DAB=60 ,AB=2AD,PD 丄底面 ABCD. (I )证明：PA丄BD ;(II)若PD=AD，求二面角 A-PB-C的余弦值。19.(本小题满分12分)某种产品的质量以

6、其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为 A配方和B配方)做试验，各生产了 100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90, 94)94, 98)98 , 102)102 , 106)106, 110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90, 94)94, 98)98 , 102)102 , 106)106 , 110频数412423210(I)分别估计用 A配方，B配方生产的产品的优质品率;(II)已知用B配方生产的一种产品利润 y (单位：元)与其质量指

7、标值 t的关系式为-2, t : 94Iy = 102从用B配方生产的产品中任取一件， 其利润记为X (单位：元).求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)20. (本小题满分12 分)在平面直角坐标系 xOy中，已知点A (0, -1), B点在直线y = -3上, MA lAb = MB_BA , M点的轨迹为曲线C.(I)求C的方程;(II) P为C上动点，丨为C在点P处的切线，求 0点到丨距离的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=创口 b，曲线y = f (x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x 2y -

8、3 =0 . x + 1 x(I)求a, b的值；ln x k(II)如果当x0，且x =1时，f(x) ，求k的取值范围.X T x请考生在第 22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲如图，D，E分别为 ABC的边AB，AC上的点，且不与 cABC的顶点重合.已知 AE的长为 m，AC的长为n, AD, AB的长是关于x的方程x2 -14x mn =0的两个根.(I)证明：C, B, D, E四点共圆；(II)若乙A =90，且m =4,n =6,求C,

9、 B, D , E所在圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程f x =2cos 二在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为 (为参数)，M为G上的动点，P=2 +2sin aT点满足OP =2OM，点P的轨迹为曲线C2.(I)求C2的方程；(II) 在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与G的异于极点的交点3为A，与C2的异于极点的交点为 B ,求|AB|.24.(本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲设函数 f (x) =|x -a|，3x，其中 a 0 .(I)当a=1时，求不等式f (x) _3x 2的解集(II)若不等式f (x)乞0的解集

10、为 x| x乞-1，求a的值.2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案、选择题(1) C(2) B(3) B(4) A(5) B(6) D(7) B(8) D(9) C(10) A(11) A(12)D、填空题2 2(13) -6(14)x y 1(15) 8 3(16)2 716 8三、解答题(17)解：(I)设数列 仙的公比为q，由al =9320,得a；=9a2所以q2 =丄。91由条件可知c0,故q二一。31 由 2a1 3a2 =1得 2a1 3a2q =1，所以 a31故数列an的通项式为an= n。3n(n ) bn 二也印 log3a2 log3a.= -(1

11、2 . n) n(n +1)-2(18) 解:(I)因为 DAB = 60 , AB 二 2AD ,由余弦定理得 BD 二、3AD从而 BD2+AD2=AB2,故 BD 丄 AD 又PD _底面 ABCD，可得 BD _ PD 所以BD _平面PAD.故 PA_ BD(n)如图，以 D为坐标原点，AD的长为单位长，射线 DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D- xyz，则A 1,0,0 , B 0八3,0 , C 3,0 , P 0,0,1。故二面角A-PB-C的余弦值为(19 )解产品的优质品率的估计值为 0.42(n)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 90,94 ,1.9

12、4,102 ,102,110】的频率分别为 0.04，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，即X的分布列为X-224P0.040.540.42X 的数学期望值 EX=-2 X0.04+2 0.54+4 0.42=2.68(20)解：(I )设 M(x，y)，由已知得 B(x，-3)，A(0，-1).uuu uuu uur所以 MA= (-x， -1-y)， MB =(0，-3-y)， AB =(x， -2).uuu uuu uur再由题意可知(MA+MB ) ? AB =0，即(-x，-4-2y) ?(x，-2)=0.1 2所以曲线

13、C的方程式为y= x -2.41 2 ， 1 1(n )设P(x 0, y 0)为曲线C: y= x -2上一点，因为y = x，所以l的斜率为一 x0 4 2 2因此直线 l 的方程为 y-y0 =丄 x0(xx0)，即 x0x-2y 2y0-x = 0 。22则O点到l的距离d2y x2| .又 y。J x2 2，所以、x2 4 41xo 4 1 4d = = (xo +4+ )王2,xo2 4 2(川 x2 4，2当xo=O时取等号，所以 O点到I距离的最小值为 2.(21)解:2In x k、 1 (k-1)(x T)、f(x)-( ) 2(21 nx )。X 1 X 1 x x考虑函

14、数 h(x) = 21 n x (k_1U (x . o)，则x2h(x(k-1)(x：1) 2x。2 2k(x2 +1) _(x _1)2x2(i)设 k 空0，由 h(x) 2 知，当 x = 1 时，h(x)：0。而 h(1) = 0，故1当 X (0,1)时，h(x) 0,可得 2h(x) 0;1 -x 1当 (1, + ：)时，h (x) 01 -x从而当x0，且x = 1时,(ii )设0k0,即 f (x) X _1 X1(1, )时，(k-1)1 -k1)时，h (x) 0,1 -kln x k + x - 1 x2 (X +1) +2x0 ,故 h (x) 0，而1可得 2

15、h (x) 0,而 h (1) =0,故当(1, )时，h (x) 0,可得h1 - x(X) 1与0x1时，需证2x(x-1)lnx x -1 x(x 1)lnx即 lnx/ 1x即需证ln x ： x 一丄x(1)1 1设 g(x) = ln x -x ，则 g (x) 1x由 x1 得 g(x) ：0，所以所以当 x1 时 g( x) 0同理0x1时，需证ln x1g (x) = ln x -x 在(1,x即(1 )式成立.1xx而由10x1 得 g (x) 0 ,所以 g(x) = ln xX 在x当0x1时g (x) 0 即(2)式成立.所以综上所证，知要证不等式成立.点评：抓住基本

16、思路，去分母化简问题，不可死算.(22)解:(I)连接DE,根据题意在 ADE和厶ACB中,ADX AB=mn=AE AC ,+ ：)上为减函数.又因 g (1) =0(0,1) 上为增函数.又因 g (1) =0AD AE即 acTab*又/ DAE= / CAB，从而 ADE 心 ACB因此/ ADE= / ACB所以C, B , D , E四点共圆。H2 _.、(n) m=4, n=6 时，方程 x-14x+m n=0 的两根为 xi=2 , X2=12.故 AD=2 , AB=12.取CE的中点G , DB的中点F,分别过G , F作AC, AB的垂线，两垂线相交于 H点，连接DH.因

17、为C，B，D，E四点共圆，所以 C，B，D，E四点所在圆的圆心为 H，半径为DH.1由于/ A=90，故 GH / AB , HF / AC. HF=AG=5 , DF= - (12-2)=52故C, B , D, E四点所在圆的半径为 5 2 (23)解:从而C2的参数方程为(:-为参数)(n)曲线C1的极坐标方程为= 4sin v，曲线C2的极坐标方程为 =8sin 。射线 与C1的交点A的极径为 = 4sin ,3 3n n射线 与C2的交点B的极径为=8sin 。3 3所以 | AB|=|21|=2,3.(24)解：(I)当a =1时，f(x) -3x 2可化为| x -1| _ 2。由此可得 x - 3或x乞T。故不等式f(x)_3x，2的解集为x|x_3 或 x-T。(n)由f (x)乞0得x a此不等式化为不等式组x _ ax -a 3x _0x _ a即 x :_4x _ a 或a - x 3x _0因为a 0，所以不等式组的解集为 1x|x _ - ？ ？2a由题设可得 =-1，故a = 22