全等三角形性质和判定.docx

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全等三角形性质和判定

全等三角形的性质和判定

要点一、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

要点二、对应顶点，对应边，对应角

1.对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

要点诠释：

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

要点三、全等三角形的性质

　　全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

要点四、全等三角形的判定

（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）

全等三角形判定一（SSS，SAS）

全等三角形判定1——“边边边”

三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

要点诠释：

如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定2——“边角边”

1.全等三角形判定2——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：

如图，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△.注意：

这里的角，指的是两组对应边的夹角.

2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.

【典型例题】

类型一、全等三角形的判定1——“边边边”

1、已知：

如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．

求证：

RM平分∠PRQ．

证明：

∵M为PQ的中点（已知），

∴PM＝QM

在△RPM和△RQM中，

∴△RPM≌△RQM（SSS）．

∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．

即RM平分∠PRQ.

举一反三：

【变式】已知：

如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：

∠CAD＝∠DBC.

类型二、全等三角形的判定2——“边角边”

2、已知：

如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．

求证：

BC＝DE．

证明：

∵∠1＝∠2

∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE

在△ABC和△ADE中

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）

3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．

证明：

延长AE交CD于F，

∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形

∴AB＝BC，BD＝BE

在△ABE和△CBD中

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE＝CD，∠1＝∠2

又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）

∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°

∴AE⊥CD

举一反三：

【变式】已知：

如图，PCAC，PBAB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，

求证：

QC＝QB

类型三、全等三角形判定的实际应用　

4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．

【答案与解析】

证明：

在△DEH和△DFH中，

∴△DEH≌△DFH（SSS）

∴∠DEH＝∠DFH．

一、选择题

1.△ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（）

A.△ABC≌△B.△ABC≌△

C.△ABC≌△D.△ABC≌△

2.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）

A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC

3.下列判断正确的是（）

A.两个等边三角形全等

B.三个对应角相等的两个三角形全等

C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等

D.直角三角形与锐角三角形不全等

6.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）

A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED＋AB＝DBD.DC＝CB

二、填空题

9.如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS）

10.如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.

12.已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌.

三、解答题

13.已知：

如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，

求证：

CO＝DO．

14.已知：

如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：

AD∥BC．

分析：

要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，

又需证______≌______．

证明：

∵AB∥CD（），

∴∠______＝∠______（），

在△______和△______中，

∴Δ______≌Δ______（）．

∴∠______＝∠______（）．

∴______∥______（）．

15.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：

AE＝DE.

全等三角形判定3——“角边角”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

要点诠释：

如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

要点二、全等三角形判定4——“角角边”

1.全等三角形判定4——“角角边”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）

2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

要点三、判定方法的选择

1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：

已知条件

可选择的判定方法

一边一角对应相等

SASAASASA

两角对应相等

ASAAAS

两边对应相等

SASSSS

类型一、全等三角形的判定3——“角边角”

1、已知：

如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．

求证：

AE＝CF．

证明：

∵AD∥CB

∴∠A＝∠C

在△ADF与△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA）

∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF

故得：

AE＝CF

举一反三：

【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：

AB＝CD.

类型二、全等三角形的判定4——“角角边”

2、已知：

如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．

求证：

AD＝AC．

证明：

∵AB⊥AE，AD⊥AC，

∴∠CAD＝∠BAE＝90°

∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD

在△BAC和△EAD中

∴△BAC≌△EAD（AAS）

∴AC＝AD

举一反三：

【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.

求证：

BE＝CF.

【答案】

证明：

∵AD为△ABC的中线

∴BD＝CD

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在△BED和△CFD中

∴△BED≌△CFD（AAS）

∴BE＝CF

3、已知：

如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．

（1）求证：

AC与BD互相平分；

（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，

求证：

OE＝OF.

证明：

∵AB∥DC

∴∠Ａ＝∠Ｃ

　　　在△ABO与△CDO中

∴△ABO≌△CDO（AAS）

∴AO＝CO，BO=DO

在△AEO和△CFO中

∴△AEO≌△CFO（ASA）

∴OE＝OF.

一、选择题

1.能确定△ABC≌△DEF的条件是（）

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E

B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E

C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E

2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）

图4－3

A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙

3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）

A．DE＝DFB．AE＝AFC．BD＝CDD．∠ADE＝∠ADF

4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（）

A．∠M＝∠NB．AB＝CDC．AM＝CND．AM∥CN

6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）

A．△ADC≌△BCDB．△ABD≌△BAC

C．△ABO≌△CDOD．△AOD≌△BOC

二、填空题

7.如图,∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是.

（填上你认为适当的一个条件即可）.

8.在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且AC＝，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）

9.已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.

11.如图,已知：

∠1＝∠2,∠3＝∠4,要证BD＝CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是，再证△BDE≌△，根据是．

12.已知:

如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，

（1）若以“ASA”为依据，还缺条件

（2）若以“AAS”为依据，还缺条件

（3）若以“SAS”为依据，还缺条件

三、解答题

13．阅读下题及一位同学的解答过程：

如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？

若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．

答：

△AOD≌△COB．

证明：

在△AOD和△COB中，

∴△AOD≌△COB（ASA）．

问：

这位同学的回答及证明过程正确吗？

为什么？

14.已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：

AC与BD互相平分.

15.已知：

如图,AB∥CD,OA＝OD,BC过O点,点E、F在直线AOD上,且AE＝DF.

求证：

EB∥CF.

要点一、判定直角三角形全等的一般方法

由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.

要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般