小学数学基础知识总复习.docx
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小学数学基础知识总复习
小学数学基础知识总复习
一、数的概念
自然数:
用来表示物体个数的 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10……叫做自然数。
整数:
包含自然数和负整数,自然数都是整数,整数不都是自然。
小数:
小数是特殊形式的分数。
但是不能说小数就是分数。
混小数(带小数):
小数的整数部分不为零的小数叫混小数,也叫带小数。
纯小数:
小数的整数部分为零的小数,叫做纯小数。
循环小数:
小数部分一个数字或几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循
环小数。
例如:
0.333……,1.2470470470……都是循环小数。
纯循环小数:
循环节从十分位就开始的循环小数,叫做纯循环小数。
例如:
0.3、0.256、0.0157。
混循环小数:
不是从十分位开始循环的循环小数,叫混循环小数。
例如:
3.28、12.058。
有限小数:
小数的小数部分只有有限个数字的小数(不全为零)叫做有限小数。
无限小数:
小数的小数部分有无数个数字(不包含全为零)的小数,叫做无限小数。
循环小数都是无限小数,无限小数不一定都是循环小数。
例如,圆周率 π 也是无限小
数。
分数:
表示把一个“单位 1”平均分成若干份,取其中的一份或几份的数,叫做分
数。
(分成 0 份在此不讨论)
真分数:
分子比分母小的分数叫真分数。
假分数:
分子比分母大,或者分子等于分母的分数叫做假分数。
(分母、分子为零
在此不讨论)
带分数:
一个整数(零除外)和一个真分数组合在一起的数,叫做带分数。
带分数
也是假分数的另一种表示形式,相互之间可以互化。
数与数字的区别:
1、数字(也就是数码):
是用来记数的符号,通常用国际通用的阿拉伯数字 0--9
这十个数字。
其他还有中国小写数字,大写数字,罗马数字等等。
1
2、数是由数字和数位组成。
0 的意义:
0 既可以表示“没有”,也可以作为某些数量的界限。
如温度等。
0 是一
个完全有确定意义的数。
0 是一个数。
0 是一个偶数。
0 是任何自然数(0 除外)的倍数。
0 有占位的作用。
0 不能作除数。
十进制:
十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法。
特点是相邻两个单位之间
的进率都是十。
10 个较低的单位等于 1 个相邻的较高单位。
常说“满十进一”,这种
以“十”为基数的进位制,叫做十进制。
二、四则运算:
加法:
把两个数合并成一个数的运算,叫做加法,其中两个数都叫“加数”,结果
叫“和”。
减法:
已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。
减法
是加法的逆运算。
其中“和”叫“被减数”,已知的加数叫“减数”,求出的另一个
加数叫“差”。
乘法:
求几个相同加数的和的简便运算,叫做乘法。
其中相同的这个数及几个这样
的数都叫“因数”,结果叫“积”。
除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算,叫做除法。
除法
是乘法的逆运算。
其中“积”叫做“被除数”,已知的一个因数叫做“除数”,求出
来的另一个因数叫做“商”。
加、减法的运算定律:
加法交换律:
两个数相加,交换两个加数的位置,和不变,叫做加法交换律。
加法结合律:
三个数相加,先把前二个数相加,再加第三个数,或者,先把后二个
数相加,再加上第一个数,其和不变。
这叫做加法结合律。
在减法中,被减数、减数同时加上或者减去一个数,差不变。
在减法中,被减数增
加多少或者减少多少,减数不变,差随着增加或者减少多少。
反之,减数增加多少或
者减少多少,被减数不变,差随着减少或者增加多少。
在减法中,被减数减去若干个减数,可以把这些减数先加,差不变。
乘法运算定律:
乘法的交换律:
两个数相乘,交换两个因数的位置,积不变。
这叫做乘法的交换律。
2
乘法的结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数,或者,先把后
两个数相乘,再和第一个数相乘,积不变。
这叫做乘法结合律。
乘法分配律:
两个数的和(或差)与一个数相乘,等于把这两个数分别与这个数相
乘,再把两个积相加(或相减)。
这叫做乘法分配律。
乘法的其他运算定律:
一个因数扩大若干倍,必须把另一个因数缩小相同的倍数,
其积不变。
除法的运算定律---商不变性质 :
两个数相除,被除数和除数同时扩大或者缩小相
同的一个数(0 除外),商的大小不变。
乘法的意义:
一道乘法算式一般有下面几个意义:
1、求几个相同加数的和是多少?
例如:
27×13,表示求 13 个 27 的和是多少?
也
可以表示求 27 的 13 倍是多少?
2、求一个数的几分之几是多少?
例如:
27×0.3 或者 27×的意义:
求 27 的
十分之三是多少?
除法的意义:
一道除法算式,一般有下面几个意义:
1、一个数里有几个除数。
简称“包含除法”。
例如,24÷3 表示 24 里面包含有几
个 3。
2、一个数是另一个数的多少倍。
例如:
24÷3,表示 24 是 3 的多少倍?
3、把一个数平均分成若干份,每份是多少?
简称“等分除法”。
例如:
24÷3,表示把 24 平均分成 3 份,每份是多少?
4、已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
例如:
24÷表示:
已知一个数的三分之一是 24,求这个数。
三、数的整除:
整除与除尽的区别:
整除:
甲数除以乙数(甲、乙为自然数),商是整数,余数为
零。
就说甲数能被乙数整除。
除尽:
甲数除以乙数(乙数不为零),商是有限数。
就
说甲数能被乙数除尽。
整除可以说是除尽,但除尽就不能说一定叫整除。
例如:
1÷5=0.2,叫除尽,但不叫整除。
因为商是小数。
又如:
10÷3=3……1,既不叫整
除,(因为余数不为零)也不叫除尽。
因数和倍数:
当甲数能被乙数整除时,就说甲数是乙数的倍数,乙数是甲数的因数。
这两个概念都是相对而存在。
一个自然数,不存在是否倍数与因数。
例如:
“3 是因数”
3
,就是一个错误说法。
只能是对 3、6、9、……等数而言,是其中某个数的因数。
一个
数的最小因数是 1,最大因数是它本身。
一个数的最小倍数是它本身,没有最大倍数。
奇数与偶数:
凡是能被 2 整除的数叫偶数,反之,不能被 2 整除的数叫奇数。
0 是
最小的偶数,1 是最小的奇数。
质数(素数)与合数:
一个数的因数只有 1 和它本身的数叫做质数,也叫素数。
反
之,一个数的因数除了 1 和它本身以外,还有其他的因数,这个数就叫合数。
最小的
质数是 2,最小的合数是 4。
1 是否质数:
由于 1 的因数只有 1 个,所以 1 既不是质数,也不是合数。
公因数:
几个数公有的因数,叫做公因数。
它的个数是有限的,既有最大的,也有
最小的。
几个数公有的因数中,最大的一个就叫做这几个数的最大公因数。
互质数:
两个数的公因数只有 1,而没有其他公因数的,这两个数就叫互质数。
质数与互质数:
这两个概念没有什么联系。
两个质数,不能肯定就是互质数。
只有
两个不相同的质数,才能肯定是互质数。
另外,两个合数既可能是互质数,也可能不
是互质数,但不能说两个合数一定不是互质数。
质因数:
把一个合数分解成几个质数相乘的形式,这样的质数叫做质因数。
分解质因数:
把一个合数分解成几个质数相同的形式,就叫做分解质因数。
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做公倍数。
它的个数是无限的,只有最小的,没有
最大的。
几个数公有的无限个倍数中,最小的一个,就叫做这几个数的最小公倍数。
能被 2 整除的判断方法:
一个数能否被 2 整除,只要看这个数的末尾是否有
0、2、4、6、8 这五个数的其中一个即可。
能被 5 整除的判断方法:
一个数能否被 5 整除,只要看这个数的末尾是否有 0、5
这两个数的其中一个即可。
能被 3 整除的判断方法:
一个数能否被 3 整除,只要看这个数的各个数位上的数
字之和能否被 3 整除。
四、分数知识:
1、分数单位:
分子为 1,分母不为零的真分数,就叫这个分数的分数单位。
例如:
的分数单位是 ,它有 7 个这样的分数单位。
又如 1的分数单位是,它有 13
个这样的分数单位(将带分数化成假分数)。
2、分数化有限小数的判断方法:
一个分数能否化成有限小数,主要看分母(这里
4
的分数一定是最简分数)是不是只有质因数“2 或 5”。
掺杂任何其他质因数,都不能
化成有限小数,反之,就一定能化成有限小数。
例如:
、、等都能化成有
限小数。
、、都不能化成有限小数。
3、分数没有基本单位:
不同的
分数,有不同的分数单位。
没有一个共同的标准量,就没有基本单位。
4、分数的基本性质:
一个分数的分子、分母同时乘上或除以相同的数(零除外),
分数的大小不变,这叫分数的基本性质。
5、分数的通分、约分:
通分:
把几个单位不同的分数,化成相同单位,且大小不
变的分数,叫做通分。
约分:
把一个分数化成同它相等的,分子、分母较小的分数,
叫做约分。
6、百分数:
表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。
百分数又叫百
分率或百分比。
百分数是特殊分数。
特征是分母为 100,采用符号“%”(叫做百分号)
来表示。
分子可以是整数,也可以是小数。
百分数不能有单位。
7、分率:
两个相同量的比的比值,用百分数的形式表示时,这个比值叫做这两个
量的百分率,也叫百分比。
通常的“××率”就是百分数。
如“出勤率”等。
8、准确数与近似数(近似值):
与实际情况完全符合的数,叫做准确数。
与实际情况接近而有一定误差的数,叫做近似数(或叫近似值)。
五、计量单位:
1、名数与不名数:
量数与计量单位名称合起来叫做名数。
例如:
7 米、18 千克、9
时 25 分等都叫名数。
没有带单位名称的数,叫做不名数。
如 2、4、6、8 等,都叫不
名数。
2、单名数与复名数:
只含有一个计量单位名称的名数叫做单名数。
例如 7 米、18
千克等都叫做单名数。
含有两个或者两个以上的同类计量单位名称的名数,叫做复名
数。
例如:
2 米 3 分米 5 厘米,8 小时 33 分,8 吨 8 千克等都叫复名数。
3、高级单位与低级单位:
计量单位较大的叫做高级单位,计量单位较小的叫做低
级单位。
高、低级单位是相对的,没有单个的高、低级单位的名数。
常用的计量单位:
1 千米=1000 米1 米=10 分米=100 厘米1 分米=10 厘米=100 毫米
1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米1 公顷=10000 平方米
1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米1 平方分米=100 平方厘米
5
1 立方米=1000 立方分米1 立方分米=1000 立方厘米
1 立方米=1000 升1 升=1000 毫升
1 吨=1000 千克1 千克=1000 克1 世纪=100 年1 年=12 月
1 日=24 时1 时=60 分1 分=60 秒1 元=10 角1 角=10 分
4、公历年的平年、闰年:
平年:
把公历年份除以 4(这里不是整百的公历年份)有余数时,就把这一年叫做
平年,计 365 天。
其中二月份有 28 天。
闰年:
把公历年份除以 4(这里不是整百的公历年份)余数为零时,就把这一年叫
做闰年,计 366 天。
其中二月份有 29 天。
如果年份是整百的,则除以 400,再看余数。
5、时刻与时间:
时刻表示一天内某一个特指的时候,例如上午 8 时 30 分开会,这
里的“8 时 30 分”这是时刻。
时间表示两个时期或两个时刻的间隔。
例如,做作业用
去 30 分钟,这里的“30 分钟”就是时间。
六、比和比例:
1、比和比值 :
比:
两个数相除,叫做两个数的比。
一般地当数 a 除以 b(b≠0)就叫
做 a 与 b 的比,记作 a:
b。
也可以用分数形式表示为。
比值:
比的前项除以后项所得
的商,叫做比值。
比和比值有本质的不同。
如既可看作是比,又可看作是比值。
如果化成 0.6 ,则只能表示为比值。
2、比的化简:
把一个比化为最简整数比,叫做比的化简。
一般情况下,化简以后
的比,前后两项为互质数。
3、比例:
表示两个比相等的式子叫做比例。
图上距离:
实际距离=比例尺实际距离=图上距离÷比例尺
图上距离=实际距离×比例尺
4、正比例 :
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量
中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的
关系叫做正比例关系。
用字母表示:
=k(一定)
5、反比例 :
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量
中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例
关系。
用字母表示:
xy=k(一定)
6
七、方法
(一)数的读法和写法
1. 整数的读法:
从高位到低位,一级一级地读。
读亿级、万级时,先按照个级的
读法去读,再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的 0 都不读出来,其它数
位连续有几个 0 都只读一个零。
2. 整数的写法:
从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,
就在那个数位上写 0。
3. 小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,
小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4. 小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位
右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字
5. 分数的读法:
读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照
整数的读法来读。
6. 分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
7. 百分数的读法:
读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照
整数的读法来读。
8. 百分数的写法:
百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号
“%”来表示。
(二)数的改写
一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的
数。
有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
1. 准确数:
在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或
亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把 1254300000 改写成以万做单位
的数是 125430 万;改写成以亿做单位的数 12.543 亿。
2. 近似数:
根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,
用一个近似数来表示。
例如:
1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
3. 四舍五入法:
要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小,就把尾数去掉;
如果尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大,就把尾数舍去,并向它的前一位进 1。
例如:
省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。
省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
7
进一法:
实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些 ,因此,要保留数的时候,省
略的位上的是 4 或者比 4 小,都要向前一位进 1。
这种取近似值的方法叫做进一法。
计
算使用材料有时要用“进一法”,计算物体的容积有时要用“去尾法”。
4. 大小比较
(1) 比较整数大小:
比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就
看最高位,最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位
上的数大那个数就大。
(2) 比较小数的大小:
先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整
数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的
数大的那个数就大……
(3) 比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,
分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
(三)数的互化
1. 小数化成分数:
原来有几位小数,就在 1 的后面写几个零作分母,把原来的
小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
2. 分数化成小数:
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,
不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
3. 一个最简分数,如果分母中除了 2 和 5 以外,不含有其他的质因数,这个分
数就能化成有限小数;如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数,这个分数就不能化成有
限小数。
4. 小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
5. 百分数化成小数:
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向
左移动两位。
6. 分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),
再把小数化成百分数。
7. 百分数化成小数:
先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
(四)数的整除
1. 把一个合数分解质因数,通常用短除法。
先用能整除这个合数的质数去除,一
直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
8
2. 求几个数的最大公约数的方法是:
先用这几个数的公约数连续去除,一直除到
所得的商只有公约数 1 为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的
最大公因数。
3. 求几个数的最小公倍数的方法是:
先用这几个数(或其中的部分数)的公因数
去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积
就是这几个数的最小公倍数。
4. 成为互质关系的两个数:
1 和任何自然数互质 ;相邻的两个自然数互质;当
合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;两个合数的公约数只有 1 时,这
两个合数互质。
(五) 约分和通分约分的方法:
用分子和分母的公因数(1 除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法:
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最
小公倍数作分母的分数。
八、几何计算
A、线和角
(1)线:
直线:
直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只能画
一条直线。
射线 :
射线只有一个端点;长度无限。
线段:
线段有两个端点,它是直
线的一部分;长度有限;两点的连线中,线段为最短。
平行线:
在同一平面内,不相
交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
垂线:
两条直线相交
成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点
叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
(2)角:
从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点,这
两条射线叫做角的边。
角的分类:
锐角:
小于 90°的角叫做锐角。
直角:
等于
90°的角叫做直角。
钝角:
大于 90°而小于 180°的角叫做钝角。
平角:
角的两边
成一条直线,这时所组成的角叫做平角。
平角 180°。
周角:
角的一边旋转一周,与
另一边重合。
周角是 360°。
(3)面积和地积:
面积是用来表示一个物体的表面或者平面的大小。
地积就是土地
的面积。
(4)体积和容积(容量):
体积:
用来表示物体所占空间的大小,叫做体积。
容积:
9
一个容器所能容纳物体的体积,叫做容积或容量。
B、平面图形
1、长方形:
特征:
对边相等,4 个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
计算公式:
C=2(a+b)S=ab
2、正方形:
特征:
四条边都相等,四个角都是直角的四边形。
有 4 条对称轴。
计
算公式 :
C = 4 aS = a²
3、三角形:
(1)特征 :
由三条线段围成的图形。
内角和是 180 度。
三角形具有稳
定性。
三角形有三条高。
(2)计算公式:
S = a h÷2 (3)分类:
按角分――锐角三角形
:
三个角都是锐角。
直角三角形 :
有一个角是直角。
等腰三角形的两个锐角各为 45
度,它有一条对称轴。
钝角三角形:
有一个角是钝角。
按边分 :
不等边三角形:
三条边
长度不相等。
等腰三角形:
有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。
等边
三角形:
三条边长度都相等;三个内角都是 60 度;有三条对称轴。
4、平行四边形:
(1)特征:
两组对边分别平行的四边形。
相对的边平行且相等。
对
角相等,相邻的两个角的度数之和为 180 度。
平行四边形容易变形。
(2)计算公式:
S = a h
5、梯形:
(1)特征 :
只有一组对边平行的四边形。
中位线等于上下底和的一半。
等腰梯形有一条对称轴。
(2) 公式 :
S = ( a + b ) h÷2
6、圆 :
(1)圆的认识:
平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。
一般用
字母 o 表示。
半径:
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用 r 表示。
在同
一个圆里,有无数条半径,每条半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线
段叫做直径。
一般用 d 表示。
同一个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。
同一个
圆里,直径等于两个半径的长度,即 d=2r。
圆的大小由半径决定。
圆有无数条对称轴。
(2)圆的画法:
把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径);把有针尖的
一只脚固定在一点(即圆心)上;把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一个圆。
(3) 圆的周长:
围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做
圆周率。
用字母 π 表示。
(4) 圆的面积:
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
(5)计算公式 :
d=2rr = d÷2C= π dC=2 π rS = π r²
10
7、扇形的认识:
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
圆
上 AB 两点之间的部分叫做弧,读作“弧 AB”。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同
一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
扇形有一条对称轴。
8、环形:
(1)特征:
由两个半径不相等的同心圆相减而成,有无数条对称轴。
(2)计算公式:
S = π ( R² - r²)
9、轴对称图形:
(1)特征:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全
重合,这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
正方形有 4 条对
称轴, 长方形有 2 条对称轴。
等腰三角形有 1 条对称轴,等边三角形有 3 条对称轴。
等腰梯形有一条对称轴,圆有无数条对称轴。
菱形有 4 条对称轴,扇形有一条对称轴。
C、立体图形
(一)长方体
1、特征:
六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形)。
相对的面面积相
等,12 条棱相对的 4 条棱长度相等。
有 8 个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分
别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放
在桌面上,最多只能看到三个面。
长方体或者正方体 6 个面的总面积,叫做它的表面
积。
2、计算公式:
S = 2 ( a b + a h + b h )V=ShV=abh
(二)、正方体1、特征:
六个面都是正方形,六个面的面积相等 ,12 条棱,棱
长都相等 ,有 8 个顶点。
正方体可以看作是特殊的长方体。
2、计算公式:
S 表= 6 a²V = a³
(三)、圆柱:
1、圆柱的认识 :
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫
做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高 。
2、计算公式 :
S 侧= C hS 表= S 侧+ S 底×2
V=Sh= π r ² hS 底= π r²C=2 π r。
(四)、圆锥 1、圆锥的认识:
圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥
的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高:
先把圆锥的底面放平,用一块
平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面
展开得到一个扇形。
2、计算公式:
11
V = S h÷3或V = π r² h÷3 。
九、统计与概率
收集数据时,采用画“正”字的方法比较简便。
常见的统计图有