结构动力学作业威尔逊θ法doc文档格式.docx
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一、威尔逊-法的原理
威尔逊-法是线性加速度法的一种拓展（当1时，两者相同），其基本思路
和实现方法是求出在时间段t,tt时刻的运动，其中1，然后通过内插得到
tit时刻的运动（见图1.1）。
图1.1
1、公式推导
推导由t时刻的状态求tt时刻的状态的递推公式：
ytyt（yttyt）
t
对积分
y
yty
2
（y
yt
）
3
6
（
tyt）
tyt
1
yt）
t（yt
（t）2
2yt）
2（ytt
2yt
t）
3（y
yt）2yt
m
C
k
P
myt
Cyt
kyt
Pt
Rt
62
3c
t）
R
（Pt
Pt）m（
2yt）c（3
t2yt
ty
（t）2
2、MATLAB源程序：
clc;
clear;
K=input（'
请输入结构刚度k（N/m）'
）;
M=input（'
请输入质量（kg）'
C=input（'
请输入阻尼（N*s/m）'
t=sym（'
t'
%产生符号对象t
Pt=input（'
请输入荷载）;
Tp=input（'
请输入荷载加载时长（s）'
Tu=input（'
请输入需要计算的时间长度（s）'
dt=input（'
请输入积分步长（s）'
Sita=input（'
请输入'
uds=0:
dt:
Tu;
%确定各积分步时刻
pds=0:
Tp;
Lu=length（uds）;
Lp=length（pds）;
ifisa（Pt,'
sym'
）%荷载为函数
P=subs（Pt,t,uds）;
%将荷载在各时间步离散
ifLu>
Lp
P（Lp+1:
Lu）=0;
end
elseifisnumeric（Pt）%荷载为散点
ifLu<
=Lp
P=Pt（1:
Lu）;
else
P（1:
Lp）=Pt;
y=zeros（1,Lu）;
%给位移矩阵分配空间
y1=zeros（1,Lu）;
%给速度矩阵分配空间
y2=zeros（1,Lu）;
%给加速度矩阵分配空间
pp=zeros（1,Lu-1）;
%给广义力矩阵分配空间
yy=zeros（1,Lu-1）;
%给y（t+theta*t）矩阵分配
FF=zeros（1,Lu）;
%给内力矩阵分配空间
y
（1）=input（'
请输入初位移（m）'
y1
（1）=input（'
请输入初速度（m/s）'
%------------------初始计算-------------------------
y2
（1）=（P
（1）-C*y1
（1）-K*y
（1））/M;
%初始加速度
FF
（1）=P
（1）-M*y2
（1）;
l=6/（Sita*dt）^2;
q=3/（Sita*dt）;
r=6/（Sita*dt）;
s=Sita*dt/2;
forz=1:
Lu-1
kk=K+l*M+q*C;
pp（z）=P（z）+Sita*（P（z+1）-P（z））+（l*y（z）+r*y1（z）+2*y2（z））*M+（q*y（z）+2*y1（z）+s*y2（z））*C;
yy（z）=pp（z）/kk;
y2（z+1）=l/Sita*（yy（z）-y（z））-l*dt*y1（z）+（1-3/Sita）*y2（z）;
y1（z+1）=y1（z）+dt/2*（y2（z+1）+y2（zp））;
y（z+1）=y（z）+y1（z）*dt+dt*dt/6*（y2（z+1）+2*y2（z））;
FF（z+1）=P（z+1）-M*y2（z+1）;
plot（uds,y,'
r'
）,xlabel（'
时间t'
）,ylabel（'
位移y'
）,title（'
位移图形'
二、利用威尔逊-法求冲击荷载下的结构反应
1、矩形脉冲
研究不同时长脉冲作用下，体系振动位移。
取单自由度刚度为1N/m，质量为
1/（4*pi^2）kg，频率为2*pis1，周期为1s，阻尼c=0，荷载为1N，积分步长为0.1，
=1.42，初位移为0，初速度为0时的质点位移时间图如下：
图2.1td1/4s1/4Tn
图2.2td1/2s1/2Tn
图2.3td1sTn
图2.4td1.25s1.25Tn
图2.5td1.5s1.5Tn
由图形可看出：
当td
Tn/2时，最大位移发生在荷载离开前；
Tn/2
时，最大位移发生在荷载离开后；
Tn/2时，最大位移发生在荷载离开时。
特别的，当td
Tn时，t
td后没有位移。
2、其他脉冲
图2.6负斜率直线
图2.7正斜率直线
图2.8二次抛物线
图2.95次抛物线
三、利用威尔逊-法求不同阻尼下结构自振反应
本体系度刚度为1N/m，质量为1/（4*pi^2）kg，频率为2*pis1。
故其临界阻尼
cr2m1/pi。
分别取结构阻尼c为：
0.05/pi，0.1/pi，1/pi，1.5/pi，进行计算。
计算结果见下图：
图3.10.05
图3.20.1
图3.31
图3.41.5
由图形对比可知，当1时，阻尼越大，结构运动衰减越快，此时结构处于小
阻尼状态；
当1体系不能振动，此时的c为临界阻尼；
当1时，为超阻尼系统，
不发生自由振动。
四、利用威尔逊-法求实例
已知：
如下图，W=438.18kN;
k=40181.1kN/m
体系位移反应。
图4.1结构图4.2荷载
由MATLAB计算出的结果见图4.3。
图4.3位移曲线
手算结果：
W
43
.88103kN
g
4
107
30.191/s
43.88
103
T
0.208s
t10.05T
133
S0.025430105.37510
A
S
5.375
103
4.057103m
43.88103
30.19
手算结果与电算结果近似相等，说明当冲击荷载作用时间远小于结构自振周期是，可近似认为最大位移AS（S为荷载与坐标轴所围成的面积）。
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