知识要点直线的倾斜角与斜率及直线方程Word格式.docx
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是
、兀GltCMTXπ
A.—B.—C.—D.——
3633
点拨:
转化为：
已知tana=-tan—,c?
∈[0,λ∙）,求α,答案：
C问题2:
求直线XCOS0+√3>
-+2=0的倾斜角的取值范用
点拨：
要从k=tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，
1当α∈[O,-）f⅛,/r∈[0Λ∞）,k随α的增大而增大；
2
2当QE（Z+s）时，k∈（-≪>
0）I&
随Q的增大而增大.
本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤.k=--cosθ,故：
心亜
33一一3
当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：
0≤α≤兰
36
当_迺“<
0时,直线的倾斜角α满足-≤a<
π
所以，直线的倾斜角的范围：
0≤a≤-和竺SavTr
66
（2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置
问题3：
已知函数f（x）=a∖{a>
O且a≠l）,当xVo时,f（x）>
1,方程y=ax+丄表
a
这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈（0,1）,从而斜率k∈（0,1）,截距b>
∖,故选C
（3）选择恰当的形式求直线方程
问题4:
过点P（-l,-2）的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
设直线方程要从条件和结论两方而考虑，为更好表示IPAMPB∖,本题用点斜式设出方程最简便。
解：
设直线/的方程为
22
y+2=k（x+l）,x=0,得y=k-2,y=0,得X=二一1,.∙.A（二—1,0）”（（U-2）,
kk
∕JPAI∙IPBI=^ι∣p+4∙√P7T=^2+p-+8≥4,当且仅当疋=右，即k二±
1时
等号成立，但k<
0,故直线/的方程为：
x+y+3=0:
（4）设直线方程时要考虑是否会有丢解的情况，如：
问题5:
求过点P（3,4）,且在y轴上的截距是在X轴上的截距的2倍的直线方程。
设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。
当直线过原点时,方程为y=-x;
当直线不经过原点时,设方程为-+-=L把P（3A）
3a2a
代入得a=5,:
.2x+y=10
4
综上,所求方程为y=—兀或2x+y=10
★热点考点题型探析★
考点1直线的倾斜角和斜率
题型1:
已知倾斜角（或范围）求斜率（或范围）或已知斜率（或范围）求倾斜角（或范围）
［例1］已知经过A（g2）,B（-加,加-1）,的直线的倾斜角为α,且45°
VaVI35°
试求实
数川的取值范用。
【解题思路】由倾斜角α的范用得出斜率k的范用,从而求出参数川的取值范用.
【解析】∙.∙45"
VαV135"
.∙.k>
∖sSik<
-V^n=0,
.∙.也二>
］或2川_JV_1或也=0,解得：
OVmVo或也<
0或也=0
一2m一2/7?
4
3
・••加的取值范用是（-s,二）
【需师指引】根据正切函数在［0,κ）上的单调性,要分
a∈（45°
90°
）；
α=90υα∈（90°
135°
）三种情况讨论,特别注意α=90°
时容易遗漏.
题型2:
动直线与线段（曲线段、区域）相交
［例2］已知直线i：
y=kx-2和两点P（1,2）、Q（-4,1）,若』与线段PQ相交，求k的取值范围；
【解题思路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范用，从而得
出斜率取值范帀
［解析］由直线方程y=kχ-2可知直线过定点（0,-2）,
・•k_1-（-2）_3_2-（-2）_
*⅛^（-4）-0^4∙wp^1-0
・••要使直线2与线段PQ有交点，则k的取值范囤
是和k≤-3∕4
【名师指引】
（1）用'
‘运动的观点”是解决这类问题的根本方法，注意'
'
两条直线相交”和
“直线与线段相交”的区别
（2）在观察动直线在运动过程中,要特別注意倾斜角是否含有90°
角，若含有■则斜率的范围是（y>
“］5他若不含有,则斜率的范围是［k^k2］（⅛Λ2
分别为线段端点与直线所过立点连线的斜率）
【新题导练】
1.下列多组点中，三点共线的是（）
B.（-2,-5）,（7,6）,（-5,3）
D.（0,0）,（2,4）,（一1,3）
A.（1,4）,（-1,2）,（3,5）
C.（1,0）,（0,-i）t（7,2）
【解析】C.由KAS二血可得
2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数/U）=Iogc（x+l）且a>
b>
c>
0,则型、竺的大小关系是
QhC
把迪、型、竺分别看作函数JrcV）=IOg：
（x+l）图像上的点（αj（d））,ej（∕2））,（c,∕（b））abC
与原点连线的斜率,对照草图可得答案
3（华南师大附中2009届高三综合测试"
已知直线;
二为参数）,则下
列说法错误的是（）
A.直线的倾斜角为arctan-
C.直线不经过第二象限
B.直线必经过点（1,-—）
D.当E时，昭闵应点5∣J点（1,2）御离为3√Σ
33
［解析ID.将直线方程化为3x-4y-25=0,直线的斜率为:
，直线的倾斜角为arctan丁,
将点（1,--）代入，满足方程，斜率为正，截距为负，直线不经过第二象限
X≤O
4.若A为不等式组｛y≥0表示的平面区域，则当"
从一2
y-x≤2
连续变化到1时，动直线x+y=α扫过A中的那部分区域的面积为
［解析］如图，当"
从一2连续变化到1时,动直线x+y=d扫过A中的那部分（四边形OBCD）
77
区域的面积与区域A（AABO）的而积之比为一，而区域A的而枳为2,故所求的而积为一
84
5.在平而直角坐标系中，点AB,C的坐标分别为（0,1）,（4,2）,（2,6）如果卩（上）,）是
∕∖ABCm成的区域（含边界）上的点，则一二的取值范用是
x+1
V2
［解析］:
把亠看作区域上的点与点（-b0）连线的斜率,结合图形可得结果为［-,2］
x+15
6.已知点A（-2,3）,B（3,2）,P（0,-2）,过P点的直线（与线段AB有公共点，求直线
C的斜率k的变化范围；
5454
［解析］kpA=——，kpB=—,画出图形，数形结合可得结果kw（-s,-=］5-,+s）
2323
考点2求直线方程
题型：
根据题目条件，选择方程的形式求直线方程
［例3］等腰直角三角形磁的直角顶点Q和顶点万都在直线2,r÷
y-6=0上，顶点月的坐标是（1,-1）,求边AB,EQ所在的直线方程.
【解题思路】从确定直线AB,AC的条件入手，直线月Q满足：
经过点A且垂直于直线
2-r+-y-6=0,
直线M满足:
经过点川且与直线2对厂6二0成工角,（或IAB等于点A到宜线2対厂6二0的4
距离的、伍倍）
解法1：
由条件知直线WC垂直于直线2.r÷
y-6=0,设直线XQ的方程为χ-2y+c=0,
把£
（1,-1）代入得C二-3,故直线EQ的方程为χ-2y-3=0,
∙.∙∣ACI=A=√5..JABI=ViO,（x,y）,则AI（X^I）'
+（〉'
+】）、】°
√5［2x+y-6=0
解得B（2,2）或3（4,—2）,所以直线AB的方程为3x—y—4=0或x+3y+2=0
解法2:
直线月Q的斜率为丄，由点斜式并化简得，直线HQ的方程为χ-2y-3=0
Jr—∙→
考虑直线個M的夹角为一，设直线血"
的方向向量分别为加=（2,1）J=（IQ
一一12+£
I./?
1
ξ⅛πr亍解得心或所以直线“的方程为
3x—y—4=O或X+3y+2=O
【名师指引】求直线方程的一般步骤：
（1）寻找所求直线的满足的两个条件
（2）将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组（3）列方程组求解
［例4］过点P（0,1）作直线厶使它被两直线Λι2x+y-8=0和乙：
χ-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程.
【解题思路1】：
设出直线丄的点斜式方程，分别与直线乙建立方程组，求出交点坐标，再用中点坐标公式求出k,即可求出1的方程；
解析1：
由题意可知直线［的斜率存在，设直线［的方程为y=kx+l
（y=α+l7Qr,,O
联立G+小=。
，解得交点坐标是性TrE）
y=kx+∖
X—3y+lO=O解得交点坐标是3（
77
+1
而点P（0.1）是AB的中点，・•.*土2-3«
二1=0,解得心-一，
24
故所求的直线方程为：
x+4y-4=0;
【解题思路2】：
设岀ZZ的交点A坐标（x1,yi）,通过中点坐标公式求岀幺与厶的交点B的坐标，然后分别将A,B两点的坐标带入直线儿，A的方程,联立方程组进行求解；
解析2：
设直线2与已知2”Zj的交点A（xι,y1）,B（x≡,y≡）
∙∙∙P是AB的中点
Vi+v2_q
2—°
fx2=~x∖
•••1Vi÷
.y2,1、即Iy9=2-y1，带入Z的方程的.
得（"
Xι）~3（2-yj+10-0,即xrβ3y厂4二0
rx1-3y1-4=0
联立i2X］+yl-8=0解得A（4,0）
口=二1,即x+4y-4二0・
1-00-4
（I）解法1思路明显,但运算量较大,解法2使用“设而不求”减少了运算量
（2）中点弦问题和两条曲线关于某点对称的问题，都可以考虑运用解法2中的“设而不求”【新题导练】
7.已知点X（3,4）
（1）经过点川且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：
:
（2）经过点川且与两坐标轴围成的三角形而积是1的直线方程为:
（3）经过点川且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为：
:
（4）经过点川且在X轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为：
［解析］
（1）4χ-3y=0或x+y—7=0
YV
［当直线经过原点时，方程为4χ-3y=0,当直线不经过原点时，设方程为一+丄=1,代aa入点A的坐标得直线方程x+y-7=0］
XV34
（2）2x—y_2=0或8λ,-9y÷
12=0;
［设直线方程为一+二=1,由二+—=1和IahI=2abab
求得α"
的值］
（3）X—y+l=O或x+y—7=0：
［斜率为1或-1,由点斜式易得］
（4）Λ,÷
2y-11=0或4χ-3y=0:
［当直线经过原点时，方程为4χ-3y=0,当直线不经过原点时，设直线方程为-+-=1＞由-+-=1和a=2h求得αb的值］
abab
8•已知直线Z经过点P（XA）,分别交X轴，y轴正半轴于点A,B,其中0为原点，求
△AOB的而积最小时，直线Z的方程：
［解析］设直线/的方程为y—4=E（X-I）,
44
令X=O,得y=4-R,令y=0,得兀=1一：
，・・・A（I—〒Q）,3（0,4—幻，
KK
・•・SMM=牙IOAI・IOBl=牙1（1_匚）（4_幻I=牙18+（—灯+（_〒）1二8,
当且仅当k=-9即k二±
4时等号成立，但k〈0,故直线/的方程为：
4x+y-8=0k
考点3对称问题
题型1：
求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程
［例5］［例5］已知直线∕2χ-3y+l二0,点AC-2）,求：
（1）点A关于直线』的对称点A的坐标；
（2）直线m:
3x-2y-6=O关于直线2的对称直线加方程：
（3）直线』关于点A（-L-2）对称的直线F的方程：
【解题思路】：
求对称直线的方程，方法1是转化为点对称问题，二是用相关点转移法解决:
［解析］（1〉设点A关于2的对称点是A（Xyy
=_33
A=^^.,A∙（-^±
41313
y
13
（2）设点P∖x∖yl）是直线In上任意一点，P∖x∖Y）关于直线/的对称点为P（x,y）
VP∖x∖y,）在直线/上，.∙.3^λ^+1i~v~4-212A^V+6-6=0
化简得：
9Λ-46y+102=0
（3）设点Q∖a9b）是直线/上任意一点,点Q,（a,b）关于点A（-l,-2）的对称点为Q（x,y）,
a+x
•解得
因点Q∖a.b）在直线/上，2（-2-x）-3（-4-y）+l=0>
2x-3y-9=O
【需师指引】
（I）要抓住两点关于直线对称的特征来列式；
（2）点对称是其它对称问题（曲线的对称等）的基础，务必重点掌握：
题型2：
利用对称知识解决有关问题
［例6J［2008•深一模］如图，已知A（4.0）.B（0,4）,从点P（2,0）射岀的光线经直线AB
反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是
A・2√10B.6C.3√3D・2√5
利用对称知识，将折线PMN的长度转化为折线CNMQ的长度
［解析］设点P关于直线AB的对称点为D（4,2）,关于y轴的对称点为C（-2,0）,则光线
所经过的路程PMN的长=PM+MN+NP=DM+MN+NC≥CD=2^
【名师指引】本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，一般地，在已知直线上求一点到两个左点的距藹之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧，在已知直线上求一点到两个立点的距离之差的最大值,需利用对称,将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。
9.（2006中山）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0,2）与点（-2,0）重合，且点（2003,
2004）与点（m,n）重合，那么n-m二;
［解析］1.点（0,2）与点（-2,0）的连线平行于点（2003,2004）与点（m,n）的连线
10.（2007汕头）圆（Λ∙+i）2+（y-4）2=ι关于直线尸X对称的圆是（）
A.（χ-l）3+（y+4）2=1B・（χ-4尸+（y+l）：
=1
C.（x+4）2+（y-D2=1D・（χ-l）*（y-4）'
［解析］B∙点（-1,4）关于直线y二X对称的点为（4,-1）
11•若点P（a.b）与Q（b-l,a+l）关于直线。
对称，则C的方程为
［解析］χ+y-l=O∙
直线C斜率为-1,经过PQ的中点（'
z+λ"
1∕z+λ+1）,方程为x+y-l=O
12.已知A、〃为X轴上不同的两点，点P的横坐标为1,且∣PΛ∣=∣P冲，若直线P4的方程为Λ-y+l=O,则直线PB的方程为
A.X+y-3=0B.X+3y-7=0C.x+-5=0D.2y-x-3=0
解析：
A.直线PA、PB关于直线x=l对称，P（1,2）
13.入射光线沿直线X+2y+c=0射向直线/:
%+y=0»
被直线/反射后的光线所在的直线方程为（）
扎2x+y+c=0B.2x+y-c=0C.2x-y+c=OD.2x-y—C=O
解析:
B
在入射光线上取点（0,-£
）,它关于直线/的对称点为（£
0）,可排除A.C
在入射光线上取点（-c,0）,它关于直线/的对称点为（0,c）,可排除D
★抢分频道★
基础巩固训练
1.已知0VdVl,贝IJ直线Z:
y=（2“-l）x+lOgjF不经过
A.第1象限B.第2象限C.第3象限D.第4象限
∙.∙OV“V1.∙.2a-2<
O,log,Z>
O.∙.直线/不经过第3象限
2.函数y=asinχ-bcosx的一条对称轴为X=—>
那么直线：
aχ-by+c=O的倾斜角为（）
A.450B.60oC・120oD.135°
［解析］由函数y=f（x）=asinχ-bcosx的一条对称轴为x=-t^∏,f（O）=f（-）,所以-b=a,故
倾斜角是135°
因此答案是D：
3.（山东省滨州市2008年髙三第一次复习质量检测）连续掷两次骰子分别得到的点数为m、
n,则点P（m,n）在直线x+y二5左下方的概率为（）
A-—B.—C.—D.—
64129
［解析］丄.点P（m,n）的个数有36个，而满足题意的点有以下6
6
个:
（1,1）,（1,2）（2,1）（I13）,（2,2）,（3,1）
所求的概率为丄
4.（江苏盐城市三星级髙中2009届第一协作片联考）函数y=logπ（x+3）-1
12
（a>
0√z≠1）的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+l=0±
英中πm>
0,则一+—的
Irln最小值为
［解析］8.函数y=Iogn（X+3）-1图象恒过定点A（-2,-1）,
.∖—2m—n+1=0.∙.2ιn+川=1,・••丄+二=（—+—）（2/?
/+/?
）=4+—+≥8,当且仅
HlnmHmn
J?
4√27
当上=划即九=+2,7/时取等号，
Inn
5.（2007东莞）直线/经过A（2,l）,B（∖jn2）两点（m∈/?
）,那么直线/的倾斜角的取值范
围是（）
A.[0,∕r）B.[0,—]UI—
【解析】D.因为^=I-m2≤l
C∙［。
彳
D∙[0,—]U（y,Λ,）
x-y+l≥0
6.如果实数JGy满足条件]y+l≥0
x+y+∖≤0
那么4v（-）v的最大值为
A.2
B.1C•丄D•丄
【解析】A.
不等式表示的区域是以A（-b0）、B（-2,-1）.C（0,-1）为顶点的三角形,
4∖-）v=22v-∖当直线2x-y=t经过点C（0,-1）时，4v（-）v取最大值222
综合提髙训练
7.过点（-5,-4）作一直线厶使它与两坐标轴相交且与两轴所囤成的三角形而积为5.求
此直线的方程.
直线』的方程为y+4=k（x+5）,
令χ=0得y=5k-4:
令y=0得兀=—一5k
••丄|5比一41・1殳一51=5解得k=-或£
=勺
2k55
OQ
・•・所求方程为y==x_2或y==x+4
8.如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外AAEF内部有一文物
保护区域不能占用，经过测量AB=IOOm,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪而
积最大?
［解析］建立如图示的坐标系，则E（30,0）F（0,20）,那么线段EF的方程就是
—+—=l（O≤x≤3O）,在线段EF上取点P（m,n）作PQ丄BC于Q,作PR丄CD于R,设矩形3020
PQCR的而积是S,则S=IPQ∙PR=（100-m）（80-n）,又因为—+—=l（O≤x≤3O）,所
3020
以，H=20（1-—）,故S=（1∞-∕π）（80-20+-W）=--（W-5）2+（O≤m<
30）,于是，当In二5时S有最大值，这时旦=巴二!
=
IPFI51
9.已知直线/：
y=√3x和点P（3,l）,过点P的直线加与直线/在第一象限交于点Q，与X轴交于点M，若AOMQ为等边三角形，求点Q的坐标解析：
因直线l∙.y=x的倾斜角为60°
要使△OMQ为等边三角形，直线川的斜率应为-巧，设0（x,JL∙）,则W二！
=-√J,
x-3
10.
如图，一列载着危重病人的火车从0地岀发，沿射线OA方向行驶，英中Sind=罟
3在距离0地5a（a为正常数）千米，北偏东0角的N处住有一位医学专家，其中sin0=g,现120指挥中心紧急征调离0地正东P千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C处相遇。
经计算，当两车行驶的路线与OB所围成的三角形OBC而积S最小时，抢救最及时。
（1）在以0为原点，正北方向为y轴的直角坐标系中，求射线OA所在的直线方程；
（2）求S关于P的函数关系式S二/（〃）；
（3）当P为何值时，抢救最及时？
（2）设点N（X八儿），则Xa=5αsin0=3/儿=5GCoS0=4α,.∙.N（3α,4α）又B（/儿0）,
n'
ψ（P
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