数学知识点苏教版选修12高中数学12《回归分析》word学案总结.docx
《数学知识点苏教版选修12高中数学12《回归分析》word学案总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学知识点苏教版选修12高中数学12《回归分析》word学案总结.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学知识点苏教版选修12高中数学12《回归分析》word学案总结
1．2 回归分析
[学习目标] 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解回归分析的基本思想和初步应用．
[知识链接]
1．什么叫回归分析？
答 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法．
2．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？
答 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等．
[预习导引]
1．线性回归方程
（1）对于n对观测数据（xi，yi）（i＝1,2,3，…，n），直线方程＝＋x称为这n对数据的线性回归方程．其中＝－称为回归截距，＝＝称为回归系数，称为回归值．
（2）将y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．
2．相关系数r的性质
（1）|r|≤1；
（2）|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强；
（3）|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．
3．显著性检验
（1）提出统计假设H0：
变量x，y不具有线性相关关系；
（2）如果以95%的把握作出判断，可以根据1－0.95＝0.05与n－2在附录2中查出一个r的临界值r0.05（其中1－0.95＝0.05称为检验水平）；
（3）计算样本相关系数r＝＝；
（4）作出统计推断：
若|r|＞r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为x与y之间有线性相关关系.
要点一 线性相关的判断
例1 某校高三
（1）班的学生每周用于数学学习的时间x（单位：
h）与数学平均成绩y（单位：
分）之间有表格所示的数据.
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
（1）画出散点图；
（2）作相关性检验；
（3）若某同学每周用于数学学习的时间为18h，试预测其数学成绩．
解
（1）根据表中的数据，画散点图，如图．
从散点图看，数学成绩与学习时间线性相关．
（2）由已知数据求得＝17.4，＝74.9，＝3182，
＝58375，iyi＝13578，
所以相关系数r＝
≈0.920.
而n＝10时，r0.05＝0.632，
所以|r|＞r0.05，所以有95%的把握认为数学成绩与学习时间之间具有线性相关关系．
（3）用科学计算器计算，可得线性回归方程为＝3.53x＋13.44.
当x＝18时，＝3.53×18＋13.44≈77，故预计该同学数学成绩可得77分左右．
规律方法 判断变量的相关性通常有两种方式：
一是散点图；二是相关系数r.前者只能粗略的说明变量间具有相关性，而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱．
跟踪演练1 暑期社会实践中，小闲所在的小组调查了某地家庭人口数x与每天对生活必需品的消费y的情况，得到的数据如下表：
x/人
2
4
5
6
8
y/元
20
30
50
50
70
（1）利用相关系数r判断y与x是否线性相关；
（2）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程．
解
（1）由表中数据，利用科学计算器计算得：
r＝≈0.975.
因为r＞r0.05＝0.878，所以y与x之间具有线性相关关系．
（2）根据以上数据可得，＝＝8.5，
∴＝－＝44－8.5×5＝1.5，
∴所求的线性回归方程为＝1.5＋8.5x.
要点二 求线性回归方程
例2 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生编号
1
2
3
4
5
学科编号
A
B
C
D
E
数学成绩（x）
88
76
73
66
63
物理成绩（y）
78
65
71
64
61
（1）画出散点图；
（2）求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；（3）一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
解
（1）散点图如图．
（2）＝×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2，
＝×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8.
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61
＝25054.
＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.
所以＝＝≈0.625.
＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
所以y对x的线性回归方程是＝0.625x＋22.05.
（3）x＝96，则＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.
规律方法
（1）散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．
（2）求线性回归方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．
跟踪演练2 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
①请画出上表数据的散点图（要求：
点要描粗）；
②请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
③试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
解 ①如图：
②xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，
＝＝4，
x＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
③由②中线性回归方程当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力为4.
要点三 非线性回归分析
例3 某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
5
10
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
x
20
30
50
100
200
y
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系；如有，求出y对x的回归方程．
解 令u＝，原题中所给数据变成如下表示的数据：
u
1
0.5
0.33
0.2
0.1
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
u
0.05
0.03
0.02
0.01
0.005
y
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
＝0.2245，＝3.14，－10（）2＝0.9088，
iyi－10＝8.15525，－10（）2＝73.207，
∴r＝≈0.9998，
查表得r0.05＝0.632，因为r＞r0.05，从而认为u与y之间具有线性相关关系．
回归系数＝≈8.974，
＝3.14－8.974×0.2245≈1.125，
所以＝8.974u＋1.125，
所以y对x的回归方程为＝＋1.125.
规律方法 对非线性回归问题，若给出经验公式，采用变量代换把问题转化为线性回归问题．若没有经验公式，需结合散点图挑选拟合得最好的函数．
跟踪演练3 在试验中得到变量y与x的数据如下表：
试求y与x之间的回归方程，并预测x＝40时，y的值.
x
19
23
27
31
35
y
4
11
24
109
325
解 作散点图如图所示，
从散点图可以看出，两个变量x，y不呈线性相关关系，根据学过的函数知识，样本点分布的曲线符合指数型函数y＝c1ec2x，通过对数变化把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则z＝bx＋a（a＝lnc1，b＝c2）．
列表：
x
19
23
27
31
35
z
1.386
2.398
3.178
4.691
5.784
作散点图如图所示，
从散点图可以看出，两个变量x，z呈很强的线性相关关系．由表中的数据得到线性回归方程为＝0.277x－3.998.
所以y关于x的指数回归方程为：
＝e0.277x－3.998.
所以，当x＝40时，y＝e0.277×40－3.998≈1190.347.
1．在下列各量之间，存在相关关系的是________．
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系．
答案 ②③④
2．如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．
答案 D（3,10）
解析 经计算，去掉D（3,10）这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大．
3．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过（2,3）点，则这条回归直线的方程为________．
答案 ＝－10＋6.5x
解析 由题意知＝2，＝3，＝6.5，所以＝－＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为＝－10＋6.5x.
4．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5
（1）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（2）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
解
（1）设所求的线性回归方程为＝x＋，
则＝＝＝0.5，＝－＝0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为
＝0.5x＋0.4.
（2）当x＝11时，＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9（万元）．
所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
1．相关系数r
r的大小与两个变量之间线性相关程度的强弱关系：
（1）当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．当r＝1时，两个变量完全正相关；当r＝－1时，两个变量完全负相关．
（2）|r|≤1，并且|r|越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，它们的散点图越接近于一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好；|r|越接近0，表明两个变量的线性相关程度越弱，通常当|r|＞r0.05时，认为两个变量有很强的线性相关程度．此时建立的回归模型是有意义的．
2．回归分析
用回归分析可以预测具有相关关系的两个随机变量的取值．但要注意：
①回归方程只适用于我们所研究的样本的总体．
②我们建立的回归方程一般都有时间性．
③样本取值的范围影响了回归方程的适用范围．
④回归方程得到预报值不是变量的精确值，是变量可能取值的平均值．
一、基础达标
1．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体（160,53）的随机误差是________．
答案 －0.29
2．对于相关系数r，以下4个叙述错误的是________．
①|r|∈（
升级会员 