重积分期末复习题高等数学下册上海电机学院.docx
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重积分期末复习题高等数学下册上海电机学院
第九章重积分
一、
选择题
1.I=
（x2
y2z2）dv,:
x2
y2z21球面内部，
则
=[C]
A.
dv
的体积
22
B.2d2d
00
1r4
0
sindr
C.
2
02d0
14
drsindr0
2
D.dd00
01r4
sindr
2.
是x=0,y=0,z=0,x+2y+z=1所围闭区域，则xdxdydz[B]
则[B]
a,0x1，D为全平面，则f（x）g（yx）dxdyC
0,其余D
A.a
B.
12a
2
C.a2
D.
7．积分2d
0
cos
0
f（rcos,rsin
）rdr可写为
D
1
yy2
11y2
A.
dy
0
0f（x,y）dx
B.
dy
00
f（x,y）dx
1
1
1xx2
B.
dx
0
0f（x,y）dy
D.
dx
00
f（x,y）dy
6．设a0,f（x）g（x）
2x2
8.交换二次积分2dxxf（x,y）dy的积分顺序为（A）
42
（A）dyyf（x,y）dx
y
2
x2f（x,y）dx
0
4
（C）0dy
（B）
（D）
9.设平面区域
D由x0,
0,
14,x
（A）
10．
I2
I1
4
0dy
4
0dy
y
0f（x,y）dx
y
2f（x,y）dx
（x
D
I2
y24
y）3dxdy,
I3（B）
1x
大于零
11．设积分区域
（A）
（A）1
12．
1
（A）大于零
I3
I3
[sin（x
D
I2I1
22
sinxy
22
xy
（B）小于零
D由|x|a,|y|
dxdy的值
a（a
13.把二次积分
（A）
（C）
2d
2
（B）14
1
dx
0
22
ydxdy的值y2
（B）小于零
1x2x2y2
1x2e
rerdr
0
12
erdr
0
y1围成，若I1[ln（xy）]3dxdy,
D
则I1,I2,I3的大小顺序为（C）.
y）]3dxdy,
（C）I1
B）.
（C）0
0）围成，
（C）0
B）.
（C）0
I3
I2
（D）I3I1I2
（D）不能确定xydxdy（C）.
（D）A,B,C都不对
（D）不能确定
dy化为极坐标形式的二次积分（B）.
21r2
（B）d0rerdr
2
（D）0d
12
erdr
0
dxdy
14.设积分区域D是由直线y=x,y=0,x=1围成，则有D（A）
1x1y
dx
dy
dy
dx
（A）0
0
（B）0
0
1
0
1
y
dx
dy
dy
dx
（C）0
x
（D）0
x
15.设D由y
x,y
2x,y
dxdy
1围成，则D
（
B
）
1
1
3
（A）2
（B）
4
（C）1
D）
2
16．根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是（B）；
（A）（x1）d0,D：
x≤1，y≤1；（B）（x1）d0,D：
x≤1，y≤1；
DD
x
dxdyDy
1
1
（A）
1（B）2
（C）
4
（D）2
19.
x2y213x2y2dxdy
的值等于（
A
）
xy1
3
6
C.
6；
D.
3
A.；B.
4
7
5
2
xydxdy
0x1
20.二
重积分0y1
（C）
1
1
（A）
1（B）2
（C）
4
（D）2
2x,y|x
22ya,
又有
2x
2
ydxdy8
21.
设D是区域
D
，则a=（B
）
（A）
1（B）2
（C）4
（D）8
三、计算与证明
2
x2y242}
2.计算I=sinx2y2dxdy,D={（x,y）D
解：
令x=rcos,y=rsin
rsinrdr
则I=
=62
3.设G（x）在0x1上有连续的G''（x）,求I=xyG''（x2y2）dxdy,其中D为D
x2y21的第一象限部分
解：
在极坐标下计算积分，D={（r,）0r1,0}
2
2''2I=rsincosG（r）rdrd
D
=11r3G''（r2）dr
20
11''=1uG''（u）du
40
1'
=[G'
（1）G（0）G
（1）]
4
4.xydxdy,其中是以a为半径，坐标原点为圆心的圆
解：
xydxdy=
aa（a2x2）xdx=
0（a2
0
4
x2）xdx（1分）=
2
5.
sinx2y2dxdy
解：
sinx2y2dxdy=
x2
y24
2
rsinrdr=2
2
rsinrdr
6．
ze（x2y
62
2
z）dxdydz，其中
为球体x2y2z2
1在z0上的部分。
x解：
利用球面坐标变换y
z
rsin
rsin
rcos
1{（r,,）0
（x2y2z2ze
2
＝0
13re0
r2
dr
7.计算重积分I
cos
sin
0
，对应于
1,0
2}
）dxdydz＝
02sincosd
1
1dxe0x
r3sin
1
（12
1e）
coserdrdd
ydy的值。
解：
I
1
0dy
y2
dx（2分）
1
0（xe
1
0ye
1
e
2
12（1
y）|0ydy
2
ydy（2分）
y2|10
8．计算三重积分（x
z2
）dv，其中
1e）
2
:
x
（1分）
22yz
2z
解：
的边界曲面方程
x2
z22z用球面坐标表示：
r2
2rcos，即
2cos。
为：
0
2,0
2,0r2cos，于是
（x2
22
y2z2）dv
2
2d
0
2cos
0
22rr
sindr（2分）
2cos
32
15
sin
2
sin
32
5
cos5
r2r2dr
ayaxaax
9．证明：
dyeaxf（x）dxxeaxf（ax）dx.
000
aa
证明：
左边adxaeax
0x
f（x）dy
（2分）
所以原式得证。
a
a
e
0
令axu
f（x）（a
0
euf（aa
xexf（a
右边
x）dx
u）udu（3分）
x）dx（3分）
10.计算二重积分
（1
D
2y）dxdy，其中D:
1x
1,2y2。
解：
（方法一）
x
D（12x
D2
2y）dxdy
1
dx
1
2
2（1
2x2y）dy（2分）
方法二）
1
1（y
x
2y
22
y2）|22dx
1
1（4
2x）dx8（3分）.
（1
D
2
2y）dxdy2dy
1
1（1
x
2y）dx（2分）
2
11.求
（1
D
22
x2y2
区域。
解：
令
cossin
22
（1x2y2）dxdyD
dxdy
12．求D4x2
2
2（x
12
2yx）|11dy2（2
4y）dy8（3分）.
）dxdy，其中D是由
yx,y0,x
y21在第一象限内所围成的
dxdy
D4x2y2
则D
4d
0
1
01（1
）0
其中D为x,y
|1
4,0
16
4,y
（2分），所以
0d124rdrr2（4分）
4
2[r2r]02
4
13.计算由曲面z=2-x2-y2与xoy坐标面所围成的体积。
解：
采用极坐标
22
2
V[（2r2）rdr]d
00
0dx0x2ydy2分
00
2
2e
2
ydxdyd2rlnrdr
0e
122
12e23e21
d（3分）=e23e2
曲面积分与曲线积分
选择
x2y2
1．设OM是从O（0，0）到点M（1，1）的直线段，则与曲线积分I=exyds不相等的om
积分是：
（）
1
A）1e2x2dx
0
B）
1e2y2dy
0
2tC）etdt
0
D）
er2dr
0
2．
设
L是从点O（0,0）沿折线y=1-|x-1|
至点A（2,0）的折线段，
则曲线积分
I=ydxxdy等
于（
）
A）0
B）-1
C）2
D）-2
3．
设
L为下半圆周x2
y2R2（y
0），将曲线积分I=
L（x
2y）ds化为定积分的正确
结果
是：
（）
A）R2（cost2sint）dtB）R2（cost2sint）dt
0
（3xy）dx（x2y）dy等于：
（
y3dx等于：
（AEB
填空
RQPRQP
[（）cos（）cos（）cos]ds=yzzxxy
2．设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且（x2y）dx（4x3y）dy9，
则L所围成的平面闭区域D的面积等于
则由高斯公式，有P（x,y,z）dydz
小关系是
6．设力F的模|F|
1
22x2y2
F的方向与
yixj
相同，则在力F的作用下，质点沿
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