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零在四则运算中的特殊性质
(1)任何数与0相加都得原来的数。
5+0=5,0+32=32。
(2)任何数减去0都得原来的数。
5-0=5,42-0=42。
(3)相同的两个数相减,差等于0。
5-5=0,428-428=0。
(4)任何数与0相乘,积等于0。
5×
0=0,0×
78=0
(5)0除以任何自然数,商都等于0。
0÷
5=0,0÷
345=0。
因此0是任意自然数的倍数。
(6)0不能作除数。
因为任何自然数除以零,都得不到准确的商。
如:
5÷
0,找不到一个数与0相乘可以得5。
零除以零时有无数个商,因为任何数与0相乘都能得到0,所以像5÷
0、0÷
0都无意义。
为什么1不是质数
全体自然数可以分为三类:
(1)只能被“1”和它本身整除的数叫质数,如:
2、3、5、7、11……。
(2)除了“1”和它本身以外,还能被其他数整除的数叫合数,如:
4、6、8、9……。
(3)“1”既不是质数也不是合数。
有人要问,“1”也只能被1和它本身整除,为什么不能算质数呢?
而且“1”算作质数后,全体自然数分成质数和合数两类,岂不是更简单吗?
这要从分解质因数谈起。
比如,1001能被哪些数整除,其实质是将1001分解素因数,由1001=7×
11×
13,而且只有这一种分解结果,知道1001除了被1和它本身整除以外,还能被7、11、13整除。
若把“1”也算作质数,那么1001分解质因数就会出现下面一些结果:
1001=7×
13
1001=1×
7×
1×
……
也就是说,分解式中可随便添上几个因数“1”。
这样做,一方面对求1001的因数毫无必要,另一方面分解质因数结果不唯一,又增添了不必要的麻烦。
因此“1”不算作质数。
运算符号的由来
表示计算方法的符号叫做运算符号。
如四则计算中的+、-、×
、÷
等。
加号“+”是加法符号,表示相加。
减号“-”是减法符号,表示相减。
“+”与“-”这两个符号是德国数学家威特曼在1489年他的著作《简算与速算》一书中首先使用的。
在1514年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号,后又经法国数学家韦达的宣传和提倡,开始普及,直到1630年,才获得大家的公认。
乘号“×
”是乘法符号,表示相乘。
1631年,英国数学家奥特轩特提出用符号“×
”表示相乘。
乘法是表示增加的另一种方法,所以把“+”号斜过来。
另一个乘法符号“?
”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。
除号“÷
”是除法符号,表示相除。
用这个符号表示除法首先出现在瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中。
几年以后,该书被译成英文,才逐渐被人们认识和接受。
关系符号
表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号,叫做关系符号。
有等号,大于号,小于号,约等于号,不等号等等。
等号:
表示两个数或两个式或数与式相等的符号,记作“=”,读作“等于”。
3+2=5,读作三加二等于五。
第一个使用符号“=”表示相等的是英国数学家雷科德。
大于号:
表示一个数(或式)比另一个数(或式)大的符号,记作“>”,读作“大于”。
6>5,读作六大于五。
小于号:
表示一个数(或式)比另一个数(或式)小的符号,记作“<”,读作“小于”。
5<6,读作五小于六。
大于号和小于号是英国数学家哈里奥特于17世纪首先使用的。
约等号:
表明两个数(或式)大约相等的符号,记作“≈”,读作“约等于”。
π≈3.14,读作π约等于三点一四。
不等号:
表示两个数(或式)不相等的符号,记作“≠”,读作“不等于”。
例如4+3≠9,读作四加三不等于九。
奇妙的数字“9”
众所周知,有限小数是十进分数的另一种表现形式,因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。
那么无限小数能否化成分数?
这要请我们的老朋友――9来帮助解决问题。
首先我们要明确,无限小数可按照小数部分是否循环分成两类:
无限循环小数和无限不循环小数。
无限不循环小数不能化分数,这在中学将会得到详尽的解释;
无限循环小数是可以化成分数的。
那么,无限循环小数又是如何化分数的呢?
由于它的小数部分位数是无限的,显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。
其实,循环小数化分数难就难在无限的小数位数。
所以我就从这里入手,想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。
策略就是用扩倍的方法,把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同,然后这两个数相减,“大尾巴”不就剪掉了吗!
我们来看两个例子:
⑴
把0.4747…和0.33…化成分数。
想1:
0.4747…×
100=47.4747……
0.4747…×
100-0.4747…=47.4747…-0.4747…
(100-1)×
0.4747…=47
即99×
0.4747…
=47
那么
0.4747…=47/99
想2:
0.33…×
10=3.33…
0.33…×
10-0.33…=3.33…-0.33…
(10-1)
×
0.33…=3
即9×
0.33…=3
那么0.33…=3/9=1/3
由此可见,
纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数:
纯循环小数的循环节有几位,分母就是由几个9组成的数;
分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
⑵把0.4777…和0.325656…化成分数。
想1:
0.4777…×
10=4.777…①
0.4777…×
100=47.77…②
用②-①即得:
90=47-4
所以,
0.4777…=43/90
想2:
0.325656…×
100=32.5656…①
0.325656…×
10000=3256.56…②
0.325656…×
9900=3256.5656…-32.5656…
9900=3256-32
0.325656…=3224/9900
由此可见,
混循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数:
混循环小数的循环节有几位,分母里就是有几个9,第一个循环节前面有几位小数,分母末尾就有几个零;
分子是混循环小数第一个循环节及其前面小数部分所组成的数,减去第一个循环节前面小数部分的差。
能被2和5整除的数
一个数的末一位数能被2和5整除,这个数就能被2和5整除。
具体地说,个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除。
个位上是0或是5的数,都能被5整除。
例如:
128、64、30的个位分别是8、4、0,这3个数都能被2整除。
281、165、79的个位分别是1、5、9,那么这3个数都不能被2整除。
在上面的6个数中,30和165的个位分别是0和5,这两个数能被5整除,其他各数均不能被5整除。
能被3和9整除的数
一个数各个数位上的数的和能被3或9整除,这个数就能被3或9整除。
7+4+1+6=18,18能被3整除,也能被9整除,所以7416能被3整除,也能被9整除。
再如:
5739各个数位上的数之和是:
5+7+3+9=24,24能被3整除,但不能被9整除,所以5739能被3整除,而不能被9整除。
能被4和25整除的数
一个数的末两位数能被4或25整除,这个数就能被4或25整除。
具体地说,一个数的末两位数是0,或是4的倍数这个数就是4的倍数,能被4整除。
一个数的末两位数是0或是25的倍数,这个数就是25的倍数,能被25整除。
324,4200,675,三个数中,324的末两位数是2424是4的倍数,所以324能被4整除。
675的末两位数是7575是25的倍数,所以675能被25整除,4200的末两位数都是0,所以4200既能被4整除,又能被25整除。
能被8和125整除的数
一个数的末三位数能被8或125整除,这个数就能被8或125整除。
具体地说,一个数的末三位数是0或是8的倍数,就能被8整除;
一个数的末三位数是0或是125的倍数,就能被125整除。
2168、32000、1875,3个数中,2168的末三位数是168,168是8的倍数,所以2168能被8整除。
1875的末三位数是875,875是125的倍数,所以1875能被125整除。
32000的末三位数都是0,所以32000既能被8整除,又能被125整除。
能被7、11和13
整除的数
一个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(以大减小),能被7、11、13整除,这个数就能被7、11、13整除。
128114,由于128-114=14,14是7的倍数,所以128114能被7整除。
94146,由于146-94=52,52是13的倍数,所以94146能被13整除。
64152由于152-64=88,88是11的倍数,所以64152能被11整除。
能被11整除的数,还可以用“奇偶位差法”来判定。
一个数奇位上的数之和与偶位上的数之和相减(以大减小),所得的差是0或是11的倍数时,这个数就能被11整除。
64152,奇位上的数之和是6+1+2=9,偶位上的数之和是4+5=9,9-9=0,判断出64152能被11整除。