北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题经典.docx
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北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题经典
第一章勾股定理
知识点一:
勾股定理定义
画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,量AB的长;一个直角边为5和12的直角△ABC,量AB的长
发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即:
a2+b2=c2)
1.如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
;(给出证明)
⑷三边之间的关系:
。
知识点二:
验证勾股定理
知识点三:
勾股定理证明(等面积法)
例1。
已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
证明:
例2。
已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
证明:
知识点四:
勾股定理简单应用
在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知:
a=6,b=8,求c
(2)已知:
b=5,c=13,求a
知识点五:
勾股定理逆定理
如果三角形的三边长为,满足,那么,这个三角形是直角三角形.
利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤:
①先找出最大边(如c)
②计算与,并验证是否相等。
若=,则△ABC是直角三角形。
若≠,则△ABC不是直角三角形。
1.下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是( )
A.a=7,b=24,c=25B.a=7,b=24,c=24
C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=5
2.三角形的三边长为,则这个三角形是()
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形
3.已知,则由此为三边的三角形是三角形.
知识点六:
勾股数
(1)满足的三个正整数,称为勾股数.
(2)勾股数中各数的相同的整数倍,仍是勾股数,如3、4、5是勾股数,6、8、10也是勾股数.
(3)常见的勾股数有:
①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;
⑤11、60、61;⑥9、40、41.
1.设、、是直角三角形的三边,则、、不可能的是().
A.3,5,4B.5,12,13C.2,3,4D.8,17,15
1.若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比可以是( )
A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7
知识点七:
确定最短路线
1.一只长方体木箱如图所示,长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,
有一只甲虫从A出发,沿表面爬到,最近距离是多少?
2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是.
知识点八:
逆定理判断垂直
1.在△ABC中,已知AB2-BC2=CA2,则△ABC的形状是()
A.锐角三角形;B.直角三角形;C.钝角三角形;D.无法确定.
2.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对
知识点九:
勾股定理应用题
1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.
3.一根直立的桅杆原长25m,折断后,桅杆的顶部落在离底部的5m处,则桅杆断后两部分各是多长?
4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度,他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他们把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好触地面,你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗?
综合练习一
一、选择题
1、下面几组数:
①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2–n2,2mn(m,n均为正整数,mn);④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是()
A.①②;B.①③;C.②③;D.③④
2已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
A.25B.14C.7D.7或25
3.三角形的三边长为,则这个三角形是()
A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.
4.△ABC的三边为a、b、c且(a+b)(a-b)=c2,则()
A.a边的对角是直角B.b边的对角是直角
C.c边的对角是直角D.是斜三角形
5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有()
①6、7、8,②8、15、17,③7、24、25,④12、35、37,⑤9、40、41
A、1个B、2个C、3个D、4个
6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形
7.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
8.如图,∠=∠=90°,=5,=8,=11,则的长为()
A、10B、11C、12D、13
9.如图、山坡的高=5,水平距离=12,若在山坡上每隔0.65栽一棵茶树,则从上到下共()
A、19棵B、20棵C、21棵D、22棵
10.Rt△ABC中,∠=90°,∠∠、∠所对的边分别是、、,若=2,则++的值是()
A、6B、8C、10D、4
11.下列各组数据中,不能构成直角三角形的一组数是( )
A、9,12,15B、,1,C、0.2,0.3,0.4D、40,41,9
12.已知,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )
A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里
二、填空题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________
2.现有长度分别为2、3、4、5的木棒,从中任取三根,能组成直角三角形,则其周长为.
3.勾股定理的作用是在直角三角形中,已知两边求;勾股定理的逆定理的作用是用来证明.
4.如图中字母所代表的正方形的面积:
==.
5.在△ABC中,∠C=90°,若a=5,b=12,则c=.
6.△ABC中,AB=AC=17cm,BC=16cm,则高AD=,S△ABC=。
7.在Rt△ABC中,有一边是2,另一边是3,则第三边的平方是。
8.在△ABC中,AC=17cm,BC=10cm,AB=9cm,这是一个_________三角形(按角分)。
9.已知一个三角形的三边长分别是12cm,16cm,20cm,则这个三角形的面积为。
三、简答题
1.判断正误,并指出为什么?
(1)△ABC的两边为3和4,求第三边
解:
由于三角形的两边为3和4,所以它的第三边c为5。
(2)若已知△ABC为直角三角形,则第三边为5
2.在△ABC中,BC=m2-n2,AC=2mn,AB=m2+n2(m>n)。
求证:
△ABC是直角三角形。
3.求斜边长17厘米,一条直角边长15厘米的直角三角形的面积.(画图求解)
4.已知一艘轮船以16的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时离开港口,以12的速度向东南方向航行,它们离开港口一个半小时相距多少千米?
(画图求解)
5.如图,一根旗杆在离地面9米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断之前有多高?
6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=,∠DBC=,AD=3,AB=4,BC=12,求CD;
家庭作业:
一、基础达标:
1.下列说法正确的是( )
A.若a、b、c是△ABC的三边,则a2+b2=c2;B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2;
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,,则a2+b2=c2;
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,,则a2+b2=c2.
2.△ABC的三条边长分别是、、,则下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
3.直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )
A.121B.120C.90D.不能确定
4.斜边的边长为,一条直角边长为的直角三角形的面积是.
5.假如有一个三角形是直角三角形,那么三边、、之间应满足,其中边是直角所对的边;如果一个三角形的三边、、满足,那么这个三角形是三角形,其中边是边,边所对的角是.
6.一个三角形三边之比是,则按角分类它是三角形.
7.如图,已知中,,,,以直角边为直径作半圆,则这个半圆的面积是.
8.一长方形的一边长为,面积为,那么它的一条对角线长是.
二、综合发展:
1.如图,一个高、宽的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.
2.一个三角形三条边的长分别为,,,这个三角形最长边上的高是多少?
3.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m,高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面积.
4.如图,有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声,它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?
勾股定理综合二
1.如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。
现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于
2.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )cm2
3.已知:
将正长方形纸片ABCD折叠两次,第一次折痕为AC,第二次折痕为AE,且点D落在F处.若长方形长为4,宽为3,求DE.
4.已知:
如图,△ABC中,∠C=90º,AD是角平分线,CD=15,BD=25.求AC的长.
分类讨论思想
1.在Rt△ABC中,已知两边长为3、4,则第三边的长为
2.在Rt△ABC中,已知两边长为5、12,则第三边的长为
3.等腰三角形的两边长为10和12,则周长为________,底边上的高是________,面积是_________。
4.一个直角三角形,有两边长分别为6和8,下列说法正确的是()
A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为10
确定三角形形状
1.已知a、b、c是△ABC的三边,且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状.
2.在△ABC中,BC=1997,AC=1998,AB2=19