北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题经典.docx

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北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题经典

第一章勾股定理

知识点一：

勾股定理定义

画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，量AB的长；一个直角边为5和12的直角△ABC，量AB的长

发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：

a2+b2＝c2）

1．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；（给出证明）

⑷三边之间的关系：

。

知识点二：

验证勾股定理

知识点三：

勾股定理证明（等面积法）

例1。

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

证明：

例2。

已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

证明：

知识点四：

勾股定理简单应用

在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知：

a=6,b=8，求c

（2）已知：

b=5，c=13，求a

知识点五：

勾股定理逆定理

如果三角形的三边长为，满足，那么，这个三角形是直角三角形．

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：

①先找出最大边（如c）

②计算与，并验证是否相等。

若=，则△ABC是直角三角形。

若≠，则△ABC不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）

A.a=7,b=24,c=25B.a=7,b=24,c=24

C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=5

2.三角形的三边长为,则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

3.已知,则由此为三边的三角形是三角形.

知识点六：

勾股数

（1）满足的三个正整数，称为勾股数．

（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．

（3）常见的勾股数有：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；

⑤11、60、61；⑥9、40、41．

1.设、、是直角三角形的三边,则、、不可能的是（）.

A.3,5,4B.5,12,13C.2,3,4D.8,17,15

1.若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比可以是（　　）

A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7

知识点七：

确定最短路线

1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,

有一只甲虫从A出发，沿表面爬到，最近距离是多少？

2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（取3）是.

知识点八：

逆定理判断垂直

1．在△ABC中，已知AB2－BC2＝CA2，则△ABC的形状是（）

A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．无法确定．

2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对

知识点九：

勾股定理应用题

1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.

3.一根直立的桅杆原长25m，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处，则桅杆断后两部分各是多长？

4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？

综合练习一

一、选择题

1、下面几组数:

①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2–n2,2mn（m,n均为正整数,mn）;④,,.其中能组成直角三角形的三边长的是（）

A.①②;B.①③;C.②③;D.③④

2已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A.25B.14C.7D.7或25

3.三角形的三边长为,则这个三角形是（）

A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.

4.△ABC的三边为a、b、c且（a+b）（a-b）=c2，则（）

A.a边的对角是直角B.b边的对角是直角

C.c边的对角是直角D.是斜三角形

5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（）

①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41

A、1个B、2个C、3个D、4个

6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形

7.若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（a2+b2-c2）=0，则△ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

8.如图，∠=∠=90°，=5，=8，=11，则的长为（）

A、10B、11C、12D、13

9.如图、山坡的高=5，水平距离=12，若在山坡上每隔0.65栽一棵茶树,则从上到下共（）

A、19棵B、20棵C、21棵D、22棵

10.Rt△ABC中，∠=90°，∠∠、∠所对的边分别是、、，若=2，则++的值是（）

A、6B、8C、10D、4

11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（　　　）

Ａ、9，12，15B、，1，C、0.2，0.3，0.4D、40，41，9

12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里

二、填空题

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________

2.现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为．

3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求；勾股定理的逆定理的作用是用来证明．

4.如图中字母所代表的正方形的面积：

==．

5.在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝．

6.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD=，S△ABC=。

7.在Rt△ABC中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是。

8.在△ABC中，AC=17cm，BC=10cm，AB=9cm，这是一个_________三角形（按角分）。

9.已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为。

三、简答题

1.判断正误，并指出为什么？

（1）△ABC的两边为3和4，求第三边

解：

由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。

（2）若已知△ABC为直角三角形，则第三边为5

2.在△ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2（m＞n）。

求证：

△ABC是直角三角形。

3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．（画图求解）

4.已知一艘轮船以16的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？

（画图求解）

5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？

6.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=，∠DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD；

家庭作业：

一、基础达标:

1.下列说法正确的是（　　）

A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；

C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；

D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2．

2.△ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（　　）

A．　B.　　　C.　　　D.

3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）

A．121B．120C．90D．不能确定

4．斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是．

5．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边、、之间应满足，其中边是直角所对的边；如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是三角形，其中边是边，边所对的角是．

6．一个三角形三边之比是，则按角分类它是三角形．

7．如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是．

8．一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是．

二、综合发展:

1．如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．

2.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少？

3．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

4．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

勾股定理综合二

1．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于

2．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）cm2

3．已知：

将正长方形纸片ABCD折叠两次，第一次折痕为AC，第二次折痕为AE，且点D落在F处.若长方形长为4，宽为3，求DE.

4．已知：

如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．

分类讨论思想

1．在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为

2．在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为

3．等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。

4.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）

A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为10

确定三角形形状

1．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．

2.在△ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=19