市级联考安徽省定远重点中学届高三上学期期中考试数学理试题.docx

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市级联考安徽省定远重点中学届高三上学期期中考试数学理试题

[市级联考】安徽省定远重点中学【最新】高三上学期期中考试数学（理）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合M＝{x|≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于（　　）

A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x>1}D．{x|x≥1或x<0}

2．（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．设的三个内角，向量，，若，则=（）

A．B．C．D．

4．设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（）

A．B．C．D．

5．函数y=esinx（-π≤x≤π）的大致图象为（　　）

A．B．C．D．

6．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

7．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（）

A．是奇函数；B．的周期是；

C．的图象关于直线对称；D．的图象关于点对称.

8．设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是

A．当时，

B．当时，

C．当时，

D．当时，

9．已知，，，则a,b,c的大小关系为（）

A．B．

C．D．

10．设函数f（x）＝F（x）＝f（x）＋x，x∈R.F（x）的值域为（　　）

A．（－∞，1]B．[2，＋∞）

C．（－∞，1]∪[2，＋∞）D．（－∞，1）∪（2，＋∞）

11．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）

A．B．C．D．

12．若函数在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）内为增函数，则实数a的取值范围是（　）

A．a≤2B．5≤a≤7C．4≤a≤6D．a≤5或a≥7

二、填空题

13．如图，已知△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，且，则实数m＝________.

14．设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为______

15．已知在时有极值0，则的值为____．

16．设是等比数列，公比，为的前n项和，记'，设为数列的最大项，则________．

三、解答题

17．在△ABC中，p：

cosB>0；q：

函数y＝sin为减函数．

（1）如果p为假命题，求函数y＝sin＋B的值域；

（2）若“p且q”为真命题，求B的取值范围．

18．已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，且a3＋1为a1＋1和a7＋1的等比中项．

（1）求数列{an}的通项公式与前n项和Sn；

（2）设Tn为数列{}的前n项和，问是否存在常数m，使Tn＝m[＋]，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

19．的三个内角对应的三条边长分别是,且满足．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若,，求和的值．

20．已知函数f（x）＝mx＋3，g（x）＝x2＋2x＋m.

（1）求证：

函数f（x）－g（x）必有零点；

（2）设函数G（x）＝f（x）－g（x）－1，若|G（x）|在[－1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．

21．已知函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

22．设.

（1）若在存在单调增区间，求的取值范围；

（2）若在上最小值为，求在上的最大值.

参考答案

1．C

【分析】

首先确定集合M和集合N，然后求解其交集即可.

【详解】

求解分式不等式≥0可得，

求解函数y＝3x2＋1的值域可得，

结合交集的定义可知M∩N={x|x>1}.

本题选择C选项.

【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．A

【解析】

∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，

当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，

∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，

故选A．

3．C

【解析】

解：

因为向量，，若

，

解得为选C

4．A

【详解】

设公差为d则

解得

，故选A.

5．D

【详解】

取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除A,C;

当时，y=sinx是增函数，y=ex也是增函数，故y=esinx也是增函数.

故选：

D.

6．D

【解析】

选D.

7．D

【分析】

函数的图象向左平移个单位，得到函数，然后利用余弦函数的性质一一验证.

【详解】

函数的图象向左平移个单位，得到函数，

因为，所以是偶函数，

因为，所以的周期是，

因为，所以的图象关于点对称.

故选：

D

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换，问题比较综合，考虑要全面，属于中档题.

8．B

【详解】

令,可得．

设

根据题意与直线只有两个交点，

不妨设，结合图形可知，当时如右图，

与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，

根据对称性可得，即，此时，

，

同理可得，当时如左图，，

故选：

B．

【点睛】

本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度.

9．A

【详解】

试题分析：

因为，所以由指数函数的性质可得，，因此,故选A.

考点：

1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.

【方法点睛】

本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题.多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：

（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；

（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.

10．C

【解析】

【分析】

首先写出函数的解析式，然后求解其值域即可.

【详解】

由题意可得：

，

当时，，当且仅当时等号成立，此时函数的值域为；

当时，，，则函数在区间上单调递增，

由于，当时，，此时函数的值域为，

综上可得，函数的值域为.

本题选择C选项.

【点睛】

本题主要考查分段函数值域的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．C

【解析】

，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C.

12．B

【解析】

试题分析：

因为，，，而函数在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）内为增函数，

所以，，即，故选B.

考点：

应用导数研究函数的单调性

13．1

【解析】

【分析】

首先做出辅助线，然后结合平面向量的运算法则确定实数m的值即可.

【详解】

如图：

作直径BD,连接DA、DC,HC,

由图得，

∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，

∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC

∴CH∥AD,AH∥CD,故四边形AHCD是平行四边形,∴，

又∵，

∴，对比系数得到m=1.

故答案为1.

【点睛】

本题主要考查圆的性质，平面向量的定义与运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14．3

【分析】

根据目标函数的几何意义，确定使目标函数取得最大值的点，进而代入目标函数得到关于的方程.

【详解】

线约束条件所表示的平面区域，如图所示的，

因为，当直线过点时，它在轴上截距取得最大值，即取得最大值，所以，解得：

.

15．11

【解析】

由题知，

且，

所以，

得或，

①当时，，此时，

，

所以函数单调递增无极值，

舍去．

②当时，，此时，

是函数的极值点，符合题意，

∴．

16．4

【详解】

解

17．

（1）；

（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意首先求得B的取值范围，然后结合三角函数的性质求解函数的值域即可；

（2）由题意可知，p,q均为真命题，据此求解B的取值范围即可.

【详解】

（1）由p为假命题，则cosB≤0，

∵0

∴y＝sin的值域为.

（2）∵“p且q”为真命题，∴p真q真．

由p：

cosB>0，解得0

由q：

函数y＝sin为减函数，

∴

∴

∴

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质，由命题的真假求解参数取值范围的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18．

（1）an＝2n＋1Sn＝n（n＋2）

（2）数m＝，见解析

【解析】解：

（1）设数列{an}的公差为d，由已知，可得

S3＝a1＋a2＋a3＝15，得a2＝a1＋d＝5，

由a3＋1为a1＋1和a7＋1的等比中项，

可得（6＋d）2＝（6－d）×（6＋5d），化简得d2－2d＝0，

解得d＝0（不合题意，舍去）或d＝2，

当d＝2时，a1＝3，其通项公式为an＝3＋（n－1）×2＝2n＋1，前n项和Sn＝n（n＋2）．

（2）由

（1）知数列{an}的前n项和为Sn＝n（n＋2），

则有＝＝（－），

Tn＝（1－＋－＋－＋…＋－＋－）＝（1＋－－）＝[＋]．

故存在常数m＝，使得Tn＝m[＋]成立．

19．

（1）；

（2），．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）根据已知条件，由正弦定理求出，再求出C；（Ⅱ）由的值求出的值，再求出，由正弦定理求出

试题解析：

（Ⅰ）因为由正弦定理得：

由

所以，；

（Ⅱ）由，则，

由，

20．

（1）略

（2）

【解析】

解答：

（1）证明；

=0有解，

则恒成立，

所以方程=0有解

函数必有零点（5分）

（2）=

①令0则

当，时恒成立

所以，=，

在上是减函数，则（3分）

②，时=

因为在上是减函数

所以方程=0的两根均大于0得到m>6（2分）

或者一根大于0而另一根小于0且,得到m．（2分）

综合①②得到的取值范围是（2分）

21．

（1）；

（2）.

【分析】

（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；

（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．

【详解】

（1）h（x）＝（4－2）·＝－2（－1）2＋2，

因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，

故函数h（x）的值域为[0,2]．

（2）由f（x2）·f（）＞k·g（x），

得（3－4）（3－）＞k·，

令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，

所以（3－4t）（3－t）＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

②当t∈（0,2]时，恒成立，

即，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为－3.所以k＜－3.

综上，实数k的取值范围为（－∞，－3）．

【点睛】

本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值．意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力．

22．

（1）；

（2）.

【分析】

（1）求出，可得时的最大值，令可得结果；

（2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性可得在[1，4]上的最小值为，解方程求得，进而可得结果.

【详解】

（1）由

当

令

所以，当上存在单调递增区间.