高考数学真题较难题汇编文档格式.docx
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0,直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
9.函数f（x）满足f（x4）f（x）（xR）,且在区间（2,2］上,
x
cos,0x2,
2
1|x2l，-2x0,
11.若函数f（x）2x3ax21（aR）在（0,）内有且只有一个零点，则f（x）在［1,1］上的最大值与最小值的和为▲.
12.在平面直角坐标系xOy中，A为直线I:
y2x上在第一象限内的点，B（5,0），以AB为直径的圆C与直线I交
UlUUJLT
于另一点D.若ABCD0,则点A的横坐标为▲.
13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC120,ABC的平分线交AC于点D,且BD1,则4ac的最小值为▲.
14•已知集合A{x|x2n1,nN},B{x|x2n,nN}.将AUB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}•记S为数列{an}的前n项和，则使得Sn12an1成立的n的最小值为▲.
17.（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆0的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成•已知圆0的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD大棚H内的地块形状为△CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设0C与
MN所成的角为.
（1）用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取
值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚n内种植乙种蔬菜，且甲、
乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:
3•求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
18.
（本小题满分16分）
_i
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（3,丄），焦点
Fi（3,0）,F2C3,0），圆O的直径为FiF2.
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线I与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线I与椭圆C交于A,B两点.若AOAB的面积为兰，求直线I的方程.
7
19.（本小题满分16分）
记f（x）,g（x）分别为函数f（x）,g（x）的导函数.若存在x。
R,满足f（xo）g（x。
）且f（冷）g（xJ，则称x。
为函数f（x）与g（x）的一个S点”.％网
（1）证明：
函数f（x）x与g（x）x22x2不存在S点”；
（2）若函数f（x）ax21与g（x）Inx存在S点”，求实数a的值；
bex
（3）已知函数f（x）x2a,g（x）——.对任意a0,判断是否存在b0,使函数f（x）与g（x）在区
间（0,）内存在S点”，并说明理由.
20.（本小题满分16分）
设｛an｝是首项为Q，公差为d的等差数列，｛bn｝是首项为，公比为q的等比数列.
（1）设q0,01,q2，若|an"
la对n1,2,3,4均成立，求d的取值范围;
⑵若ab0,mN*,q（1,m2］，证明：
存在dR，使得|anbn|0对n2,3,L,m1均成立，并
求的取值范围（用0,m,q表示）.
2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
8•在平面直角坐标系中，已知点A（-1,0）,B（2,0）,E,F是y轴上的两个动点，且||=2，则AEBF的
最小值为
9•有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三
个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）
Sn1
10设等比数列｛an｝的通项公式为an=q+1（n€N*）,前n项和为5。
若lim一，则q=
nan12
Ix?
y?
1Ix?
1
-I
、2「2
a=
12•已知实数x、x、y、y满足：
x?
2y?
21,x?
21,XX?
伽
的最大值为
n
16•设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转一后与原图像重合，则在
6
以下各项中，的可能取值只能是（）
（A）（B）（C）（D）0
23
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t>
2,在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2,0）,直线I:
x=t,曲线：
y28x（0三烂t,y±
0）,
I与x轴交于点A,与交于点B,P、Q分别是曲线与线段AB上的动点。
（1）用t为表示点B到点F的距离；
（2）设t=3,IFQI2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8,是否存在以FPFQ为邻边的矩形FPEQ使得点E在上若存在，求点P的坐标；
若不存在，说明理由。
21•（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
给定无穷数列｛an｝,若无穷数列｛bn｝满足：
对任意nN*，都有|bnan|1，则称｛bn｝与｛an｝接近”
（1）设｛an｝是首项为1,公比为的等比数列，bnani1,nN*，判断数列是否与接近，并说明理由；
（2）设数列｛an｝的前四项为:
a=1,a=2,a=4,迦=8,｛bn｝是一个与｛an｝接近的数列，记集合M=｛x|x=bi，=1,2,3,4｝,求M中元素的个数m；
（3）已知｛an｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛bn｝满足：
｛bn｝与｛an｝接近，且在b-b,b-b,••b201-b200中至少有
100个为正数，求d的取值范围。
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
（4）十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为
（A）32f（B）322f
（C）12•歹f（D）12歹f
（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosB,sinB）至U直线xmy20的距离，当0,m变化时，d的最大值为
（A）1（B）2
（C）3（D）4
（8）设集合A｛（x,y）|xy1,axy4,xay2｝,则
（A）对任意实数a,（2,1）A（B）对任意实数a,（2,1）A
3
（C）当且仅当a<
0时，（2,1）A（D）当且仅当a-时，（2,1）A
（13）能说明若f（x）>
f（0）对任意的x€（0,2］都成立，则f（x）在］0,2］上是增函数”为假命题的一个函
数是.
2222
（14）已知椭圆M:
与每1（ab0），双曲线N:
笃与1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交
abmn
点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为;
双曲线N的离心率为
（18）（本小题13分）
设函数f（x）=[ax2（4a1）x4a3]ex.
（I）若曲线y=（x）在点（1,f
（1））处的切线与x轴平行，求a；
（n）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围.
（19）（本小题14分）
已知抛物线C:
y=2px经过点P（1,2）.过点Q（0,1）的直线I与抛物线C有两个不同的交点A,B,且
直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
（I）求直线I的斜率的取值范围;
LUT11,亠
QO，求证：
为定值.
uumruuriuir
（n）设O为原点，QMQO,QN
（20）（本小题14分）
（21）
设n为正整数，集合A={|
（t1,t2,L,tn）,tn{0,1},k1,2，L,n}.对于集合A中的任意元素
奇数；
当，不同时，M（,）是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
（川）给定不小于2的n,设B是A的子集，且满足：
对于B中的任意两个不同的元素
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）w
（D）当且仅当a时，（2,1）A
（19）（本小题13分）
设函数f（x）[ax2（3a1）x3a2]ex.
（I）若曲线yf（x）在点（2,f
（2））处的切线斜率为0,求a；
（n）若f（x）在x1处取得极小值，求a的取值范围.
的交点A,B.
（I）求椭圆M的方程;
（n）若k1，求|AB|的最大值;
（川）设P（2,0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D若CD和点
71Q（,）共线，求k.
42
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
（5）已知alog2e，bIn2，clogi1，则a，b,c的大小关系为
（A）abc（B）bac（C）cba（D）cab
22
（7）已知双曲线笃爲1（a0,b0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B
ab
两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为
ABC的面积为
（13）已知a,bR，且a3b6
0，则2a
2的最小值为
8b
x2axax0
（14）已知a0,函数f（x）
2若关于x的方程f（x）ax恰有2个互异的实数解,
x22ax2a,x0.
则a的取值范围是
（17）本小题满分13分）
（18）
（本小题满分13分）
a3a22，a4b3bs，b°
2b6.
⑴求｛an｝和｛bn｝的通项公式;
（II）设数列｛Sn｝的前n项和为Tn（nN
⑴求Tn；
（19）（本小题满分14分）
F,上顶点为
xx
设椭圆一221（a>
b>
0）的左焦点为
V5一
B.已知椭圆的离心率为•，点A的坐标为（b,0），且
FB||AB6-2.
（I）求椭圆的方程;
（II）设直线
I:
ykx（k0）与椭圆在第一象限的交点为P,且1与直线AB交于点Q.若
PQ
AOQ（O为原点），求k的值.
（20）（本小题满分14分）
x
已知函数f（x）a,g（x）logax，其中a>
1.
（I）求函数h（x）f（x）xlna的单调区间;
（ll）若曲线yf（x）在点（捲，f（xj）处的切线与曲线yg（x）在点（X2,g（X2））处的切线平行，证明
1
（Ill）证明当aee时，存在直线I，使I是曲线yf（x）的切线，也是曲线yg（x）的切线.
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）w
（13）
已知a,b€R,且a-b+6=0,则2a+_y的最小值为
8
围是
（17）（本小题满分13分）
如图，在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形，平面ABCL平面ABD,点M为棱AB的中点，AB=2,AD=2「3,/BAD=90.
（I）求证：
AD丄BC;
（H）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（川）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
设｛an｝是等差数列，其前n项和为S（n€N*）；
｛bn｝是等比数列，公比大于0,其前n项和为Tn（n€N*）•已知bi=l,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
（I）求S和Tn；
（H）若s+（T1+T2+・・・+）=an+4bn，求正整数n的值.
设椭圆笃打1（ab0）的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为亠,|AB|.13.
a2b23
（II）设直线l:
ykx（k0）与椭圆交于P,Q两点，I与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限若厶BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.
设函数f（x）=（x
tJ（Xt2）（Xt3），其中t1,t2,t3R且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.
（I）若t20,d
1,求曲线yf（x）在点（0,f（0））处的切线方程；
（II）若d3,求f（x）的极值;
（III）若曲线yf（x）与直线y
（X1t2）63有三个互异的公共点，求d的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试1l
&
设抛物线C:
y24x的焦点为F,过点2,0且斜率为-的直线与C交于M,N两点，则FMUFN
Pl，P2，P3，则
X2
11.已知双曲线C：
y1,0为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，
N•若△OMN为直角三角形，则|MN
16.已知函数fx2sinxsin2x，贝Ufx的最小值是
18.（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.
平面PEF丄平面ABFD;
⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.（12分）
设椭圆C：
x2八的右焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点，点M的坐标为2，0
（1）当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设0为坐标原点，证明：
/OMA/OMB.
20.（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，
则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p0p1，且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp，求fp的最大值点p0；
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的po作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验
21.（12分）
已知函数fxxaInx.
（1）讨论fx的单调性；
（2）若fx存在两个极值点x,x2，证明：
f-x1fX2a2.
xx2
2018年普通高等学校招生全国统一考试1w
16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC
222
csinB4asinBsinC,bca8，贝V
△ABC的面积为
18.（12分）
如图，在平行四边形ABCM中，/ACM90，以AC为折痕将厶ACM折起,的位置，且AB丄DA.
平面ACD丄平面ABC;
（2）Q为线段AD上一点，P为线段
BPDQDA，求三棱锥QABP的体积.
20.
（12分）
y22x，点A2,0,B2,0，过点a的直线|与C交于M,N两点.
（1）当I与x轴垂直时，求直线BM的方程;
（2）证明：
/ABM/ABN.
已知函数fxaexlnx1.
（1）设x2是fx的极值点.求a,并求fx的单调区间;
当a>
1时，fx>
0.
e
2018年普通高等学校招生全国统一考试21
10.若f（x）cosxsinx在［a,a］是减函数，则a的最大值是
5.15，则该圆锥的侧面积为
19.（12分）
C.-
y24x的焦点为F，过F且斜率为k（k
于A,B两点，|AB|8.
0）的直线l与C交
（1）求l的方程；
（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
20.（12分）
如图，在三棱锥PABC中，ABBC22,
PAPBPCAC4，O为AC的中点.
PO平面ABC;
（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
21.（12分）
已知函数f（x）exax2.
（1）若a1，证明：
当x>
0时，f（x）>
1;
（2）若f（x）在（0,）只有一个零点，求a.
2018年普通高等学校招生全国统一考试2w
11•已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为
f
（1）f
（2）f（3）Lf（50）
16.已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB互相垂直,
SA与圆锥底面所成角为30，若ASAB的面积为8，则该圆
锥的体积为
PAPBPCAC4,O为AC的中点.
PO平面ABC;
（2）若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.
y24x的焦点为F,过F且斜率为k（k0）的直线I与C交于A,B两点，|AB|8.
（1）求I的方程；
已知函数f（x）■a（x2x1）.
（1）若a3，求f（x）的单调区间；
f（x）只有一个零点.
2018年普通高等学校招生全国统-
考试3l
6.直线xy2
0分别与x轴，y轴交于A,
B两点，点P在圆x2
2y22上,贝yABP面积的取值范围
是
A.2,6
B.4,8
C.2,3.2
D.2「2,3.2
7.函数yx
x2的图像大致为
DABC体积的最大值为
A.123
B.183
C.24.3
D.543
11.设F,,F2是双曲线C:
笃
a
占1（a0,b0）的左，右焦点,b
O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的
垂线，垂足为P.
若PF!
60P|，则C的离心率为
A.5
B.2
C.
12.设alog0.20.3,
blog20.3，则
A.abab0
B.
abab
C.ab0ab
D.
ab0a
16.已知点M1,1
和抛物线C:
y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若/AMB90,
19.（12分）
如图，边长为2的正方形abcd所在平面与半圆弧Cd所在平面垂直，m是Cd
上异于C,D的点.
平面AMD丄平面BMC;
（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦
值.
20.（12分）
已知斜率为k的直线l与椭圆C：
—仏1交于A,B两点.线段AB的中点为M1,mm0.
43
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且
uur
FP
FA
uuu
FB0.证明:
FA,
uuuFP,
FB成等差数列，并
求该数列的公差.
21.（12分）
已知函数fx2xax2ln1x2x.
（1）若a
0，证明：
当1x0时，fx
0时，fx
⑵若x
0是fx的极大值点，求a.
2018年普通高等学校招生全国统一考试3w
6.函数f
tan：
的最小正周期为
1tan2x
.n
A.-
C.n
D.2n
12.设A,
B,C,D是同一个半径为
的球的球面上四点,
ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥
A.12,3
D.54.3
16.已知函数f
ln1x2
1,fa4，则f
已知函数f
axx1
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