第8讲 解三角形实质是解方程.docx

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第8讲解三角形实质是解方程

第8讲　解三角形——实质是解方程

对解三角形的复习要紧紧抓住正弦定理、余弦定理，弄清楚正、余弦定理所反映的边、角混合关系．解三角形的实质是解方程，通过正弦定理或余弦定理，建立三角形未知元素的代数方程或三角方程，借助其他知识，如三角形内角和定理、三角变换公式等，解出方程，并注意是否有增解．

1．结合三角形全等的条件认识正、余弦定理．

三角形全等有角边角、边边边、边角边定理，所以已知三角形三边，两边及其夹角，利用余弦定理求其他边、角时，解是唯一的，已知三角形任意两角及一边，利用正弦定理求其他边、角时，解是唯一的．但已知两边及一边所对的角时，利用正弦定理求其他边、角时，可能会出现两解，因为两三角形两边及一边所对的角分别对应相等时，不能保证三角形全等．

2．了解专业术语，会画图形．

知道俯角、仰角、方位角等专业术语的含义，会画图形，将题目条件直观地表现出来，有助于分析问题．图形是载体，根据条件，画出图形，将条件直观化，是合理选择公式的关键．

3．会设计测量方案．

对于实际测量问题，能独立地设计测量方案．能从课本的《应用举例》中提炼出常见的测量距离、高度、角度问题等测量方案，并能指导自己设计解决实际问题的测量方案．

4．重视三角形内角和定理的作用．

在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要的作用，如确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等．

例1　在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.

（1）求cosA的值；

（2）求c的值．

解后反思

1．解三角形的实质是根据题意寻求等量关系，通过正弦、余弦定理，建立所求的方程．

2．解三角形得到多解时，一定要注意检验．往往利用大角对大边，三角形内角和定理等知识判断解的情况，或通过题设检验．

例2　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，ccosA＝b，则△ABC的形状是________三角形．

解后反思

判断三角形的形状，要充分利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，由边的代数运算或角的代数运算、三角运算，暴露边与边或角与角的关系，从而作出判断．

例3　如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA＝，cosC＝.

（1）求索道AB的长；

（2）问：

乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解后反思

1．本例所呈现的三角形模型十分清晰，如何将实际问题转化为解三角形问题，是解决问题的关键所在．

2．求解实际问题，首先要准确理解题意，理清已知与所求，能将求解的问题归结到三角形中去，借助正弦定理或余弦定理解决，最后把数学问题还原到实际问题中去．

总结感悟

1．解三角形的实质是解方程，通过正弦定理或余弦定理，建立三角形未知元素的代数方程或三角方程．注意利用题设，大角对大边、三角形内角和定理等知识判断解的情况，防止增解．

2．运用数形结合的思想，要根据条件画出图形，将条件直观化，有助于分析问题，选择恰当公式.

3．判断三角形的形状，主要途径有两条：

（1）化边为角；

（2）化角为边．利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，由边的代数运算或通过三角变换，暴露边与边或角与角的关系，从而作出判断．

4．解三角形实际问题，要理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问题．

A级

1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asinB＝b，则角A＝________．

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为________．

3．若a，b，c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC一定是________三角形．

4．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为________．

5．在△ABC中，若b＝a，B＝2A，则△ABC的形状为________三角形．

6．（2016·全国Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________．

B级

7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．

8．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC．则A的取值范围是__________．

9．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．

10．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长是______．

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝______．

12.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角）

13．（2016·全国Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

第8讲　解三角形——实质是解方程

复习指导

题型分析

例1　解　

（1）在△ABC中，由正弦定理

＝⇒＝＝

∴cosA＝.

（2）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA⇒

32＝

（2）2＋c2－2×2c×

则c2－8c＋15＝0.

∴c＝5或c＝3.

当c＝3时，a＝c，∴A＝C.

由A＋B＋C＝π，知B＝，与a2＋c2≠b2矛盾．∴c＝3舍去．

故c的值为5.

例2　直角

解析　方法一　由cosA＝，

得a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．

方法二　由正弦定理得：

sinCcosA＝sinB，即sinCcosA＝sin（A＋C），得sinAcosC＝0，即cosC＝0，

故△ABC是直角三角形．

例3　解　

（1）在△ABC中，

因为cosA＝，cosC＝，

所以A，C∈（0，]，

且sinA＝，sinC＝.

从而sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）

＝sinAcosC＋cosAsinC

＝×＋×＝.

由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040（m）．

所以索道AB的长为1040m.

（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100＋50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得

d2＝（100＋50t）2＋（130t）2－2×130t×（100＋50t）×＝200（37t2－70t＋50），

由于0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．

（3）由正弦定理＝，得BC＝×sinA＝×＝500（m）．

乙从B出发时，甲已走了50×（2＋8＋1）＝550（m），还需走710m才能到达C.

设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在（单位：

m/min）范围内．

线下作业

1.

解析　在△ABC中，利用正弦定理得

2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝.

又A为锐角，∴A＝.

2.

解析　由a2＋c2－b2＝ac联想到余弦定理得cosB＝，∴角B＝.

3．钝角

解析　由题设知>1，

即a2＋b2

于是cosC＝<0，

所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．

4.

解析　因为S＝×AB×ACsinA

＝×2×AC＝，所以AC＝1，

所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.

5．等腰直角

解析　由正弦定理知sinB＝sinA，

又∵B＝2A，∴sin2A＝sinA，

∴2sinAcosA＝sinA，

∴cosA＝，∴A＝45°，B＝90°.

故△ABC为等腰直角三角形．

6.

解析　在△ABC中由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝，由正弦定理得b＝＝.

7.

解析　由（a＋b）2－c2＝4

得（a2＋b2－c2）＋2ab＝4.①

∵a2＋b2－c2＝2abcosC，

故方程①化为2ab（1＋cosC）＝4.

∴ab＝.

又∵C＝60°，∴ab＝.

8．（0，]

解析　由题意及正弦定理

得a2≤b2＋c2－bc⇒b2＋c2－a2≥bc⇒≥1⇒cosA≥⇒0

9．2

解析　由正弦定理知＝＝，

∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.

又A＋C＝120°，

∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin（120°－C）

＝2（sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC）

＝2（sinC＋cosC＋sinC）

＝2（2sinC＋cosC）＝2sin（C＋α），

其中tanα＝，α是第一象限角，

由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，

因此AB＋2BC有最大值2.

10．5

解析　在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，

由余弦定理得

cos∠ADC＝＝－，

∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.

在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，

∠ADB＝60°，由正弦定理得

＝，

∴AB＝＝

＝5.

11.

解析　由条件得

sinBcosC＋sinBcosA＝，

依正弦定理，得

sinAcosC＋sinCcosA＝，

∴sin（A＋C）＝，从而sinB＝，

又a＞b，且B∈（0，π），∴B＝.

12.

解析　如图，过点P作PO⊥BC于点O，

连结AO，则∠PAO＝θ.设CO＝xm，则OP＝xm．在Rt△ABC中，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝20m．所以cos∠BCA＝.

所以AO＝＝（m）．

所以tanθ＝＝

＝.

当＝，即x＝时，tanθ取得最大值为＝.

13．解　

（1）由已知及正弦定理得，

2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）

＝sinC，2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC．可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知，absinC＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.所以△ABC的周长为5＋.