西安交通大学复变函数与积分变换试卷B卷及参考答案.doc
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成绩
西安交通大学考试题
课程复变函数与积分变换（B卷）
系别考试日期2006年1月日
专业班号
姓名学号期中 期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
1、设是实数，函数在复平面解析，求.
1、解：
Cauchy-Riemann方程，，，解出
，.
2、求，并指出其主值.
解：
；其中；
其主值为.
3、计算，其中，方向为正向.
2、解：
用Cauchy积分公式，
.
4、计算，其中，方向为正向.
解：
用高阶导数公式，
5、判别级数的收敛性.
解：
，
和的收敛性分别与和的相同，由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以
收敛。
6、求幂级数的收敛半径.
解：
记，则（），所以收敛半径为1。
7、求的奇点，并指出奇点类型.
解：
的零点为（），显然它们都是孤立零点；
而，所以这些点都是的1级零点；
但其中是分子的2级零点，所以，是函数的可去奇点，
其他的（）都是的1级极点
8、求在孤立奇点处的留数.
解：
是的1级极点，所以
9、求积分，其中，方向为正向.
解：
在复平面上有两个奇点，，且都包含在曲线C内；
由留数定理，
共2页第1页
10、映射把圆周变成什么曲线？
写出曲线的方程.
解：
由分式线性映射的保圆性，以及在C上无奇点，知
映射将C变成圆周.
由，得，而，
故象曲线为；或
11、求函数的Fourier变换.
解：
F[]=，F[]=，
所以
F=F[]+F[]=+
12、求函数的Laplace变换.
解：
L[]=，由Laplace变换的微分性质,
L[]=，
所以
L[]=；
L[]=.
二、（10分）将函数分别在圆环域，展开成Laurent级数.
、、解：
在圆环域上的Laurent级数为
；
在圆环域上的Laurent级数为
：
三、（10分）求一个函数，使得它把上半单位圆盘共形地映射成上半平面.
解：
显然满足，，的分式线性映射.
可把变成角形域；
而可将该角形域变成上半平面；
而可将变成单位圆盘；
故它们的复合映射
即为满足要求的一个映射.
四、（10分）用留数计算广义积分.
解：
有理函数的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点，；故
=
五、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题：
，.
、解：
设L[]=，方程两边求Laplace变换，得到
；
将代入，得
；
解出
；
求Laplace逆变换，得到
成绩
西安交通大学考试题
课程复变函数与积分变换（B卷）解答
系别考试日期2006年1月日
专业班号
姓名学号期中 期末
一、解答下列各题（每小题5分，共60分）
3、解：
Cauchy-Riemann方程，，，解出
，.
2、解：
；其中；
其主值为.
4、解：
用Cauchy积分公式，
.
4、解：
用高阶导数公式，
5、解：
，
和的收敛性分别与和的相同，由高等数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以
收敛。
共4页第1页
6、解：
记，则（），所以收敛半径为1。
7、解：
的零点为（），显然它们都是孤立零点；
而，所以这些点都是的1级零点；
但其中是分子的2级零点，所以，是函数的可去奇点，
其他的（）都是的1级极点.
8、解：
是的1级极点，所以
.
9、解：
在复平面上有两个奇点，，且都包含在曲线C内；
由留数定理，
10、解：
由分式线性映射的保圆性，以及在C上无奇点，知
映射将C变成圆周.
由，得，而，
故象曲线为；或
.
11、解：
F[]=，F[]=，
所以
F=F[]+F[]=+
共4页第2页
12、解：
L[]=，由Laplace变换的微分性质,
L[]=，
所以
L[]=；
L[]=.
二、解：
在圆环域上的Laurent级数为
；
在圆环域上的Laurent级数为
三、解：
显然满足，，的分式线性映射.
可把变成角形域；
而可将该角形域变成上半平面；
而可将变成单位圆盘；
故它们的复合映射
即为满足要求的一个映射.
共4页第3页
四、解：
有理函数的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点，；故
=
五、解：
设L[]=，方程两边求Laplace变换，得到
；
将代入，得
；
解出
；
求Laplace逆变换，得到
.
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