1、成绩西安交通大学考试题 课 程 复变函数与积分变换(B卷) 系 别 考 试 日 期 2006 年 1 月 日专业班号 姓 名 学 号 期中期末一、解答下列各题(每小题5分,共60分)1、设是实数,函数在复平面解析,求.1、 解:Cauchy-Riemann方程,解出,.2、求,并指出其主值.解:;其中;其主值为.3、计算,其中,方向为正向.2、 解:用Cauchy积分公式,.4、计算,其中,方向为正向.解:用高阶导数公式,5、判别级数的收敛性.解:,和的收敛性分别与和的相同,由高等数学中的Leibniz判别法,后两个级数收敛,故前两个也收敛,所以收敛。6、求幂级数的收敛半径.解:记,则(),所
2、以收敛半径为1。7、求的奇点,并指出奇点类型.解:的零点为(),显然它们都是孤立零点;而,所以这些点都是的1级零点;但其中是分子的2级零点,所以,是函数的可去奇点,其他的()都是的1级极点8、求在孤立奇点处的留数.解:是的1级极点,所以9、求积分,其中,方向为正向.解:在复平面上有两个奇点 ,且都包含在曲线C内;由留数定理, 共 2 页 第 1 页10、映射把圆周变成什么曲线?写出曲线的方程.解:由分式线性映射的保圆性,以及在C上无奇点,知映射将C变成圆周.由,得,而,故象曲线为;或11、求函数的Fourier变换.解:F =,F =,所以F= F + F =+12、求函数的Laplace变换
3、.解:L=,由Laplace变换的微分性质,L =,所以L =;L =.二、(10分)将函数分别在圆环域,展开成Laurent级数.、解:在圆环域上的Laurent级数为;在圆环域上的Laurent级数为:三、(10分)求一个函数,使得它把上半单位圆盘共形地映射成上半平面.解:显然满足,的分式线性映射.可把变成角形域;而可将该角形域变成上半平面;而可将变成单位圆盘;故它们的复合映射即为满足要求的一个映射.四、(10分)用留数计算广义积分.解:有理函数的分母次数=分子次数+4,且该函数在在实轴上无奇点,而在上半平面仅有两个奇点,;故=五、(10分)用Laplace变换解微分方程的初值问题:,.、
4、解:设L=,方程两边求Laplace变换,得到;将代入,得;解出;求Laplace逆变换,得到 成绩西安交通大学考试题 课 程 复变函数与积分变换(B卷)解答 系 别 考 试 日 期 2006 年 1 月 日专业班号 姓 名 学 号 期中期末一、解答下列各题(每小题5分,共60分)3、 解:Cauchy-Riemann方程,解出,.2、解:;其中;其主值为.4、 解:用Cauchy积分公式,.4、解:用高阶导数公式,5、解:,和的收敛性分别与和的相同,由高等数学中的Leibniz判别法,后两个级数收敛,故前两个也收敛,所以收敛。 共 4 页 第 1 页6、解:记,则(),所以收敛半径为1。7、
5、解:的零点为(),显然它们都是孤立零点;而,所以这些点都是的1级零点;但其中是分子的2级零点,所以,是函数的可去奇点,其他的()都是的1级极点.8、解:是的1级极点,所以.9、解:在复平面上有两个奇点 ,且都包含在曲线C内;由留数定理,10、解:由分式线性映射的保圆性,以及在C上无奇点,知映射将C变成圆周.由,得,而,故象曲线为;或.11、解:F =,F =,所以F= F + F =+ 共 4 页 第 2 页12、解:L=,由Laplace变换的微分性质,L =,所以L =;L =.二、解:在圆环域上的Laurent级数为;在圆环域上的Laurent级数为三、解:显然满足,的分式线性映射.可把变成角形域;而可将该角形域变成上半平面;而可将变成单位圆盘;故它们的复合映射即为满足要求的一个映射. 共 4 页 第 3 页 四、解:有理函数的分母次数=分子次数+4,且该函数在在实轴上无奇点,而在上半平面仅有两个奇点,;故=五、解:设L=,方程两边求Laplace变换,得到;将代入,得;解出;求Laplace逆变换,得到. 共 4 页 第 4 页
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